프레셰-우린 공간

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In the field of topology, a Fréchet–Urysohn space is a topological space ${\displaystyle X}$ with the property that for every subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ the closure of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle X}$ is identical to the sequential closure of ${\displaystyle S}$ in ${\display$$스타일 X.}$ 프리쳇-우르손$$ 공간은 특별한 형태의 순차 공간이다.

프리셰-우린 공간은 시퀀스가 공간 하위 집합의 모든 위상적 특성을 결정하기에 충분한 가장 일반적인 공간 등급이다.즉, Frechet-Uryson 공간은 정확히 어떤 시퀀스가 어떤 한계로 수렴되는지(그리고 어떤 시퀀스가 수렴하지 않는지)에 대한 지식이 공간의 위상을 완전히 결정하는 공간이다.모든 Frechet-Uryson의 공간은 순차적 공간이지만 반대로는 아니다.

이 공간은 모리스 프레셰와 파벨 우리손의 이름을 따서 지어졌다.

정의들

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$은(는) 위상학적 공간이다.$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$에서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 순차적인 폐쇄는 다음과$$ 같이 설정된다.

여기서 ${\displaystyle {\mathrm{SeqCl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S}$ ⁡ S $\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}$${\displaystyle {\mathrm{SeqCl}}_{}}$( ${\displaystyle X_{}}$, ${\displaystyle t_{}}$ ) $)$ S$$${\displaysty \operatorname {SeqCl} _{(X,\tau$ )$S}$는 명확성이 필요할$$ 경우 작성할 수 있다.

위상학적 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X$,\$tau )}$은 다음과 같은 경우 프레셰트-우르손 공간이라고 한다.

모든 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle S$$\$$subseteq X,}$에 대해 여기서 ${\displaystyle {Cl}_{}}$ X ⁡${\displaystyle {}_{}}$S {\$displaystyle$ \$operatorname {Cl} _{X}S}$는${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$,$τ$) .${\displaystyle S}$의 닫힘을 나타낸다$$.$}$

순차적으로 열림/닫힘 세트

Suppose that ${\displaystyle S\subseteq X}$ is any subset of ${\displaystyle X.}$ A sequence ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ is eventually in ${\displaystyle S}$ if there exists a positive integer ${\displaystyle N}$ such that ${\displaystyle x_{i}\in S}$ for모든 지수 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle i\geq$ N$.}$

The set ${\displaystyle S}$ is called sequentially open if every sequence ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle X}$ that converges to a point of ${\displaystyle S}$ is eventually in ${\displaystyle S}$; Typically, if ${\displaystyle X}$ is u그러면 ${\displaystyle \mathrm{SeqCl}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqCl}$이$($가) ${\displaystyle {\mathrm{SeqCl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}{}_{}}$ S . ${\displaysty \operatorname {SeqCl} _{X}S$ 대신 기록된다$.$$}$

The set ${\displaystyle S}$ is called sequentially closed if ${\displaystyle S=\operatorname {SeqCl} _{X}S,}$ or equivalently, if whenever ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a sequence in ${\displaystyle S}$ converging to ${\displaystyle x}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x,}$ $다음$에 x ${\displaystyle$ x$}$도 $S{\displaystyle }$ .${\displaystyle S.}$에 있어야$$ 하며, 순차적으로 열린 집합의 보완은 순차적으로 닫힌 집합이며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.

내버려두다

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle (X,\tau })$의 모든 순차적으로 열려 있는 하위 집합 집합을 나타내며, 여기서$$ 이 하위 집합은 ${\displaystyle \mathrm{SeqOpen}}$ ${\displaystyle X}${\$displaysty \operatorname {SeqOpen} X$}이$$(가) $위상{\displaystyle }$ {$${\$displaysty \tau }$이(가 이해될 수 있다.The set ${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$ is a topology on ${\displaystyle X}$ that is finer than the original topology ${\displaystyle \tau .}$ Every open (resp. closed) subset of ${\displaystyle X}$ is sequentially open (resp. sequentially closed), which implies that

강한 프리셰-우린 공간

A topological space ${\displaystyle X}$ is a strong Fréchet–Urysohn space if for every point ${\displaystyle x\in X}$ and every sequence ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ of subsets of the space ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle x\in \bigcap _{n$$}{\overline {A_{n}}},}$ there exist a sequence ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$ for every ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ and ${\displaystyle$$\left(a_{i}\right)_{i$=1$}^{\infit }\to$ x$}$ in$$${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (X,\tau )}$$$ 위의 성질은 선택 원리로 표현할 수 있다.

