클러스터 확장 접근법

클러스터 확장 접근법은 상호작용하는 시스템의 양자 역학을 해결할 때 발생하는 BBGKY 계층 문제를 체계적으로 잘라내는 양자 역학 기술이다.이 방법은 매우 다양한 다체 및/또는 양자 광학 문제를 분석하기 위해 적용할 수 있는 수치적으로 계산 가능한 닫힌 방정식 세트를 생성하는 데 매우 적합합니다.예를 들어 반도체 양자광학에서^[1] 널리 응용되며 반도체 블로흐 방정식 및 반도체 발광 방정식을 일반화하는데 응용할 수 있다.

배경

양자 이론은 본질적으로 고전적으로 정확한 값을 파동 함수, 밀도 매트릭스 또는 위상 공간 분포를 사용하여 공식화할 수 있는 확률적 분포로 대체한다.개념적으로 적어도 형식적으로는 측정된 각 관측치 뒤에 항상 확률 분포가 있습니다.이미 1889년, 양자물리학이 공식화되기 훨씬 전인 소발드 N. Thiele은 가능한 적은 수량으로 확률적 분포를 설명하는 누적량을 제안했다. 그는 이를 ^[2]반불변량이라고 불렀다.누적량은 평균, 분산, 왜도, 첨도 등과 같은 일련의 수량을 형성하며, 누적량이 많을수록 분포의 정확도가 높아집니다.

적층체의 개념은 핵 다체 현상을 연구하려는 의도로 프리츠^[3] 코에스터와 헤르만^[4] 퀴멜에 의해 양자 물리학으로 전환되었다.나중에, 지이 체크와 요제프 팔두스는 복잡한 원자와 분자의 다체 현상을 설명하기 위해 양자 화학의 접근을 확장했다.본 연구는 주로 다체파 함수로 작동하는 결합 클러스터 접근법의 기초를 도입하였다.결합 클러스터 접근법은 복잡한 분자의 양자 상태를 해결하는 가장 성공적인 방법 중 하나입니다.

고체에서 다체파함수는 직접파함수-용액기법이 다루기 어려울 정도로 복잡한 구조를 가진다.클러스터 팽창은 결합 클러스터^[1]^[5] 접근법의 변형이며, 근사 파동 함수 또는 밀도 행렬의 양자 역학을 해결하려고 시도하는 대신 상관 관계의 동적 방정식을 해결합니다.다체계의 특성과 양자-광학적 상관관계를 다루는 데도 적합해 반도체 양자광학에도 매우 적합하다.

다체물리학이나 양자광학에서 거의 항상 그렇듯이, 관련된 물리학을 설명하기 위해 2차 양자화 형식을 적용하는 것이 가장 편리합니다.예를 들어 Boson 작성 ${\hat {B}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }$ 및 소멸 연산자 ${\hat {B}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }$ B ^ ${\hat {B}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }$ ^ q ${\$ {\ $mathbf {q}^{\dagger$ $}}$ $및$ B $^$ $^$ ${\hat {B}}_{\mathbf {q} }$ { $displaystyle$ { $B}_{\$ $mathbf {q}}$ 을 $\hbar {\mathbf {q}}$ ${\hat {B}}_{\mathbf {q} }$ 를 ${\hat {B}}_{{\mathbf {q}}}^{\dagger }$ ) 사용하여 라이트 필드를 기술합니다. 여기서 $\hbar \mathbf {q}$ 는 각각 $\hbar \mathbf {q}$ ton. B $위$ 에 $있는 "모자$ "는 수량의 연산자 특성을 나타냅니다. $다체$ 상태가 물질의 전자 들뜸으로 구성되어 있는 경우, 페르미온 생성 및 소멸 연산자 a ${\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }^{\dagger }$ ^ ^ ${\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }^{\dagger }$ $^$ ^ ^ ^ ^ ${\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }^{\dagger }$ ^ ^ ^ $^$ ^ ^ } ${\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }$ ${\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }$ ^ ${\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }$ k ^ 、 ${\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }$ ${\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }^{\dagger }$ $（ display style$ { $a$ } _ $lambda$ } } } 、 respectruction { $lambda }$ { mathbda $}$ } ${\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }$ } { mathbda } } }에 ${\hat {a}}_{{\lambda ,{\mathbf {k}}}}^{\dagger }$ ${\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }$ 완전히 정의됩니다. $\displaystyle \hbar \mathbf {k$ $}$ 는 $\hbar {\mathbf {k}}$ 입자의 운동량을 나타내며 $,$ \ $displaystyle \displayda$ 는 $\lambda$ 스핀이나 밴드 인덱스 등의 내부 자유도를 나타냅니다.

