흄의 원리
Hume's principle |
흄의 원리 또는 HP는 F와 G 사이에 일대일 대응(bijection)이 있는 경우에만 F의 수가 G의 수와 동일하다고 말합니다. HP는 2차 논리 시스템에서 공식적으로 기술할 수 있습니다. 흄의 원리는 스코틀랜드 철학자 데이비드 흄의 이름을 따서 지어졌고 조지 불로스에 의해 만들어졌습니다.
HP는 고틀롭 프레게의 수학 철학에서 중심적인 역할을 하고 있습니다. 프레게는 HP와 산술 개념에 대한 적절한 정의가 현재 우리가 2차 산술이라고 부르는 것의 모든 공리를 수반한다는 것을 보여줍니다. 이 결과를 프레게의 정리라고 하는데, 이것은 신논리주의라고 불리는 수학 철학의 기초입니다.
오리진스
흄의 원리는 데이비드 흄의 인간 본성에 관한 논문(1740) 1권의 제3부에서 인용한 프레게의 산술의 기초(§63)에 등장합니다. 흄은 생각들 사이의 일곱 가지 기본적인 관계를 제시합니다. 이들 중 하나인 수량 또는 수에 대한 비율에 대해 흄은 기하학으로 대표되는 수량 비율에 대한 우리의 추론은 그 원리가 감각-외모에서 파생되기 때문에 결코 "완벽한 정확성과 정확성"을 달성할 수 없다고 주장합니다. 그는 이를 수나 산술에 대한 추론과 대조하며, 이와 같은 정확성을 얻을 수 있습니다.
대수학과 산술학은 우리가 추론의 사슬을 어느 정도의 복잡성으로 이어가면서도 완벽한 정확성과 확실성을 유지할 수 있는 유일한 과학입니다. 우리는 정확한 기준을 가지고 있으며, 이를 통해 수의 동등성과 비율을 판단할 수 있습니다. 그리고 그 기준에 부합하는지 아닌지에 따라 오류의 가능성 없이 그들의 관계를 결정합니다. 두 숫자가 너무 결합되어 있어서, 그 숫자가 항상 다른 숫자의 모든 단위에 대응하는 단위를 가지고 있을 때, 우리는 그것들이 동등하다고 선언합니다. 그리고 그것은 [공간적] 확장에 있어서 그러한 동등함의 기준이 없기 때문에, 기하학은 완벽하고 절대적인 과학으로 간주될 수 없습니다. (I. III. I.)[2]
흄이 고대의 의미에서 숫자라는 단어를 사용한 것에 주목하십시오. "양의 정수"라는 현대의 일반적인 개념보다는 사물의 집합 또는 집합을 의미합니다. 고대 그리스의 수 개념은 단위로 구성된 유한한 복수입니다. 아리스토텔레스, 형이상학, 1020a14와 유클리드, 원소, 7권, 정의 1과 2를 참조하십시오. 오래된 수 개념과 현대적인 수 개념의 대조에 대해서는 Mayberry(2000)에서 자세히 설명하고 있습니다.
집합론에 대한 영향
기수는 일대일 대응의 관점에서 특징지어져야 한다는 원칙은 이전에 프레게가 알고 있던 게오르크 칸토어에 의해 사용되었습니다. 따라서 흄의 원리를 "칸토르의 원리" 또는 "흄-칸토르의 원리"라고 불러야 한다는 제안이 있었습니다. 그러나 프레게는 칸토어가 기수를 순서수로 정의하는 반면, 프레게는 순서수와는 독립적인 추기경의 성격을 부여하고자 했다는 이유로 칸토어를 비판했습니다. 그러나 칸토어의 관점은 공리적 집합론에서 발전된 것처럼 현대의 초무한수 이론에 내재된 것입니다.
참고문헌
- Anderson, D.; Zalta, E. (2004). "Frege, Boolos, and Logical Objects" (PDF). Journal of Philosophical Logic. 33: 1–26. doi:10.1023/B:LOGI.0000019236.64896.fd. S2CID 6620015.
- Boolos, George (1990). "The Standard of Equality of Numbers". In Boolos, G. (ed.). Meaning and Method: Essays in Honour of Hilary Putnam. Cambridge University Press. pp. 261–277. ISBN 978-0-521-36083-8.
- Boolos, George (1998). "§II. "Frege Studies". Logic, Logic, and Logic. Harvard University Press. pp. 133–342. ISBN 978-0-674-53767-5.
- Burgess, John (2018) [2005]. Fixing Frege. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-18706-8.
- Frege, Gottlob (1884). Die Grundlagen der Arithmetik: Eine logisch mathematische Untersuchung [The Foundations of Arithmetic]. Breslau: Wilhelm Koebner.
- Hume, David (1739–1740). A Treatise of Human Nature.
- Mayberry, John P. (2000). The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 83. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-77034-7.
인용
- ^ "IV. Der Begriff der Anzahl § 63. Die Möglichkeit der eindeutigen Zuordnung als solches. Logisches Bedenken, dass die Gleichheit für diesen Fall besonders erklärt wird". Frege 1884 – via Project Gutenberg.
§63. Ein solches Mittel nennt schon Hume: »Wenn zwei Zahlen so combinirt werden, dass die eine immer eine Einheit hat, die jeder Einheit der andern entspricht, so geben wir sie als gleich an.«
- ^ "Part III. Of Knowledge and Probability: Sect. I. Of Knowledge". Hume 1739–1740 – via Project Gutenberg.
