테일러 스크래핑 플로우

유체 역학에서 테일러 스크래핑 유량은 G. I의 이름을 딴 일정한 속도로 한쪽 벽이 다른 쪽 벽 위로 미끄러질 때 발생하는 2차원 코너 유동의 일종이다. 테일러^[1][2][3]

흐름 설명

$원통형{\displaystyle }$좌표$({\displaystyle r}$ ,${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle (r,\theta )}$에서$$constant$$ = 0 ${\$displaystyle \theta =0$}$에 위치한 평면 벽을 왼쪽으로 등속 $U{\displaystyle }$ {\$displaystyle U}$과 함께 이동하는 것을 고려하십시오.기울어진 위치에서 포지티브 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$} 방향에서$$$$ 각도 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$}을(를) 만들고 ${\displaystyle \mathrm{교차점}}$을${\displaystyle }$r = 0$${\$displaystyle r=0}$에 두십시오$.$이 설명은 속도 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$을(를) 사용하여 스크레이퍼를 오른쪽으로 이동하는 것과 같다$.$ 문제는 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r=0}$에서 단수인데, 원점에서 속도는 불연속적이기 때문에 속도 구배가 무한하기 때문이다$$.

테일러는 관심 영역이 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle \nu /U}$ ${\displaystyle r\ll \nu /U$또는 동등하게 레이놀즈 번호 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle e}$= U ${\displaystyle r}$ /${\displaystyle \mathrm{\nu }}$ 1 ${\displaystyle Re=Ur/\nu \ll 1$) $$내에 있는 한 관성 용어는 무시해도 좋으므로 해당 영역 내의 흐름은 본질적으로 Stokes 흐름이라고 보았다.예를 들어 조지 배첼러는 속도 $U{\displaystyle }$= ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \text{cm}}$/ ${\displaystyle s}$ ${\$$}}}$를 $r{\displaystyle }$ as 0${\displaystyle .4}$ ${\$ll 0.4${\text${cm$}}}$로 윤활유에 대한 일반적인 값을 제공한다$.$^[4] 그 다음, 2차원 평면 문제의 경우 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \frac \fla ^{4}\cHB ^0,\frac u_{r}={\frac {1}{\frac \1}{\fract \}}{\frac }},\frac }}{\frac }}}}}}}$

여기서 $v{\displaystyle \mathbf{}}$= (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\theta }_{}}$) ${\displaystyle \mathbf {v} =(u_{r},u_{\theta }}}}$은(는) 속도 필드이고 $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle$\ \}은(는$)$ 스트림 함수다.경계조건은

${\displaystyle {\begin{argin}r},\theta =0:&\quad u_{r}=-U,\u_\\theta }=0=\alpha :&\quad u_,\{r},\ta=0},\}}\ta=0}정렬}$

해결책

$\psi {\displaystyle }$= ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle \theta }$ ) ${\displaystyle \psi =Urf(\theta )}$ 형식의 분리 가능한 솔루션을 시도하면 문제가 다음과$$ 같이 감소함

${\displaystyle f^{iv}+2f'+f=0}$

경계조건으로.

${\displaystyle f(0)=0,\f'(0)=-1,\f(\f(\f)=0,\f'(\f)=0}$

해결책은^[5]

${\displaystyle f(\theta )={\frac {1}{\frac ^{2}-\sin ^{2}-\sin }[\theta \sin \sin \sin \sin \sin \sin \sin \sin(\sin)(\sin(\sin)(\sin)(\sin)).$

그러므로 속도장은

${\displaystyle{\begin{정렬}u_{r}&, ={\frac{U}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha}}\{\sin \alpha[\sin(\alpha -\theta)-\theta \cos(\alpha -\theta)]+\alpha[\sin \theta-(\alpha -\theta)\cos \theta]\}\\u_{\theta}&, =-{\frac{U}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha}}[\theta\sin \alpha \sin(\alpha -\theta)-\alpha(\alpha -\theta)\sin \theta]\end{알.}}igned}$

압력은 모멘텀 방정식의 통합을 통해 얻을 수 있다.

