스테판-볼츠만 법칙

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스테판-볼츠만 법칙은 물질이 방출하는 열복사의 강도를 물질의 온도로 설명합니다.경험적으로 관계를 도출한 요제프 스테판과 이론적으로 법칙을 도출한 루트비히 볼츠만의 이름을 따서 명명되었습니다.

이상적인 흡수체/방출체 또는 흑체의 경우, 스테판-볼츠만 법칙은 단위 시간당 단위 표면적당 복사되는 총 에너지(방사 출구라고도 함)가 흑체 온도의 4번째 거듭제곱 T:

${\displaystyle M^{\circ}=\display \,T^{4}.$

비례 상수인$\sigma {\displaystyle }$({$displaystyle \sigma$는 스테판-볼츠만 상수라고 합니다.그것은 가치가 있습니다.

${\displaystyle }$◦ ${\displaystyle$ \$displaystyle$=} $5$.670374419...10⁻⁸ W⁻².K⁻⁴.

일반적으로 복사 이탈에 대한 스테판-볼츠만 법칙은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

${\displaystyle M=\varepsilon \,M^{\circ}=\varepsilon \,\colon \,T^{4}} 표시$

여기서$π$는 방출하는 물질의 방사율입니다$.$복사율은 일반적으로 0과 1 사이이지만 일부 이국적인 물질은 1보다 큰 복사율을 가질 수 있습니다.방사율 1은 흑체에 해당합니다.

상세설명

복사 출구(이전에는 복사 방출이라고 불림)인$$M{$displaystyle$ M$\}$는 에너지 플럭스(단위 면적당 단위 시간당 에너지) 차원을 가지며 SI 측정 단위는 제곱미터(Jsm^-1-2)당 줄 또는 동등하게 제곱미터(Wm^-2)^[1]당 와트입니다.절대 온도에 대한 SI 단위 T는 켈빈(K)입니다.

물체에서 복사되는 총 출력 ${displaystyle$ P$\}$를 구하려면 물체의 표면적 ${displaystyle$ A$\}$를 곱합니다.

$\"표시 스타일 P=A\cdot M=A\,\varepsilon \,\cdot \,T^{4}.}$

모든 입사 방사선을 흡수하지 않는 물질은 흑체보다 총 에너지를 적게 방출합니다.방출량은 계수$\delta {\displaystyle }${$displaystyle \varepsilon$에 의해 감소합니다. 여기서 방출량$$δ{$displaystyle \varepsilon$$}$은 대부분의 물질에 대해 0 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \le }$ $(displaystyle$ 0$\leq \varepsilon$ \$leq$ 1$)$을 $만족$하는 물질 특성입니다. 방출량은 일반적으로 파장, 방향 및 편광에 따라 달라질 수 있습니다.그러나 스테판-볼츠만 법칙의 비방향 형태로 나타나는 방사율은 반구형 총 방사율로, 모든 파장, 방향 및 ^{[2]: 60} 편광에 걸쳐 총 방출량을 반영합니다.

방출도를 포함하는 스테판-볼츠만 법칙의 형태는 물질이 국소 열역학적 평형(LTE) 상태에 있어 온도가 ^{[2]: 66n, 541} 잘 정의되어 있다면 모든 물질에 적용할 수 있습니다.(이는 방사율인$\pi {\displaystyle }${\$displaystyle \varepsilon$가 이 방정식을 유효하게 만드는 양으로 정의되었기 때문에 사소한 결론입니다.중요하지 않은 것은 키르히호프의 열복사 법칙의 $결과$인 ${\displaystyle \le }$ 1$($ $스타일 \varepsilon \leq$1$\})$이라는 명제입니다.^{[3]: 385}

소위 회색 물체는 스펙트럼 방사율이 파장과 무관하기 때문에 총 방사율인$\gamma {\displaystyle }${\$displaystyle \varepsilon$이 ^{[2]: 71} 일정한 물체입니다.더 일반적인 (그리고 현실적인) 경우, 스펙트럼 방사율은 파장에 의존합니다.스테판-볼츠만 법칙에 적용 가능한 총 방사율은 흑체 방출 스펙트럼이 가중치 함수 역할을 하는 스펙트럼 방사율의 가중 평균으로 계산할 수 있습니다.따라서 스펙트럼 방사율이 파장에 따라 달라지면 총 방사율은 온도에 따라 달라집니다. 즉, $\gamma {\displaystyle }$ $=$ ($){\displaystyle \varepsilon$=\$varepsilon$ ($T$^{[2]: 60} 그러나 파장에 대한 의존성이 작으면 온도에 대한 의존성도 작아집니다.

