대수적으로 폐쇄된 그룹

그룹 이론에서 그룹 확장자가 필요$$ 없이 $그룹{\displaystyle }$ A ${\$ A$\}$에서 "이해되는" 방정식과 불평등의 유한 집합이 $A{\displaystyle }$ ${\$ $A$$\}$에 해결책을 가지고$$ 있는 경우 그룹 A ${\$ $A$$\}은($는) 대수적으로 닫힌다.이러한 개념은 § 공식 정의의 기사 후반부에서 정확하게 만들어질 것이다.

비공식 토론

$그룹{\displaystyle }$ $G{\displaystyle }$ ${\$ G$\}$의 요소 x {\displaystyle x$\}$을(를) 찾고$$ 싶다고 가정합시다.

${\displaystyle x^{2}=1\ }$

${\displaystyle x^{3}=1\ }$

$1\displaystyle x\neq 1\ }$

그렇다면 처음의 두 $방정식$은${\displaystyle }$x = $1을$내포하고 있기 때문에 이것이 불가능하다는 것을 쉽게 알$$수 있다. 이 경우 우리는 $조건{\displaystyle }$ 집합이$$G {\$displaystyle$G$\backslash \}$과(사실 이 조건 집합은 어떤 집단과도 일관성이 없다고 말한다.)

$G\displaystyle G\ }$
$(\displaystyle.\ }$ ${\displaystyle {\underline{1}\ }$ ${\displaystyle {\underline{a}\ }$ ${\displaystyle {\underline{1}\ }$ $1\displaystyle 1\ }$ $a\ 표시 스타일 a\daystyle a\ }$ ${\displaystyle {\underline{a}\ }$ $a\ 표시 스타일 a\daystyle a\ }$ $1\displaystyle 1\ }$

$이제{\displaystyle }$ G ${\$이$($가) 곱셈표를 가진 그룹이라고 가정합시다.

그런 다음 조건:

${\displaystyle x^{2}=1\ }$

$1\displaystyle x\neq 1\ }$

$G{\displaystyle }$ ${\$ $\},$ 즉 ${\displaystyle x}$= ${\$x=$a$

그러나 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle x^{4}=1\ }$

${\displaystyle x^{2}a^{-1}=1\ }$

쉽게 확인할 수 있으므로 $G{\displaystyle }$ ${\$에 솔루션을 사용하지 마십시오$.$

$H\displaystyle H\ }$

$(\displaystyle.\ }$ ${\displaystyle {\underline{1}\ }$ ${\displaystyle {\underline{a}\ }$ ${\displaystyle {\underline{b}\ }$ ${\displaystyle {\underline{c}\ }$ ${\displaystyle {\underline{1}\ }$ $1\displaystyle 1\ }$ $a\ 표시 스타일 a\daystyle a\ }$ $b\ 디스플레이 스타일 b\ playstyle b\ }$ $c\displaystyle c\ }$ ${\displaystyle {\underline{a}\ }$ $a\ 표시 스타일 a\daystyle a\ }$ $1\displaystyle 1\ }$ $c\displaystyle c\ }$ $b\ 디스플레이 스타일 b\ playstyle b\ }$ ${\displaystyle {\underline{b}\ }$ $b\ 디스플레이 스타일 b\ playstyle b\ }$ $c\displaystyle c\ }$ $a\ 표시 스타일 a\daystyle a\ }$ $1\displaystyle 1\ }$ ${\displaystyle {\underline{c}\ }$ $c\displaystyle c\ }$ $b\ 디스플레이 스타일 b\ playstyle b\ }$ $1\displaystyle 1\ }$ $a\ 표시 스타일 a\daystyle a\ }$

그러나 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\$ G$\}$을(를) 곱셈표를 사용하여$$ 그룹 $H{\displaystyle }$ ${\$ H$\}($으)로$$ 확장하는 경우:

그러면 조건에는 두 ${\displaystyle \mathrm{가지}}$ 해결책, $즉{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$= b ${\$ x$=b\}$과 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$ ${\$ x$=c\}$이(가) 있다$.$

따라서 그러한 조건에는 다음과 같은 세 가지 가능성이 있다.

