헬름홀츠 최소 소산 정리

유체역학에서 헬름홀츠 최소 소산정리(1868년^[1][2] 이를 발표한 헤르만 폰 헬름홀츠에서 명명)는 불압축 유체의 꾸준한 스톡스 흐름운동이 경계에서 같은 속도로 다른 어떤 불압축 운동보다 소산율이 가장 적다고 명시하고 있다.^[3][4]이 정리 역시 1883년^[5] 디데릭 코르테웨그에 의해, 그리고 1913년 레일리 경에 의해 연구되어 왔다.^[6]

This theorem is, in fact, true for any fluid motion where the nonlinear term of the incompressible Navier-Stokes equations can be neglected or equivalently when ${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}=0}$, where ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ is the vorticity vector.예를 들어, 이 정리는 비선형 항이 자동으로 사라지는 쿠엣 흐름과 하겐-포이세유 흐름과 같은 단방향 흐름에도 적용된다.

수학적 증명

Let ${\displaystyle \mathbf {u} ,\ p}$ and ${\displaystyle E={\frac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T})}$ be the velocity, pressure and strain rate tensor of the Stokes flow and ${\displaystyle \mathbf {u} ',\ p'}$ and ${\displaystyle E^{\prime }=\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }{}^{}}$${\displaystyle E'={\frac {1}{1$$T}}$은(는) $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$= u =$$u = u =\displaystyle $\mathbf {u} =\mathbf {u} '}$을(를) 경계 상에$$ 둔 다른 압축 불가능한 운동의 속도, 압력 및 변형률 텐서이다.$u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 e ${\displaystyle j_{}}$ ${\$를 지수 표기법에서 속도 및 변형률 텐서(peed$$ tensor)를 나타내도록 한다. 여기서 지수는 1에서 3까지 진행된다.

다음 구성 요소를 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin}\int(e_{ij}'-e_{ij}e_{ij}\dV&=\int {\frac {\partial(u_{i}'-u_{i}}}}}}}{ij}e}\dV\end{liged}}}}}}}$

대칭 텐서와 대칭 텐서의 수축이 동일한 0이기 때문에 위의 적분에서 변형 텐서의 대칭 부분만 남아 있다.부품별 통합 제공

${\displaystyle \int (e_{ij}'-e_{ij})e_{ij}\ dV=\int (u_{i}'-u_{i})e_{ij}n_{j}\ dA-{\frac {1}{2}}\int (u_{i}'-u_{i})(\nabla ^{2}u_{i})\ dV.}$

두 필드의 경계에서의 속도가 같기 때문에 첫 번째 적분은 0이다.이제 두 번째 적분인 ${\displaystyle u_{}}${\$displaystyle u_{i}$는 스톡스 흐름 방정식을 만족하므로$$, 즉 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle u_{}}$=${\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu \nabla ^{2}u_{i}=\nabla p},$ 우리는 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle \int (e_{ij}'-e_{ij}e_{ij}\dV=-{\frac {1}{2\mu }}}}\int (u_{i}'-u_{i}}}}{\partial p}{\p}}}\dV.}$

부품별 통합을 다시 수행하면

${\displaystyle \int (e_{ij}'-e_{ij})e_{ij}\ dV=-{\frac {1}{2\mu }}\int p(u_{i}'-u_{i})n_{i}\ dA+{\frac {1}{2\mu }}\int p{\frac {\partial (u_{i}'-u_{i})}{\partial x_{i}}}\ dV.}$

첫 번째 적분은 속도가 같기 때문에 0이고, 두 번째 적분은 0이다. 즉$,{\displaystyle \mathrm{}}$ 압축할 수 없는 ${\displaystyle u\mathbf{}}$ =${\displaystyle }$u ${\displaystyle =}$ = = in ${\displaystyle {}^{}}$u = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \nabla \cdla \mathbf {u} =\nabla \cdmathbf {=0$그러므로 우리는 다음과 같은 정체성을 가지고 있다.

${\displaystyle \int (e_{ij}'-e_{ij}e_{ij}\dV=0.}$

필드 $u{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 전체 볼륨에 대한 총 비스코스 소산 에너지 비율은 다음과 같다$$.

${\displaystyle D'=\int \phi 'dV=2\mu \int e_{ij}e_{ij}'\dV=2\mu \int [e_{ij}e_{ij}+e_{ij}e}e_{ij}e}e_{ij}e}e_{ij}e}e}e_{ij}\ij}\ij}\ij}\dV}\dv}\dV}}}\dv}}}}}}}}$

위 ID를 사용하여 재배열한 후

${\displaystyle D'=2\mu \int [e_{ij}e_{ij}+(e_{ij}'-e_{ij})(e_{ij}'-e_{ij})\dV}$

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 필드 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 전체 볼륨에 대한 비스코스 소산 에너지의 총 비율이면

${\displaystyle D^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle D}$+ ${\displaystyle \mathrm{2\mu }\int }$ (${\displaystyle {ei}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$)${\displaystyle }$(${\displaystyle {ei}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle d}$ V ${\displaystyle$ D$'=D+2\mu \int (e_{ij}'-e_{ij})(e_{ij}-e_{ij}\ij$

두 번째 적분은 ${\displaystyle {ei}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle {ei}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 따라서 정리를 증명하는 경우에만 음이 아닌 0이다.

푸아세유 흐름 정리

그 헬름 홀츠 정리의 퓨애즈 위 유의 흐름 theorem[7] 자연스러운 것은 비압축성 점성 유체 중 임의의 단면적의 곧은 관은 꾸준한 층류형은 속성에 의해는 에너지 소산 모든 층류(또는 공간적으로 주기적인)사이에서는 같은 총 가지고 있는 파이프 흐름 있는 최소한의 특징이다. 독감x의

참조