차이 대수

차이 대수학은 대수학적 관점에서 차이(또는 기능적) 방정식의 연구와 관련된 수학의 한 분야다.차이 대수학은 미분 대수학과는 유사하지만 미분 방정식보다는 차이 방정식과 관련이 있다.독립적인 과목으로서 그것은 조셉 릿트와 그의 제자인 리차드 콘에 의해 시작되었다.

차이 링, 차이 필드 및 차이 알제브라

차이 링은 순환 링 $R{\displaystyle }$ {\$displaystyle R}$과 링 ${\displaystyle \mathrm{내형성}}$ orph : $R{\displaystyle }$ → R${\displaystyle \sigma \colon R\to$ R}. $종종$ ${\displaystyle \sigma}$이 주입성이라고$$ 가정한다.$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 필드일$$ 때 차이 필드를 말한다.차이 필드의 고전적인 예로는 차이 연산자$$$\sigma {\displaystyle (f}$ (${\displaystyle x}$ )$$= ${\displaystyle f}$ ( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( x ) = f ( ${\displaystyle \mathrm{x}}$+ 1)${\displaystyle$$$$\sigma }$과(x$$) $합리적$인 함수의 K${\displaystyle }$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$($x)$ 필드 $K{\displaystyle }$ = ${\displaysty$ $\sigma$}가$주어진다$.차이 대수에서 차이 고리의 역할은 정류 대수학 및 대수 기하학에서 정류 고리의 역할과 유사하다.차이 링의 형태론은 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }}$과(와) 통용되는$$링의 $형태론$이다$.$ 차이 필드 K {\$displaystyle$ K$}$에 대한 차이 대수학은 차이 링 R ${\\$$displaystyle$ $R$$}$과($와{\displaystyle }$$)$와 K →${\displaystystyto R}$과 같은$$ -algebra$$ 구조를 가진 차이 $링$의 형태론이다.추론 링, 즉 ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle R}$→ R ${\displaystyle \sigma \colon R\to$ $R$$}$은(는) $\sigma {\displaystyle }$: ${\displaystyle K}$→ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \sigma \colon K}$을(는) 확장한다$.$ 필드인 차이 대수학을 차이장 확장이라고 한다.

대수차 방정식

The difference polynomial ring ${\displaystyle K\{y\}=K\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ over a difference field ${\displaystyle K}$ in the (difference) variables ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ is the polynomial ring over ${\displaystyle K}$ in the infinitely many variables ${\displaystyle \sigma ^{i}(y_{j}),\ (i\in \mathbb {N} ,1\leq j\leq n)}$. It becomes a difference algebra over ${\displaystyle K}$ by extending ${\displaystyle \sigma }$ from ${\displaystyle K}$ to ${\displaystyle K\{y\}}$ as suggested by the nam변수의 함몰

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 대한 대수적 차이 방정식 시스템에 의해 하나는$$ K${\displaystyle }${ ${\displaystyle K}$의 $하위{\displaystyle }$ 집합 F ${\displaystyle F}$을(를$)$ 의미한다$.$ R ${\$$displaystyle$ $K}$에 $대한{\displaystyle }$$$ R ${\$$displaystystyle$ K$}$의 $차이$ 대수인 경우$$, $F$${\$desolution은 $다음과 같다$.

${\displaystyle \mathb {V} _{R}(F)=\{a\in R^{n} \f(a)=0{\text{모든 }f\in F\}.}$

Classically one is mainly interested in solutions in difference field extensions of ${\displaystyle K}$. For example, if ${\displaystyle K=\mathbb {C} (x)}$ and ${\displaystyle R}$ is the field of meromorphic functions on ${\displaystyle \mathbb {C} }$ with difference operator ${\displaystyle \si$$gma }$ given by ${\displaystyle \sigma (f(x))=f(x+1)}$, then the fact that the gamma function ${\displaystyle \Gamma }$ satisfies the functional equation ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ can be restated abstractly as ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }\in {\mathbb{V}}_R(\sigma (y_1)-x{y}_1)}$${\displaystyle \Gamma \in \mathb {V} _{R}(\sigma (y_{1}-xy_{1})$.

차등품종

직관적으로 차이 $분야{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$에 대한 차이 다양성은 K ${\displaystyle K}$에 대한 대수적 차이 방정식 시스템의 해법 집합이다$.$ 이 정의는 $해결책$을 찾고 있는 위치를 명시하여 더 정밀하게 만들어야 한다..[1][2]또는, 한 K{K\displaystyle}의 차이 분야 확대의 전 부문에서 세트의 형태 R⇝ VR(의 범주에 대한 functor로 차이가 다양한 수 있을 정도 보통 한 해결책을 K{K\displaystyle}의 차이 분야 확대의 전 소위 보편적 가족을 보고 있다. F)$$일부 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}${${\displaystyle y}$ } . {\$displaystyle$ F\$subseteq K\{y\}}$에 대한$$$\displaystyle R\wrigarrow \mathb {V}$ $_$${R}(F$$)\}.$

차이 다양한 산술 차 방정식의 변수에 정의된 y 1,…, yn{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}, K의 어떤 이상({\displaystyle K\{y\}}, 즉 K의 완벽한 차이 이상({\displaystyle K\{y\}}하나의 .[3]사이는 일대일성이 있다.영혼차이 대수학의 이론들은 $K{\displaystyle }${ ${\displaystyle y\}}$ ${\displaystyle K\{y\}}$에서 완벽한 차이 이상의 모든 상승 체인은 유한하다고$$ 주장한다.이 결과는 힐버트의 기본 정리의 차이 아날로그로 볼 수 있다.

적용들

차이 대수학은 이산 역학 시스템, 결합학, 숫자 이론 또는 모델 이론과 같은 많은 다른 수학 영역과 관련이 있다.인구 역학 같은 일부 실생활 문제는 대수적 차이 방정식으로 모델링할 수 있지만, 차이 대수학도 순수 수학에 응용이 있다.예를 들어, 차이 대수법을 이용한 마닌-맘포드 추측의 증거가 있다.^[4]차이 분야의 모델 이론이 연구되었다.

참고 항목

• 유한차이
• 재발관계
• 함수 방정식
• 미분대수학

메모들

참조

• 알렉산더 레빈(2008) 차이 대수학 스프링거 ISBN 978-1-4020-6946-8
• 리처드 M.Cohn(1979년), 차이 대수학 R.E. Krieger Pub.Co. ISBN 978-0-88275-651-6

외부 링크

• Wibmer, Michael (2013). Lecture Notes - Algebraic difference equations (PDF). pp. 80 pages.
• 조에 챗지다키스 홈페이지에는 차이 분야의 모델론을 논의하는 온라인 설문조사가 여러 건 있다.