순차적 공간과 대비

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 열린 부분 집합이 순차적으로 열리고$$ 모든 닫힌 집합이 순차적으로 닫힌다.그러나 대화 내용은 대체로 사실이 아니다.대화가 참인 공간을 순차적 공간이라고 한다. 즉, 순차적 공간은 모든 순차적으로 열린 부분집합이 반드시 열리거나 동등하게 순차적으로 닫힌 부분집합이 반드시 닫히는 위상학적 공간이다.모든 프리쳇-우르손 공간은 순차적 공간이지만 프리쳇-우르손 공간이 아닌 순차적 공간이 있다.

순차적 공간(resp).Fréchet-Urysohn spaces) can be viewed/interpreted as exactly those spaces ${\displaystyle X}$ where for any single given subset ${\displaystyle S\subseteq X,}$ knowledge of which sequences in ${\displaystyle X}$ converge to which point(s) of ${\displaystyle X}$ (and which do not) is sufficient to determine whe$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}($Resp는 X ${\displaystyle X})$에서 S$${\$displaystyle S$}의 닫힘 여부를 결정하는 데 충분하다.$$$$^{[note 1]}따라서 순차 공간은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$의 시퀀스를 "$"$로 $사용$하여 X {\displaystyle $X}$에서 주어진 하위 집합이 열려 있는지(또는 동등하게 닫혔는지$)$를 결정할 수 있거나$$$$ 다르게 $말하면{\displaystyle }$ 순차 공간은 위상이 완전히 달라질 수 있는 공간이다.수열 수렴의 관점에서 보면.순차적이지 않은 공간에는 이 "시험"이 "허위 양성"을 제공하는 하위 집합이 존재한다.^{[note 2]}

특성화

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$이(가) 위상학적 공간인 경우, 다음과 같다.

1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 프리쳇-우라이존 공간이다.
2. 정의:${\displaystyle {}_{}\mathrm{SeqCl}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ S${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{Cl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}$${\displaystyle S}$$~=~\operatorname$ {$Cl} _$${$$X}$$S$$}$ $모든$ 부분 $집합$ S . {\$displaysty$ S$\seteq$ X$.}$
3. ${\displaystyle {SeqCl}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Cl}}_{}}$ X ${\displaystyle \text{⊇}}$ Cl ${\displaystyle X_{}}$ ⁡ S$$ S ⁡ S ${\displaystyle \mathrm{style}}$ S $\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S$ ${\displaystyle \mathrm{subset<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{SeqCl\}\; \_\{X\}S~\backslash supseteq\; ~\backslash operatorname\; \{Cl\}\; \_\{X\}S\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/c31cbfc47094eb941dfe80234cccb3f73608f820"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:19.886ex;\; height:2.676ex;"\; papago-attr-id="232">}}$ X . ${\displaystyle$ S$\subseteq$ X$}$마다 {$X$$}S}$
   • This statement is equivalent to the definition above because ${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S~\subseteq ~\operatorname {Cl} _{X}S}$ always holds for every ${\displaystyle S\subseteq X.}$
4. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 하위 공간은 순차 공간이다.
5. For any subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ that is not closed in ${\displaystyle X}$ and for every${\displaystyle x\in \left(\operatorname {Cl} _{X}S\right)\setminus S,}$ there exists a sequence in ${\displaystyle S}$ that converges to ${\displaystyle x.}$
   • 이 조건을 순차적 공간의 다음과 같은 특성과 대조하십시오.

   {X\displaystyle,}에 그러한 조건이 S{S\displaystyle}에서 x.{\displaystyle인데}[한 점인 시퀀스 존재하는 일부 x ∈(당분이나 지방 말고도 X⁡ S)S∖{\displaystyle x\in \left(\operatorname{당분이나 지방 말고도}_{X}S\right)\setminus S} 살아 있을 모든 부분 집합 S⊆ X{\displaystyle S\subseteq X}에 대해, X에서, 닫히지 않다.1]

   • 이러한 특성화는 모든 프리쳇-우르손 공간은 순차적 공간임을 암시한다.