• 이들은 $G{\displaystyle }$ ${\$ G$\}$과(와) 일치하지 않을$$ 수 있으며 $G{\displaystyle }$ ${\$ G$\}$의 확장에는 해결책이 없을 수 있다$.$
• $그들$은 G ${\$에 해결책을 가지고 있을 수 있다$.$
• 그들은 $G{\displaystyle }$ ${\$ G$\}$에는 해결책이 없을 수 있지만$$ 그럼에도 불구하고 $G{\displaystyle }$ ${\$의 일부 $확장자{\displaystyle }$ H ${\$에는 해결책이 있다$.$

이와 같은 일련의 조건들이 해결책을 가지고 있을 때마다 $A{\displaystyle }$ ${\$ $A$$\}$ 자체에 해결책을$$ 가지고 있을 정도로$$ A $그룹$이 있는지 묻는 것이 타당하다.정답은 "그렇다"고 밝혀졌고, 우리는 그러한 그룹을 대수적으로 폐쇄된 그룹이라고 부른다.

형식 정의

우리는 먼저 몇 가지 예비 아이디어가 필요하다.

If ${\displaystyle G\ }$ is a group and ${\displaystyle F\ }$ is the free group on countably many generators, then by a finite set of equations and inequations with coefficients in ${\displaystyle G\ }$ we mean a pair of subsets ${\displaystyle E\ }$ and ${\displaystyle I\ }$ of ${\displa$$Ystyle F\star G}$F$$${\displaystyle }$ ${\$ 및$$ $G{\displaystyle }$ ${\$ G$\}$의 무료 제품$.$

$이것$은 변수 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle x_{i}\$와 $G{\displaystyle }$ ${\$${j$$}\}$ ${\displaystyle {요소}_{}}$로 구성된$$ 일련의 방정식과 불평등 개념을 공식화한다$.$ $집합{\displaystyle }$ E ${\\\$ E$\}$은 다음과 같은 방정식을 나타낸다$$.

${\displaystyle x_{1}^{2}g_{1}^{4}x_{3}=1}$

${\displaystyle x_{3}^{2}g_{2}x_{4}g_{1}=1}$

$\displaystyle \cHB \ }$

$I{\displaystyle }$ ${\$ 세트는 다음과 같은 불평등을 나타낸다$$.

${\displaystyle g_{5}^{-1}x_{3}\neq 1}$

$\displaystyle \cHB \ }$

G {\$displaystyle G\}$의 이 유한한 방정식과 불평등 집합에 대한$$ 해법으로, 우리는 $동형동형{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle F}$→ G ${\displaystyle f:$$F\rightarrow G}$, such that ${\displaystyle {\tilde {f}}(e)=1\ }$ for all ${\displaystyle e\in E}$ and ${\displaystyle {\tilde {f}}(i)\neq 1\ }$ for all ${\displaystyle i\in I}$, where ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ is the unique homomorphism ${\displaystyle \tilde{f}}$${\displaystyle {\tilde{f}}:$$F\star G\rightarrow G}$은(는) $F{\displaystyle }$ ${\$의 f ${\$displaystyle F$\}$과(와) 같으며$$ $G{\displaystyle }$ ${\$ G$\}$의 ID다$.$

$이것$은 G {\$displaystyle G\}$의 요소를 변수에$$ 대체하여 참된 정체성과 정체성을 얻는다는 생각을 공식화한다$.$예에서 대체물 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ g ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$, x ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {7\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$ ${\$4}\$mapsto g_{8$}의$$ 항복:

${\displaystyle g_{6}^{2}g_{1}^{4}g_{7}=1}$

${\displaystyle g_{7}^{2}g_{2}g_{8}g_{1}=1}$

$\displaystyle \cHB \ }$

${\displaystyle g_{5}^{-1}g_{7}\neq 1}$

$\displaystyle \cHB \ }$

우리는 방정식과 불평등의 유한 집합이 "$더{\displaystyle }$ 큰" 그룹 $H$에서$해결$할 수 있다면$$ G ${\$$displaystyle$ $G$$\}$과 일치한다고 말한다$.$ 더 공식적으로:

The equations and inequations are consistent with ${\displaystyle G\ }$ if there is a group${\displaystyle H\ }$ and an embedding ${\displaystyle h:G\rightarrow H}$ such that the finite set of equations and inequations ${\displaystyle {\tilde {h}}(E)}$ and ${\displaysty$$le${\$tilde{h}(I)}$에는 $H{\displaystyle }${\$displaystyle H\}$의 솔루션이 있는데$$$,$ $여기$서 h ${\displaystyle \stackrel{}{~}}$ ${\${\$tilde {h}$은(는) 고유한 동형상 $h{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ : ${\displaystyle F}$g${\displaystyle G}$ → ${\displaystyle F}$ H {\$displaystyle {h}:$$F{\displaystyle }$$\star G\rightarrow F\star H}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\$ G$\}$에서 $h{\displaystyle }$ ${\$ $h$$\}$과(와) 같으며$$ F ${\$의 ID이다$.$