N 입자 기여의 분류

다체계가 양자광학적 특성과 함께 연구될 때, 모든 측정 가능한 기대치는 N 입자 기대치의 형태로 표현될 수 있다.

$\langle {N}\rangle \equiv \langle {B}_{\dagger}\cdots {\hat {B}^{\k}^{\dagger}\cdots {a}{{{1}{\dagger}{cdots {a}^{\hat}$

$N=N_{\hat {B}}+N_{\hat {a}}$ 서 N $N=N_{\hat {B}}+N_{\hat {a}}$ $N=N_{\hat {B}}+N_{\hat {a}}$ $N=N_{\hat {B}}+N_{\hat {a}}$ + $N=N_{\hat {B}}+N_{\hat {a}}$ a $^$ {\ $displaystyle$ N $=N_{\hat {a}}}$ + $N_{\hat {$ a}}} $N_{\hat {B}}=J+K$ N $N_{\hat {B}}=J+K$ ^ $=$ + $N_{\hat {B}}=J+K$ ${\displaystyle N_{\hat$ {B}= $J+K}}$ 이다 $N_{{{\hat {B}}}}=J+K$ . 단, 명시적 운동량 지수는 간략화를 위해 억제된다.이러한 수량은 보통 순서가 매겨집니다.즉, 기대값에서 모든 생성 연산자는 왼쪽에 있고 모든 소멸 연산자는 오른쪽에 있습니다.페르미온 생성 연산자와 소멸 연산자의 양이 ^[6]^[7]같지 않으면 이 기대값이 사라짐을 보여주는 것은 간단하다.

Hamiltonian 시스템을 알면 하이젠베르크 운동 방정식을 사용하여 주어진 $(\displaystyle$ N $)$ 입자 $N$ 연산자의 역학을 생성할 수 있습니다. $그러나$ 다체 및 양자 광학 상호작용은 N $(\displaystyle$ $(N+1)$ N) -입자 $N$ 양을 $N + 1)$ -입자 $(N+1)$ 기대치에 결합합니다. -입자 기대치는 보골류보프-본-그린-커크우드라고 알려져 있습니다.Yvon(BBGKY) 계층 문제수학적으로 모든 입자는 서로 상호작용하여 방정식 구조를 만든다.

$\displaystyle \mathrm {i} \hbar \frac = \mathrm {T} \left[\hat {N} \rangle \right] + \mathrm {Hi} \left[\hat {N} + 1 \rangle \right]$

여기서 $함수$ T(\ $displaystyle$ T $)$ 는 $T$ 계층 문제가 없는 기여, 계층적(Hi) 결합의 함수는 $\mathrm {Hi} [\langle {\hat {N}}+1\rangle ]$ ^ + 1 $\mathrm {Hi} [\langle {\hat {N}}+1\rangle ]$ ](\ $displaystyle \mathrm {Hi$ } [\ $langle {N}+1$ \rangle $\mathrm {Hi} [\langle {\hat {N}}+1\rangle ]$ ])로 나타냅니다.기대값의 모든 레벨은 실제 수치까지 0이 아닙니다.그의 방정식은 더 이상의 고려 없이 직접적으로 잘릴 수 없다.

클러스터의 재귀적 정의

클러스터 확장 기반 분류의 개략도 표현.완전 상관관계는 단일, 이중, 삼중 및 고차 상관관계로 구성되며, 모두 클러스터 확장 접근법에 의해 고유하게 정의됩니다.각 파란색 구는 하나의 입자 연산자에 해당하고 노란색 원/엘리프는 상관 관계에 해당합니다.상관 관계 내의 구 수는 클러스터 번호를 식별합니다.