아래의 특성화는 하우스도르프 순차 공간 중에서 Frechet-Uryson 공간이 항상 "최종 수렴 대각선 시퀀스"를 찾을 수 있는 공간이라는 것을 보여주는데, 이는 수렴 그물 관점에서 위상 특성을 나타내기 위해 사용되는 대각선 원리와 유사하다.이 "대각형 시퀀스"는 일부 시퀀스 ${\displaystyle x_{}^{}}$ $∙{\$이(가) 대각형 시퀀스에 의해 "스키핑"될$$ 수 있다는 점을 제외하고는 대각화 인수에 나타나는 대각선 시퀀스와 형태가 유사한 위상학적 아날로그로도 볼 수 있다.다음 특성화에서 모든 수렴은${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (X,\tau$) 에서 일어나는 것으로 가정한다.$}$

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$이(가) Hausdorff 순차적 공간인 경우, 다음과 같다.

1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 프리쳇-우라이존 공간이다.
2. If ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }\subseteq X}$ is a sequence with an infinite image (or "range") that converge to some ${\displaystyle x\in X}$ and if for every ${\displaystyle l\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle x_l^{\bullet }={\left(x_l^i\right)}_{i=1}^{}}$${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle$$x_${l$}^{\bullet }=\왼쪽(x_{l}^{i}\right)_{$i=$1}^{$1}^{\$infty }\$$subseteq$ $X$$}$는 $다음$ 다이어그램으로 ${\displaystyle {이러한}_{}}$ 가설을 요약할 수 있는 순서다.
   
   
   $${\displaystyle{\begin{alignedat}{11}&, x_{1}^{1}~\, ~&, x_{1}^{2}~\, ~&, x_{1}^{3}~\, ~&, x_{1}^{4}~\, ~&, x_{1}^{5}~~&, \ldots ~~&, x_{1}^{나는}~~\ldots ~~&, \to ~~&, x_ᆷ\\[1.2ex]&, x_{2}^{1}~\, ~&, x_{2}^{2}~\, ~&, x_{2}^{3}~\, ~&, x_{2}^{4}~\, ~&, x_{2}^{5}~~&, \ldots ~~&, x_{2}^{나는}~~\ldots ~~&, \to ~~&, x_{2}\\ -LSB- 1.2ex.]&x_{3}^{1}~\, ~&, x_{3}^{2}~\, ~&, x_{3}^{3}~\, ~&, x_{3}^{4}~\, ~&, x_{3}^{5}~~&, \l다츠 ~~&, x_{3}^{나는}~~\ldots ~~&, \to ~~&, x_ᆫ\\[1.2ex]&, x_{4}^{1}~\, ~&, x_{4}^{2}~\, ~&, x_{4}^{3}~\, ~&, x_{4}^{4}~\, ~&, x_{4}^{5}~~&, \ldots, x_{4}^{나는}~~\ldots ~~& ~~&, \to ~~&, x_{4.}\\[0.5ex]&,&&\;\,\vdots &,&&&\;\,\vdots &,&\;\,\vdots \\[0.5ex]&, x_{나는}^{1}~\, ~&, x_{나는}^{2}~\, ~&, x_{나는}^{3}~\, ~&, x_{나는}^{4}~\, ~&, x_{나는}^{5}~~&, \ldots ~~&, x_{나는}^{나는}~~\ldots ~~&, \to ~~&, x_ᆷ\\[0.5ex]&,&&\;\,.\vdots &&&&\\\vdots &&&\\\\vdots \\&&&&&&&&&&\\downarrow \&&&&&&&&&&&&&&&&&&#;x\end{aignatedat}}}}}$$