파장 및 서브 파장 크기의 입자,^[4][5] 메타물질 및 기타 나노^[6] 구조물은 광선 광학적 한계에 영향을 받지 않으며 방사율이 1보다 크게 설계될 수 있습니다.

국가 및 국제 표준 문서에서 $기호{\displaystyle }$ M${displaystyle$ M$}$은 복사 방출을 나타내는 것이 권장됩니다. 위첨자 원(°)은 검은색 ^[1]물체와 관련된 용어를 나타냅니다.(부호 "${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$"는 일반적으로 에너지$$(방사선) 양인 ${\displaystyle {Me\mathrm{}}_{}}$($표시 스타일$ M_${\$mathrm {$e$를 유사한 인간 시각 (광학) 양인 $M_{\mathrm$ {$e}}}$^[7]에서 구별하는 것이 중요할 때 추가됩니다.복사 방출에 사용되는 기호(흔히 복사 방출이라고 함)는 텍스트마다 다르고 필드마다 다릅니다.

스테판-볼츠만 법칙은 온도의 함수로서 빛의 공식으로 표현될 수 있습니다.방사광은 1스테라디안(Wmsr^-2-1)당 평방미터당 와트로 측정됩니다.흑체의 빛에 대한 스테판-볼츠만 법칙은 다음과 같습니다.^{[8]: 26 [9]}

${\displaystyle L_{\Omega}^{\circ}={M^{\circ}}{\pi }={displayfrac{\pi }\,T^{4}}$

스테판-볼츠만 법칙은 방사선 에너지 밀도의 공식으로 표현됩니다.^[10][11]

${\displaystyle w_{\mathrm {e}^{\mathrm}^{\circ}={\circ}={displaystyle w_{\mathrm {e}},\displaystyle \,T^{4}}$

$여기$서$c$는 빛의 속도입니다$.$

역사

1864년, 존 틴달은 백금 필라멘트에 의한 적외선 방출의 측정과 ^{[12][13][14][15]}필라멘트의 해당 색상을 발표했습니다.절대 온도의 4번째 거듭제곱에 대한 비례성은 1877년 Josef Stefan (1835–1893)에 의해 틴달의 실험 측정에 기초하여 추론되었습니다.빈 ^[16][17]과학 아카데미의 세션에서 회보의 "온도(열복사와 온도 사이의 관계에 대하여) 아래의 베지웅츠비셴 데 바름스트라룽"이라는 기사에서.

이론적 고려에서 법칙의 파생은 1884년에 루드비히 볼츠만 (1844–1906)에 의해 제시되었고, 아돌프 ^[18]바르톨리의 연구에 기초했습니다.1876년에 바르톨리는 열역학의 원리로부터 복사압의 존재를 이끌어냈습니다.Bartoli에 이어 Boltzmann은 이상적인 가스 대신 전자기 복사를 사용하는 이상적인 열 엔진을 작업 물질로 생각했습니다.

그 법은 거의 즉시 실험적으로 검증되었습니다.1888년 하인리히 베버는 더 높은 온도에서의 편차를 지적했지만,^[19] 측정 불확실성 내의 완벽한 정확도는 1897년까지 1535 K까지 확인되었습니다.빛의 속도, 볼츠만 상수, 플랑크 상수의 함수로서 스테판-볼츠만 상수의 이론적 예측을 포함한 법칙은 1900년에 공식화된 플랑크 법칙의 직접적인 결과입니다.

스테판-볼츠만 상수

스테판-볼츠만 상수 δ는 알려진 다른 물리 상수로부터 유도됩니다.

${\displaystyle \displaystyle = displayfrac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}$

여기서 k는 볼츠만 상수, 플랑크 상수, c는 진공에서의 ^{[20][3]: 388} 빛의 속도입니다.

2019년 SI 기본 단위를 재정의하여 k, h, c에 대한 정확한 고정 값을 설정한 시점에서 스테판-볼츠만 상수는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \displaystyle =\left[{\frac {2\pi ^{5}\left(1.380\649\times 10^{-23}\right)^{4}}{15\left(2.997\924\times 10^{8}\right)^{2}\left(6.626\times 10^070\right)^3}}{math}{math}{math}{math}}{math}{math}{math}}{$

그러므로,^[21]

${\displaystyle }$◦ ${\displaystyle$ \$displaystyle$=} $5$.670374419...10⁻⁸ W⁻².K⁻⁴.