계층 문제는 상관된 클러스터를 식별한 후 체계적으로 잘릴 수 있습니다.가장 간단한 정의는 클러스터를 재귀적으로 식별한 후에 이어집니다.가장 낮은 레벨에서는 $\langle 1\rangle$ 1 $\langle 1\rangle$ display \ $displaystyle \ rangle$ $\langle 1\rangle$ 로 상징되는 단일 소숫점 기대치(singlets)의 클래스를 찾을 수 있으며, 2 $display$ \ $displaystyle$ $\langle 2\rangle$ \ $rangle }$ 는 $\langle 2\rangle$ 인수분해 $\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }=\langle 1\rangle \langle 1\rangle$ 2 $\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }=\langle 1\rangle \langle 1\rangle$ S $\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }=\langle 1\rangle \langle 1\rangle$ $display$ 1 $\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }=\langle 1\rangle \langle 1\rangle$ display style 1로 근사할 수 있다 $\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }=\langle 1\rangle \langle 1\rangle$ \ $mathrm {S}$ = \ $rangle 1$ $\rangle$ \ $rangle$ 1 $\rangle }$ 。단순 $\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }=\langle 1\rangle \langle 1\rangle$ 기대치의 모든 가능한 곱에 대한 공식 합계를 포함합니다.보다 일반적으로 $1$ 1 ${\$ \ style \ $langle$ 1 \ $rangle$ defines $\langle 1\rangle$ N ${\$ $\langle N\rangle _{\mathrm {S} }$ \ $display$ style \ $langle N \ rangle$ _ { \ $mathrm$ { S $}$ $\langle N\rangle _{\mathrm {S} }$ $N$ \ $display N$ } - particle $N$ 기대치의 단일 인수분해입니다.물리적으로 페르미온 사이의 단일항 인수분해는 하트리(Hartree)를 생성한다.Bosons의 경우, Fock 근사치는 Boson 연산자가 일관된 진폭(예: B ${\hat {B}}\rightarrow \langle {\hat {B}}\rangle$ ^ ${\hat {B}}\rightarrow \langle {\hat {B}}\rangle$ B ^ ${\hat {B}}\rightarrow \langle {\hat {B}}\rangle$ ^ ${\hat {B}}\rightarrow \langle {\hat {B}}\rangle$ \ displaystyle ${B}}\rightarrow \solle {B}}\rangle$ )으로 공식 치환되는 고전적인 근사치를 산출한다. 단일 인수 분리는 클러스터 표현의 첫 번째 수준을 구성한다.

$\langle 2\rangle$ 2 ${\$ \ $displaystyle$ \ $langle$ 2 \ $rangle$ }의 $\langle 2\rangle$ 관련 부분은 실제 $\langle 2\rangle$ 2 ${\$ \ $displaystyle$ \ $langle$ 2 \ $rangle$ 2 $\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }$ S $\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }$ \ $displaystyle$ \ $langle$ 2 \ $mathrm$ { S $}$ 의 차이입니다.자세한 내용은 수학적으로 찾아냅니다.

$2\rangle =\displayle 2\rangle _{\mathrm {S} +\Delta \displayle 2\rangle$

여기서 $\Delta$ \ $displaystyle$ \ $Delta }$ 기여는 $\Delta$ 관련된 부분을 나타냅니다. 즉, $\Delta \langle 2\rangle =\langle 2\rangle -\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }$ 2 $\Delta \langle 2\rangle =\langle 2\rangle -\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }$ 2 $\Delta \langle 2\rangle =\langle 2\rangle -\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }$ - $\Delta \langle 2\rangle =\langle 2\rangle -\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }$ 2 $\Delta \langle 2\rangle =\langle 2\rangle -\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }$ S （ \ $displaystyle$ \ $Delta$ \ $delta$ 2 \ $rangle =$ \ $rangle$ 2 \ $rangle 2 }$ 。다음 수준의 식별은 재귀적으로^[1] 적용됩니다.

$3\rangle&=\langle 3\rangle _{\mathrm{S}}{\displaystyle{\begin{정렬}\langle +\langle1\rangle)\Delta\langle 2\rangle +\Delta N\rangle 및 \,,\\\langle, =\langle N\rangle _{\mathrm{S}}\\&, \quad+\langle N-2\rangle _{\mathrm{S}})\Delta\langle 2\rangle \\&, \quad+\langle N-4\rangle _{\mathrm{S}})\Delta \lan 3\rangle \langle.gle 2\rangle))델타 \langle 2 \rangle + \dots \&\quad +\langle N-3 \rangle _{\mathrm {S}}\\Delta \langle 3\rangle \&\quad +\langle N-5\rangle _{\mathrm {S}\langle 3\rangle 3\l$

여기서 각 제품 항은 하나의 인수분해를 상징적으로 나타내며 식별된 항 클래스 내의 모든 인수분해에 대한 합계를 암시적으로 포함합니다.순수하게 상관된 부분은 $\Delta \langle N\rangle$ $\Delta \langle N\rangle$ {\ N $\Delta \langle N\rangle$ {\ \ $displaystyle$ \ $Delta$ \ $langle$ N \ $rangle$ le $\Delta \langle N\rangle$ 이것들로부터 2개의 입자 상관 $\Delta \langle 2\rangle$ 2 ${\$ \ $displaystyle$ \ $Delta$ \ $langle$ 2 $\Delta \langle 2\rangle$ \ $rangle }$ $3개$ 의 입자 상관 \ displaystyle 3 $\$ $\Delta \langle 3\rangle$ \ displaystyle 3 $\Delta \langle 3\rangle$ 2 \ displaystyle 3 $\Delta \langle 3\rangle$

이 식별은 재귀적으로 적용되기 때문에 계층 문제에 나타나는 상관관계를 직접 식별할 수 있습니다.그런 다음 상관 관계의 양자 역학을 결정하여 다음과 같이 산출한다.