   
   then there exist maps ${\displaystyle \iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ with ${\displaystyle \lambda }$ strictly increasing such that ${\displaystyle \left(x_{\lambda (n)}^{\iota (n)}\right)_{n=1}^{\infty }\to x.}$
   • Because a sequence in ${\displaystyle X}$ is by definition just a map of the form ${\displaystyle \mathbb {N} \to X,}$ the sequence ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }}$ "having an infinite image" means precisely that the set ${\displaystyle \mathrm{Im}{x}_{\bullet }:=\{x_{}}$${\displaystyle l_{}}$: ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$} ${\$은(는) 무한하다.$x{\displaystyle {}_{}}$ $∙{\$이(가) 이 속성을 가지고$$ 있지 않으면 $결국{\displaystyle }$x ,$${\$displaystyle$ x$,}$ 값과 일정해야 하며, 이 경우$$ 맵의 존재는${\displaystyle }$the , ${\displaystyle \lambda \mathbb{}}$: N${\displaystyle }$→ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$\mathb {$N}$} }$$} \$mathb$ {N} 이 규격에 대해 쉽게 검증된다.ial case (${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$이(가) Fréchet-Uryson 공간이 아닐지라도.
3. 문 (2) 그러나 $\iota {\displaystyle }$: ${\displaystyle N\mathbb{}}$→ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ \mathb {N$}$의 추가 요구사항도 엄격하게 증가하고 있다.
   • In short, this condition guarantees that if ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ and if for every ${\displaystyle l\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{l}^{\bullet }\to x_{l},}$ then there exists a subsequence of the net ${\displaystyle$$\left(x_{l}^{i}\right)_{(l,i)\in \mathb {N} \time$\mathb${N}}$ \mathb{{n$}}}}}$ \time \$mathb$ {n}}}}} \mathb가 x ${\displaysty$x}에 수렴되는$$ 서브넷도 시퀀스열인 서브넷을 의미한다.$$이 문장을 그물 관점에서 토폴로지를 정의하는 데 사용되는 대각선 원리와 비교한다.중요한 것은 일반적으로 그물$({\displaystyle {}_x}$ ${\displaystyle {l_{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$ ${\$$\mathb{$$N}}}}}}$이(또는 어느 지점까지나) 수렴된다는 보장은 없다.$$
4. 문 (3) 그러나 requirement> ${\displaystyle \iota >\lambda .}$의 추가 요건이 있는 경우.

특성.

비록 일반적으로 반대의 함축은 사실이 아니지만, 모든 프래쳇-우르손 공간은 순차적 공간이다.^[2][3]

If a Hausdorff locally convex topological vector space ${\displaystyle (X,\tau )}$ is a Fréchet-Urysohn space then ${\displaystyle \tau }$ is equal to the final topology on ${\displaystyle X}$ induced by the set ${\displaystyle \operatorname {Arc} \left([0,1];$$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle (X,\tau })$에 있는 모든 호$$ 중 $X\\}}$이(가) 정의에 따라$$ 연속 경로${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau )$도 위상학적 내장이다.

예

모든 1인칭 공간은 프리쳇-우린존 공간이다.결과적으로, 모든 2차 계산 가능한 공간, 모든 측정 가능한 공간, 그리고 모든 유사 측정 가능한 공간은 프리쳇-우린 공간이다.또한 유한 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 있는 모든 위상학적 ${\displaystyle \mathrm{공간}}({\displaystyle }$X ,${\displaystyle \tau }$)$${\$displaystyle ($X,\$tau )}$이(가) 프레셰트-우르손 공간이라는 것도 뒤따른다.

메트리저블 연속 이중공간

A계량화 가능 국내에서 볼록한 위상 벡터 공간(터널 비전 시스템)X{X\displaystyle}(예를 들자면, 프레셰 공간을)는normable 공간 만일 강력한 이중 공간 Xb({\displaystyle X_{b}^{\prime}}은 nor.mab여백^[5]

Frechet-Uryson이 아닌 순차적 공간

유한차원 유클리드 공간의 직접 한계

유한 리얼 시퀀스 $∞{\$의 공간은 Fréchet-Uryson이 아닌 Hausdorff 순차 공간이다$$.For every integer ${\displaystyle n\geq 1,}$ identify ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ with the set ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \{\left(0,0,0,\ldots \right)$$\}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\},}$ where the latter is a subset of the space of sequences of real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} };}$ explicitly, the elements ${\displaystyle \left(x_{1},\ldot$$s$$,x_{n}\right)\in$\mathb ${R} ^{n}$ 및 (${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}{\displaystyle }$1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle x_{}}$n${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 0}$, 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0}$ , 0 , 0 ,${\displaystyle }$0${\displaystyle }$,${\displaystyle }$)$${\$displaystyle \left(x_{1},\ldots,{n},0,0,\ldots$\rigots \$rig)}$이 함께 식별된다$$.In particular, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ can be identified as a subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ and more generally, as a subset ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n+k}}$ for any integer ${\displaystyle k\geq 0.}$ Let