이에 앞서 가스 ^[22]상수의 측정값을 이용해$\sigma {\displaystyle }${{$displaystyle \sigma}$의 값을 계산했습니다.

스테판-볼츠만 상수의 수치는 아래 표와 같이 다른 단위계에서 다릅니다.

스테판-볼츠만 상수, σ

맥락	가치	단위
SI	5.670374419...x10−8	WMK-2-4
CGS	5.670374419...x10−5	erg-2 cm s-4 K-1
미국의 관습 단위	1.713441...x10−9	BTU⋅hr−1⋅ft−2⋅°R−4
열화학	1.170937...x10−7	cal⋅cm−2⋅day−1⋅K−4

예

태양의 온도

그의 법칙으로, 스테판은 또한 태양 ^[25]표면의 온도를 측정했습니다.그는 자크-루이 소레 (1827–^[26]1890)의 자료로부터 태양으로부터의 에너지 플럭스 밀도가 특정 가열된 금속 라멜라 (얇은 판)의 에너지 플럭스 밀도보다 29배 더 크다고 추론했습니다.둥근 라멜라는 측정 장치에서 태양과 같은 각지름으로 보일 정도의 거리에 배치되었습니다.소렛은 라멜라의 온도를 대략 1900 °C에서 2000 °C로 추정했습니다.스테판은 태양으로부터의 에너지 플럭스의 γ가 지구의 대기에 흡수된다고 추측했고, 그래서 그는 정확한 태양의 에너지 플럭스가 소렛의 값보다 3/2배 더 큰 값, 즉 29 × 3/2 = 43.5라고 생각했습니다.

대기 흡수의 정확한 측정은 1888년과 1904년까지 이루어지지 않았습니다.스테판이 얻은 온도는 이전 온도의 중위수 값인 1950°C와 절대 열역학적 값인 2200K였습니다.2.57⁴ = 43.5이므로 태양의 온도가 라멜라의 온도보다 2.57배 더 크므로 스테판은 5430 °C 또는 5700 K의 값을 얻었습니다.이것은 태양의 온도에 대한 최초의 지각 가능한 값이었습니다.이전에는 1800°C에서 13,000,000°C까지의^[27] 범위의 값이 요구되었습니다.1800°C의 낮은 값은 1838년 클로드 푸일레 (1790–1868)가 둘롱-쁘띠 ^[28][29]법칙을 사용하여 결정했습니다.푸일렛은 또한 태양의 정확한 에너지 플럭스 값의 절반만을 차지했습니다.

별의 온도

태양 이외의 별들의 온도는 방출된 에너지를 흑체 ^[30]복사로 처리함으로써 유사한 방법으로 근사할 수 있습니다. 따라서:

${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}}$

여기서 L은 광도, δ는 스테판-볼츠만 상수, R은 항성 반지름, T는 유효 온도입니다.그런 다음 이 공식을 재배열하여 온도를 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle T=svsqrt[{4}]{\frac {L}{4\pi R^{2}\sigma }}}}개 표시$

또는 반지름:

${\displaystyle R=displaysqrt {{frac {L}{4\pi \display T^{4}}}}$

같은 공식을 단순화하여 태양에 상대적인 매개변수를 계산할 수도 있습니다.

$표시({style\frac {L}{L_{\odot}}=\leftpx\frac {R}{R_{\odot}}}\right)^{2}\leftpx\frac {T}{T_{\odot }}\right)^{4}}$

$display {style {frac {T}{T_{\odot }}=\left\frac{L}{L_{\odot }}\right)^{1/4}{\sqrt{\frac{R_{\odot }}}}}$

$표시({style{frac {R}{R_{\odot}}=\left\frac {T_{\odot}}{T}\right)^{2}{\sqrt{{frac {L}{L_{\odot}}}}}$

$여기$서 R $⊙$ {\$displaystyle R_{\odot }$은 태양 반지름 등입니다.표면적 A와 복사 $출구{\displaystyle {}^{}}$ M $∘$ {\$displaystyle$ M$^{\circ$의 관점에서 다시 작성할 수도 있습니다.

${\displaystyle L=A\cdot M^{\circ}} 표시$

${\displaystyle M^{\circ}=displayfrac {L}{A}}$

${\displaystyle A=dirfrac {L}{M^{\circ}}} 표시$

$여기$서 A${\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {R\mathrm{}}^{}}$2 {{$displaystyle$ A = $4\pi$ R$^{2}}$ $및$ M${\displaystyle {}^{}}$= $σ$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$4$$. {{$displaystyle$M^{\$circ$}=\$displaystyle$T^{$4}}.$

스테판-볼츠만 법칙으로 천문학자들은 별의 반지름을 쉽게 추론할 수 있습니다.이 법칙은 또한 소위 호킹 복사에 있는 블랙홀의 열역학에서도 충족됩니다.

