3개 부분군 보조정리

수학에서, 좀 더 구체적으로 말하면, 세 가지 부분군 보조기구는 정류자에 관한 결과물이다.필립 홀과 에른스트 위트의 어처구니없는 정체성의 결과물이다.

표기법

다음과 같은 경우 다음과 같은 표기법을 사용할 것이다.

• H와 K가 그룹 G의 하위 그룹인 경우, [H, K]로 표시된 H와 K의 정류자는 두 하위 그룹의 요소들 사이에 있는 정류자에 의해 생성된 G의 하위 그룹으로 정의된다.L이 세 번째 부분군일 경우 [H,K,L] = [H,K,L]이라는 관례가 따른다.
• x와 y가 그룹 G의 요소인 경우 x by y의 결합은 ${\displaystyle x^{}}$ $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ x$^{y}}$로 표시된다$.$
• H가 그룹 G의 하위 그룹인 경우 G에서 H의 중심기는 C_G(H)로 표시된다.

성명서

X, Y, Z를 그룹 G의 하위 그룹으로 하고 가정한다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle X}$, Y${\displaystyle }$, ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [X,Y,Z]=1}$및$$${\displaystyle }$[${\displaystyle Y,Z,X]}$= 1. ${\displaystyle [Y,Z,X]=1.}$

그런 다음${\displaystyle }$[ ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [Z,X,Y]=1$^[1]

More generally, for a normal subgroup ${\displaystyle N}$ of ${\displaystyle G}$, if ${\displaystyle [X,Y,Z]\subseteq N}$ and ${\displaystyle [Y,Z,X]\subseteq N}$, then ${\displaystyle [Z,X,Y]\subseteq N}$.^[2]

증명 및 홀-위트 정체성

홀-위트 정체성

$x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x,y,z\in G}$인 경우$,$

${\displaystyle [x,y^{-1},z]^{y}\cdot [y,z^{-1},x]^{z}\cdot [z,x^{-1},y]^{x}=1.}$

3개 부분군 보조정리 증빙

Let ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle y\in Y}$, and ${\displaystyle z\in Z}$. Then ${\displaystyle [x,y^{-1},z]=1=[y,z^{-1},x]}$, and by the Hall–Witt identity above, it follows that ${\displaystyle [z,x^{-1},y]^{$$x}=1}$ and so ${\displaystyle [z,x^{-1},y]=1}$. Therefore, ${\displaystyle [z,x^{-1}]\in \mathbf {C} _{G}(Y)}$ for all ${\displaystyle z\in Z}$ and ${\displaystyle x\in X}$. Since these elements generate ${\displaystyle [Z,X]}$, we con$[{\displaystyle }$${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle [Z,X]\subseteq \mathbf {C} _{G$]$_{$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \mathrm{1<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; [Z,X]\backslash subseteq\; \backslash mathbf\; \{C\}\; \_\{G\}(Y)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/704d9996e1224ab3326d95f98fad9c0b5ed73572"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:16.124ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="73">}}$ ${\displaystyle [Z,X,Y]=1$

참고 항목

• 정류자
• 하부 중앙 시리즈
• 그룬 보조정리
• 자코비 정체성

메모들

참조

• I. Martin Isaacs (1993). Algebra, a graduate course (1st ed.). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.