이제 $우리$는 A ${\$ A$\}$에 계수가 있고$$ $A{\displaystyle }$ ${\$과(와) 일치하는 모든 유한한 방정식과 불평등 집합이 $A{\displaystyle }$ ${\$ A$\}$에 해결책이 있는$$ 경우 $그룹{\displaystyle }$ A ${\$ $A$$\}을($으)를 대수적으로 닫도록 공식적으로$$ 정의한다$.$

알려진 결과

다음과 같은 결과가 나타내듯이 대수적으로 폐쇄된 집단의 구체적인 예를 들기는 어렵다.

• 모든 셀 수 있는 그룹은 대수적으로 닫힌 셀 수 있는 셀 수 있는 그룹에 포함될 수 있다.
• 모든 대수적으로 닫힌 그룹은 간단하다.
• 대수적으로 폐쇄된 집단은 정밀하게 생성되지 않는다.
• 대수적으로 폐쇄된 그룹은 재귀적으로 제시할 수 없다.
• 정확히 생성된 그룹은 그것이 대수적으로 닫힌 모든 그룹에 포함될 수 있는 경우에만 해결 가능한 단어 문제가 있다.

이 결과들의 증거는 대체로 매우 복잡하다.그러나 대수적으로 닫힌 그룹에 계수 가능한 $그룹{\displaystyle }$ C ${\$이(가) 포함될 수 있다는$$ 증거의 스케치가 이어진다.

First we embed ${\displaystyle C\ }$ in a countable group ${\displaystyle C_{1}\ }$ with the property that every finite set of equations with coefficients in ${\displaystyle C\ }$ that is consistent in ${\displaystyle C_{1}\ }$ has a solution in ${\displaystyle C_{1}\ }$ as follows:

$C{\displaystyle }$ ${\$에 계수를 포함한 방정식과 불평등의 유한 집합만 있을 수 있다$.$ 그 중$$ $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ S ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$S ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$… ${\$그룹 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{D\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\$을(를) 귀납적으로$$ 정의하십시오.

${\displaystyle D_{0}=C\ }$

${\displaystyle D_{i+1}=\left\{{\begin{matrix}D_{i}\ &{\mbox{if}}\ S_{i}\ {\mbox{is not consistent with}}\ D_{i}\\\langle D_{i},h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\rangle &{\mbox{if}}\ S_{i}\ {\mbox{has a solution in}}\ H\supseteq D_{i}\ {\mbox{with}}\ x_{j}\mapsto h_{j}\ 1\leq j\leq n\end{matrix}}\right.}$

이제 다음 작업을 수행하십시오.

${\displaystyle C_{1}=\cup _{i=0}^{\infully }D_{i}}}}$

이제 이 구성을 반복하여 $그룹{\displaystyle }$ C${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{C\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle }$, … ${\$}의 시퀀스를 가져오고 다음을$$ 수행하십시오.

${\displaystyle A=\cup _{i=0}^{\infit }C_{i}}}$

그러면 $A{\displaystyle }$ ${\$은(는) $C{\displaystyle }$ ${\$을(를) 포함하는 카운트할$$수$$ 있는 $그룹$이다$.$ A {\$displaystyle$ A\}과(와$)$ 일치하는 모든 유한한 세트의 방정식과 불평등은 ${\displaystyle {일부}_{}}$ C ${\displaystyle i_{}}$ $displaystystyle C_{i}$에 계수가 있어야 하므로$$$$ 대수적으로 닫힌다.${\displaystyle {+}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ $displaystyle C_{i+1}\ }$.

참고 항목

• 대수적 폐쇄
  • 대수적으로 닫힌 장

참조

• A. 매킨타이어:대수적으로 닫힌 그룹에 대하여, 수학의 Ann., 96, 53-97 (1972)
• B.H. 노이만: 대수적으로 닫힌 그룹에 대한 노트.J. 런던 수학.Soc. 27, 227-242 (1952)
• B.H. 노이만:대수적으로 폐쇄된 집단의 이형성 문제.In: Word Problems, pp 553–562.암스테르담:노스홀랜드 1973
• W.R. 스콧: 대수학적으로 폐쇄된 그룹들.프로크. 아머.수학. Soc. 2, 118-121 (1951년)