지구의 유효 온도

마찬가지로 우리는 흑체 근사(지구 자체의 에너지 생산은 무시할 수 있을 정도로 작음) 하에서 태양에서 받은 에너지와 지구에서 방출된 에너지를 동일시하여 지구_⊕ T의 유효 온도를 계산할 수 있습니다.태양의 광도 L은_⊙ 다음과 같습니다.

$표시 스타일 L_{\odot}=4\pi R_{\odot}^{2}\display T_{\odot}^{4}}$

지구에서, 이 에너지는 지구와 태양 사이의 거리인 반지름이 a인₀ 구를 통과하고 있으며, 복사 조도(단위 면적당 받는 전력)는 다음과 같습니다.

${\displaystyle E_{\oplus}={L_{\odot }}{4\pia_{0}^{2}}}}$

지구의 반지름은 R이며_⊕, 따라서 R ${\displaystyle {}_{}^{\mathrm{}}}$\\$displaystyle \pi$ R_${\oplus }^{2$의 단면을 갖습니다.따라서 지구가 흡수하는 복사 플럭스(태양 에너지)는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \Phi_{\text{abs}}=\pi R_{\oplus}^{2}\times E_{\oplus}}$

스테판-볼츠만 법칙은 네 번째 힘을 사용하기 때문에 교환에 안정화 효과가 있고 지구에서 방출되는 플럭스는 흡수된 플럭스와 같은 경향이 있으며, 여기서 안정된 상태에 가깝습니다.

$표시({style{aligned}4\pi R_{\oplus}^{2}\times T_{\oplus}^{4}&=\pi R_{\oplus}^{2}\times frac{4\pi R_{\odot}^{2}}{\times frac{4\pi}{\od}}{{\times}{\times frac}{\d}{\times}{\times}{\pi}{\pi}{\d}{\$

그러면_⊕ T를 찾을 수 있습니다.

$스타일 표시({{aligned})T_{\oplus }^{4}&=nbfrac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}\\T_{\oplus}&=T_{\odot}\times{\sqrt{{R_{\odot}}{2a_{0}}}\&=5780\;{\rm{K}}\times{sqrt{6.957\times10^{8};{\rm{m}}\times1.495\times1.495\times707\times10^{11}\rm{m{m{m}}}}\rm{\rm{\rm{\rm{\rm{\$

여기서_⊙ T는 태양의 온도, R은_⊙ 태양의 반지름, a는₀ 지구와 태양 사이의 거리입니다.이것은 지구 표면에 떨어지는 모든 방출물을 완벽하게 흡수하고 대기가 없다고 가정할 때 지구 표면의 유효 온도를 6°C로 제공합니다.

지구의 반사율은 0.3으로, 이는 지구를 강타한 태양 복사의 30%가 흡수되지 않고 우주로 다시 흩어진다는 것을 의미합니다.알베도가 온도에 미치는 영향은 흡수된 에너지에 0.7을 곱하지만 행성이 여전히 흑체로 방사된다고 가정하면 근사할 수 있습니다(후자는 유효 온도의 정의에 의해, 우리가 계산하고 있는 것입니다).이 근사치는 온도를 0.7배^1/4 감소시켜 255K(-18°C; -1°F)^[31][32]를 제공합니다.

위의 온도는 우주에서 본 지구의 온도이며, 지상의 온도가 아니라 지표에서 높은 고도까지 지구의 모든 방출 물체에 대한 평균입니다.온실 효과 때문에, 지구의 실제 평균 표면 온도는 약 288 K (15 °C; 59 °F)로, 255 K (-18 °C; -1 °F)의 유효 온도보다 높고, 심지어는 흑체가 가질 수 있는 279 K (6 °C; 43 °F)의 온도보다 높습니다.

위의 논의에서, 우리는 지구의 전체 표면이 한 온도에 있다고 가정했습니다.또 다른 흥미로운 질문은 지구상의 흑체 표면이 햇빛이 내리쬐는 것과 평형을 이룬다고 가정했을 때의 온도를 묻는 것입니다.물론 이것은 표면에 있는 태양의 각도와 태양이 얼마나 많은 공기를 통과했는지에 달려 있습니다.태양이 천정에 있고 표면이 수평일 때 복사 조도는 1120 W/^[33]m까지² 높아질 수 있습니다.스테판-볼츠만 법칙은 다음과 같은 온도를 제공합니다.