${\displaystyle \p=\mu \bla ^{2}\mathbf {v},\mathbf(r,\fty )=p_{\ft}}}}$

그 결과,

${\displaystyle p(r,\theta )-p_{\inflat }={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\fraca \sin \sin \din \alpha \sin(\alpha -\alpha ){2}}}}}$

스크레이퍼의 응력

압력과 점성력으로 인한 스크래퍼의 접선 응력과 정상적인 응력은

${\displaystyle \sigma _{t}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\sin \alpha -\alpha \cos \alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }},\quad \sigma _{n}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\alpha \sin \alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}}$

The same scraper stress if resolved according to Cartesian coordinates (parallel and perpendicular to the lower plate i.e. ${\displaystyle \sigma _{x}=-\sigma _{t}\cos \alpha +\sigma _{n}\sin \alpha ,\ \sigma _{y}=\sigma _{t}\sin \alpha +\sigma _{n}\c$$os \reason }$ $)$은(는)

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\alpha -\sin \alpha \cos \alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }},\quad \sigma _{y}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}}$

앞에서 언급한 바와 같이, 속도 구배가 무한하므로 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r=0}$에서 모든 스트레스는 무한대가 된다$.$실제 생활에서는 접촉의 기하학에 따라 그 지점에 엄청난 압력이 가해질 것이다.스트레스는 테일러의 원본 논문에서 제시된 수치에 나타나 있다.

하부벽에 평행한 방향의 응력은 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle \alpha}$이(가) 증가함에 따라 감소하며,$$$\alpha {\displaystyle }$ =${\displaystyle \pi }${\$displaystyle$\$sigma$ ${\displaystyle \backslash }$sigma $_{x$$}=$2$\$$mu$$$U/$r$$}$에 도달한다$.$ 테일러는 "계산에서 가장 흥미롭고 아마도 예상치 못한 특징이 있다.σ는 y{\displaystyle \sigma_{y}}범위에서;α<>π{0<, \alpha<>\pi\displaystyle}. 범위에서 π/2<α<>π σ는 것은 정상적인 스트레스 때문 공헌도를({\displaystyle \sigma_{y}}별자리 정 반대편의 그 접선에 기인하는 것이다{\displaystyle \pi /2<, \alpha<>\pi}표시 0개체를 변경하지 않는다.스트레스지만, 나는더 큰 것은 더 큰 것이다.예술가들이 팔레트에서 페인트를 제거하는 데 사용하는 팔레트 칼은 매우 유연한 스크레이퍼다.따라서 그것들은 ${\displaystyle {\sigma n}_{}}$ ${\$이 작을 정도의 각도로만 사용될 수 있으며 그림에서 볼 수 있듯이 이는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}}}}}$이(가) ${\displaystyle {\mathrm{180<img\; alt="\backslash alpha\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.488ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="78">}}^{\circ }}$ ${\$가 될 때만 발생한다$.$ 사실 예술가들은 본능적으로 팔레트 나이프를 이 자세로 잡고 있다."그는 또 "반면에 플라스터는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 작도록 스무딩 도구를 들고 있다"고 덧붙였다.그렇게 해서 그는 석고를 돌기에서 구멍으로 강제하는 데 필요한 ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle \sigma {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$의 큰 값을 얻을 수 있다."

파워 로어 오일 스크래핑

뉴턴이 아닌 유체(예: 페인트 긁기, 매니큐어, 크림, 버터, 꿀 등)에는 스크래핑 용도가 중요하므로 이 경우를 반드시 고려해야 한다.이 분석은 1983년 J. 리들러와 빌헬름 슈나이더에 의해 수행되었으며, 그들은 명백한 점도의^[6] 관계를 만족하는 파워 로 액에 대한 자체 유사 솔루션을 얻을 수 있었다.

${\displaystyle \mu =m_{z}\left\{4\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)\right]^{2}+\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}-r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)\right]^{2}\right\}^{(n-1)/2}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 m ${\$ 및$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) 상수다$$.플레이트가 오른쪽으로 이동하면서 생성되는 흐름의 스트림 기능을 위한 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle \psi =Ur\left\{\frac {J_{1}(\theta )}{J_{1}(\alpha )}\sin +{J_{J_{2}(\teta )}{J_{1}(\alpha )}}\cos \cos \right\cos \}}$

어디에

${\displaystyle {\reasoned}J_{1}&=\mathrm {sgn} (F)\int _{0}^{\theta } F ^{1/n}\cos x\,dx,\\J_{2}&=\mathrm {sgn} (F)\int _{0}^{\theta } F ^{1/n}\sin x\,dx\end{aligned}}}$

그리고

${\displaystyle {\reasoned}F=\sin({\sqrt {n(2-n)}}x-C)\quad {\text{if}}\,n<2,\\F={\sqrt {x-C}}\qquad \qquad \qquad \quad {\text{if}}\,n=2,\\F=\sinh({\sqrt {n(n-2)}}x-C)\quad {\text{if}}\,n>2\end{aligned}}}$

여기서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) $J{\displaystyle {}_{}}$ 2$($)${\displaystyle }$= 0 {\$displaystyle J_{2$}(\alpha )=$0}$의 루트$.$ 이 용액이 뉴턴 액체에 대한 테일러의 그것($예{\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{n}}$= 1 ${\displaystyn=1})$으로 감소하는지 검증할 수 있다$.$

참조