Give ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ its usual topology ${\displaystyle \tau ,}$ in which a subset ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$ is open (resp. closed) if and only if for every integer ${\displaystyle n\geq 1,}$ the set ${\displaystyle S\cap {\mathbb{R}}^n=\{(x_1,}$${\displaystyle S\cap \mathbb {R} ^{n}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)~:~\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)\in S\right\}}$ is an open (resp. closed) subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (with it usual Euclidean topology).If ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ and ${\displaystyle v_{\bullet }}$ is a sequence in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ then ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ in ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$ if andonly if there exists some integer ${\displaystyle n\geq 1}$ such that both ${\displaystyle v}$ and ${\displaystyle v_{\bullet }}$ are contained in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ F이러한 사실들을 롬으로, 그것은${\displaystyle }$(${\displaystyle R{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}\tau }$) ${\$이 순차적인 공간이라는 것을 뒤따른다$$.모든 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n\geq$ 1$,}$에 대해 $Bn{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$$displaystyle B_{n}}$는 원점을 중심으로 반경 1/$n$displaystyle $\$$mathb{R} ^$$n$}{$n$$}}}$의 오픈 볼을 나타내도록$$ 한다$$.$$Let ${\displaystyle S:=\mathbb {R} ^{\infty }\,\setminus \,\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}.}$ Then the closure of ${\displaystyle S}$ is ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$ is all of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$$$ but the origin ${\displaystyle (0,0,0,\ldots )}$ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ does not belong to the sequential closure of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right).$$}}$ 사실$$, 라고 보여질 수 있다.이는${\displaystyle }$(${\displaystyle R{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}\tau }$) ${\$)}이$($가) 프레셰트-우르손 공간이 아님을 증명한다.

몬텔 DF-스페이스

모든 무한차원 몬텔 DF 공간은 순차적 공간이지만 프레셰트-우르손 공간은 아니다.

슈워츠 $스페이스{\displaystyle \mathcal{}}$ S${\displaystyle {}^{}}$ ) ${\${\$mathcal {S}\왼쪽(\mathb {R}^{n}\오른쪽)$과 부드러운 함수 $C{\displaystyle {}^{\mathrm{}}U}$ $){\displaystyle$ C$^{\infty }(U)$의 공간.

다음의 광범위하게 사용되는 공간은 Frechet-Uryson 공간이 아닌 순차 공간의 두드러진 예들이다.Let ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ denote the Schwartz space and let ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ denote the space of smooth functions on an open subset ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ where both of these spaces have their usual분포에 대한 기사에서 정의된 대로 프리셰 공간 토폴로지.Both ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ and ${\displaystyle C^{\infty }(U),}$ as well as the strong dual spaces of both these of spaces, are complete nuclear Montel ultrabornological spaces, which implies that all four of these locally convex spaces are also paracompact^[6]반사적으로 빗장이 쳐진 정상 공간$S{\displaystyle \mathcal{}({}^{}}$) ${\$과 $C{\displaystyle {}^{}}$ $){\displaystyle C^{\infit }}(U)$의 강한 이중 공간은 순차 공간이지만$$ 이 중 어느 것도 Fréchet-Uryson 공간은 아니다.^[7][8]

참고 항목

• 계산가능성의 공리
• 첫 번째 카운트 가능 공간 – 각 지점이 카운트 가능한 인접 영역을 갖는 위상적 공간
• 한계점 – 위상학적 공간의 점
• 지도에 대한 시퀀스
• 순차적 공간 – 특정 속성이 있는 위상적 공간

메모들

인용구

참조

• 아칸겔스키, A.V., 폰트랴긴, L.S., 스프링거-베를라크, 뉴욕 (1990) ISBN 3-540-18178-4.
• P.I. 부스와 Tillotson, A., 모노달은 닫혔고, 카트리지어는 닫혔고 편리한 범주의 Pacific J. Math, 88 (1980) 페이지 35–53.
• 엥겔킹, R, 제너럴 토폴로지, Heldermann, 베를린 (1989년)개정판 및 완성판.
• 프랭클린, S. P. "순서가 만족스러운 공간" 펀드수학. 57 (1965), 107-115.
• Franklin, S. P. "Spaces in What Sequences II, Fund."수학 61번(1967년), 51-56번
• 고어햄, 앤서니, "위상학적 공간에서의 연속적 융합"
• Steenrod, N.E., 위상학 공간의 편리한 범주, Michigan Math. J, 14 (1967), 133-152.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.