$\displaystyle T=\left({\frac {1120 텍스트 {W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\displaystyle 375 텍스트 {K}}$

또는 102 °C(216 °F). (대기권 이상에서는 결과가 394 K(121 °C; 250 °F) 더 높습니다.)우리는 지구의 표면이 낮에는 평형 온도에 도달하려고 "노력"하지만, 대기에 의해 냉각되고, 밤에는 별빛과 달빛으로 평형에 도달하려고 "노력"하지만, 대기에 의해 따뜻해진다고 생각할 수 있습니다.

기원

에너지 밀도의 열역학적 유도

방사선이 들어 있는 상자의 에너지 밀도가 $({$displaystyle T$^{4}})$에 비례한다는 사실은 ^[34][15]열역학을 사용하여 도출할 수 있습니다.이 유도는 복사 압력 p와 내부 에너지 $밀도{\displaystyle }$u{$displaystyle$u$\}$ 사이의 관계를 사용하며, 이는 전자기 응력-에너지 텐서의 형태를 사용하여 나타낼 수 있습니다.이 관계는 다음과 같습니다.

${\displaystyle p=novfrac {u}{3}}을(를) 표시합니다.$

자, 기본적인 열역학적 관계로부터.

${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$

$(displaystyle dV)$로 나누고 T$(displaystyle$ T$)$를 수정한 후 다음 식을 얻습니다.

$표시 스타일 \left({\frac \partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac{\frac{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac{\frac{\frac{\fracT}}\right)_{V}-p.}$

마지막 등식은 다음과 같은 맥스웰 관계에서 나옵니다.

$표시 스타일 \left({\frac \partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac{\frac{\frac{\fracT}}\right)_{V}}$

에너지 밀도의 정의에 따르면 다음과 같습니다.

${\displaystyle U=uV} 표시$

여기서 방사선의 에너지 밀도는 온도에만 의존합니다, 그러므로

$표시 스타일 \left({\frac \partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac{\frac{\partial V}}\right)_{T}=u.}$

자, 평등이란

${\displaystyle u}$ ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle {\partial \frac{\mathrm{}}{}}_{}}$$p$ ∂${\displaystyle {\frac{}{}\frac{T}{}}_{}}$ ) V${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle p,}$ $(∂$${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$$U$ ∂$$$V$${\displaystyle {\frac{}{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ .${\displaystyle {}_{}}$\$$\ $displaystyle$ \$left\frac$\left\frac \\$partial$ V$\right)__$$\{{\displaystyle {}_{}}$$V}-p$,}를$$ 대체한 후의 \$displaystyle u$= $T\left({\frac$\\$frac$ \\light T$}\right)$_{V}-p$,$${T}.}$

한편, 압력은 단위 면적당 운동량 변화율입니다.광자의 운동량은 에너지를 빛의 속도로 나눈 것과 같기 때문에,

${\displaystyle u=displayfrac{T}{3}}\left({\frac{\frac{\fracT}}\right)_{V}-{\frac{u}{3}}}$

여기서 1/3 인자는 정상에서 용기 벽으로의 운동량 전달 투영에서 비롯됩니다.

부분${\displaystyle {}_{}}$도함수 ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}u}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{}{}}_{}}$ T )$$ \$displaystyle$ \left$({\frac$ \$partial$u}{\$partial T}}\right) 이후_${$V}$은(는) $u{displaystyleu}$와$$T{$displaystyle$ T$}$ 사이의 관계로 표현될 수 있습니다(동등식의 한 쪽에서 고립된 경우). 부분 도함수는 일반 도함수로 대체될 수 있습니다.디퍼렌셜을 분리한 후에는 동일성이 됩니다.

$디스플레이{{style{frac{du}{4u}}=tftfrac{dT}{T}}}$

바로 $당신$에게 연결됩니다 $=$ ${\displaystyle {AT\mathrm{}}^{}}$4 {$displaystyle$ u =$AT^{4$ 통합$상수$로 A({$displaystyle$ A$})$를 $사용$합니다.

플랑크의 법칙으로부터의 파생

이 법칙은 반구형으로 방사되는 작고 평평한 검은 물체 표면을 고려하여 도출될 수 있습니다.이 파생은 천정각이 γ이고 방위각이 γ인 구면 좌표를 사용합니다. 작고 평평한 흑체 표면은 xy-평면에 있으며 여기서 γ=/₂입니다.