$\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac t} \rangle = \mathrm {T} \left [\Delta \hat {N} \rangle \right] + \mathrm {NL} \left [ \\frac } \ delta langle}$

여기서 인수분해는 클러스터 간에 비선형 $\mathrm {NL} \left[\cdots \right]$ $\mathrm {NL} \left[\cdots \right]$ L $\mathrm {NL} \left[\cdots \right]$ [ $]$ { $displaystyle \mathrm {NL}$ \ $left[\cdots \right]$ 를 ${\mathrm {NL}}\left[\cdots \right]$ 생성합니다.명백히 클러스터를 도입해도 계층적 기여는 역동성에 머물러 있기 때문에 직접 접근 방식의 계층적 문제를 제거할 수 없습니다.이러한 특성과 비선형 항의 외관은 군집 확장 접근법의 적용 가능성에 대한 복잡성을 시사하는 것으로 보입니다.

그러나 직접 기대치 접근법에 대한 주요 차이로서 다체 상호작용과 양자-광학적 상호작용 모두 ^[1]^[8]순차적으로 상관관계를 생성한다.실제로 몇 가지 관련 문제에서 하위 클러스터만 처음에는 사라지지 않고 상위 클러스터는 느리게 구축되는 상황이 발생합니다.이 경우 계층적 결합 $\mathrm {Hi} \left[\Delta \langle {\hat {C}}+1\rangle \right]$ [ $\mathrm {Hi} \left[\Delta \langle {\hat {C}}+1\rangle \right]$ ^ + 1 $]{$ $displaystyle$ \ $mathrm { Hi$ } \ $left$ [ \ $Delta$ \ $langle$ \ $hat$ { $C$ } + $1$ \ $rangle$ \ $right$ 는C { $displaystyle$ C} - particle $C$ 클러스터를 $C$ 하는 수준에서 생략할 수 있습니다.그 결과 방정식이 닫히고 시스템의 관련 특성을 설명하기 위해 최대 $(\displaystyle$ C $)$ 입자 $C$ 상관 관계까지만 역학을 계산하면 됩니다.C $(\displaystyle$ C $)$ 는 $C$ 일반적으로 전체 입자 수보다 훨씬 작기 $C$ 에 클러스터 확장 접근법은 다체 및 양자 광학 ^[1]조사를 위한 실용적이고 체계적인 솔루션 체계를 제공합니다.

내선번호

양자 역학을 기술하는 것 외에, 양자 분포를 나타내기 위해 클러스터 확장 접근법을 자연스럽게 적용할 수 있다.한 가지 방법은 클러스터 측면에서 양자화된 ${\hat {B}}$ 모드 ${\hat {B}}$ B의 $양자$ 변동을 표현하여 클러스터 $확장$ 을 나타내는 클러스터입니다 $.$ 또는 기대치 표현 $\langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle$ [ $\langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle$ ^ $\langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle$ B $\langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle$ ^ $\langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle$ ${\$ \ $displaystyle$ \ $langle$ [ { \ $hat$ { $B$ }^{ \ $dagger$ }^{ $J$ }{ \ $hat$ { $B$ }^{ K }\ $rangle$ $\langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle$ 로 표현할 수 있습니다.이 경우 $\langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle$ [ $\langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle$ ^ $\langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle$ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ] ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 밀도 $행렬$ 에 대한 {\ $hat {B}}^{K$ }\rangle $}$ 은(는) 고유하지만 숫자적으로 분산되는 급수가 발생할 수 있습니다.이 문제는 가우스의 관점에서 분포를 나타내는 클러스터 확장 변환(CET)^[9]을 도입하여 해결할 수 있습니다.이것은 단일-더블렛 기여에 의해 정의되며, 다항식과 고차 군집에 의해 정의됩니다.이 공식은 표현 대 표현 변환에서 극단적인 수렴을 제공하는 것으로 밝혀졌다.

이 완전히 수학적인 문제는 직접적인 물리적 응용이 있다.클러스터 확장 변환을 적용하여 기존 측정을 양자 광학 측정에 강력하게 ^[10]투영할 수 있습니다.이 속성은 주로 가우스 분포에 다항식 인자를 곱한 형태로 설명하는 CET의 능력에 기초한다.이 기술은 고품질 레이저를 사용하여 수행할 수 있는 일련의 고전적 분광학 측정에서 양자 광학 분광학에 접근하고 도출하기 위해 이미 사용되고 있습니다.

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레퍼런스

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추가 정보

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