흑체 표면에서 방출되는 빛의 세기는 플랑크의 법칙에 의해 주어집니다.

어디에

• ${\displaystyle I}$(${\displaystyle }$$\nu {\displaystyle }$${\displaystyle ,}$T ) {\$displaystyle$ I$(\nu,$T)}는 온도 T에서 흑체에 의해 주파수$$δ({$displaystyle \nu})$로 방출되는 단위 주파수 당 단위 고체 각도 당 단위 표면적 당 전력의 양입니다.
• ${displaystyle$ h$}$는 플랑크 상수입니다.
• ${displaystyle$ c$}$는 빛의 속도이며,
• ${displaystyle$ k$}$는 볼츠만 상수입니다.

$수량{\displaystyle }$I (${\displaystyle \mathrm{\nu }}$,${\displaystyle T}$ ) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \text{cos}}$⁡ d$$ \ $displaystyle$ I$(\nu,T)~$$A\cos$ \$theta ~d\nu$ ~$d\Omega$}는$$ γ와 γ + dθ 사이의 주파수 범위에서 단단한 각도 DΩ를 통해 영역 A의 표면에서 방출되는 전력입니다.

스테판-볼츠만 법칙은 방출체의 단위 면적당 방출되는 전력을 제공합니다.

흑체가 램버트이기 때문에 코사인이 나타난다는 것에 유의하십시오(즉, 그들은 램버트의 코사인 법칙을 따릅니다). 즉, 구체를 따라 관측된 강도는 천정각의 코사인에 실제 강도를 곱한 값이 될 것입니다.스테판-볼츠만 법칙을 도출하기 위해서는 반구에 $\mathrm{걸쳐}$ Δ$=$ $\sin$ $\Delta$ d Δ $d$ \ \ \ \ \ $textstyle$d\Omega$=\sin$ \$theta \,d$\theta$\,d\varphi$를 $통합$하고$Δ$ \displaystyle $\nu$}를$$ 0에서 Δ로 통합해야 합니다.

그런 다음 I:

이 적분을 평가하려면 대체 작업을 수행합니다.

이는 다음을 제공합니다.

$오른쪽$의 적분은 표준이고 많은 이름으로 통합니다: 그것은 보스-아인슈타인 적분, 다항식 또는$$리만 제타 $함수$의 특정한 $경우$입니다$.$적분의 값은 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle (4)\Delta }$ (${\displaystyle 4)}$ $=$ ${\displaystyle \frac{{\Delta \mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{415}{}}$\$displaystyle \Gamma (4)\zeta ($4)=$γfrac {pi$^{$4}}{15}}($여기서${\displaystyle }\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ($)$ \$displaystyle \Gamma (s)$는 감마 함수임)이며, 이는 완벽한 흑체 표면에 대한 결과를 제공합니다.

마지막으로, 이 증명은 작은 평평한 표면만을 고려하여 시작되었습니다.그러나 모든 미분 가능한 표면은 작고 평평한 표면의 집합으로 근사할 수 있습니다.표면의 기하학적 구조가 흑체 자체의 복사를 재흡수하지 않는 한, 복사되는 총 에너지는 각 표면에 의해 복사되는 에너지의 합일 뿐입니다. 그리고 총 표면적은 각 표면의 면적의 합일 뿐입니다. 따라서 이 법칙은 모든 볼록한 흑체에도 적용됩니다.표면이 전체적으로 동일한 온도를 가지는 한.이 법칙은 검은 물체의 볼록한 선체가 그 자체가 검은 물체인 것처럼 방사된다는 사실을 사용하여 비볼록 물체로부터의 방사선으로 확장됩니다.

에너지 밀도

총 에너지 밀도 U는 적분이 구 전체에 걸쳐 있고 코사인이 없다는 점을 제외하고 유사하게 계산할 수 있으며, 에너지 플럭스(Uc)는 속도 c로 나누어 에너지 밀도 U를 제공해야 합니다.

따라서 $\int {}_{}^{}$ ${0\mathrm{}}_{}^{}$$\pi$ / $2$ cos $\theta$ sin $⁡$ \$textstyle \int$ _${0}^{\pi/2}\cos \theta$\theta \theta \$sin$ $\mathrm{\theta <img\; alt="\{\backslash textstyle\; \backslash int\; \_\{0\}^\{\backslash pi\; /2\}\backslash cos\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash ,d\backslash theta\; \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/c0b97dbc9f9127e63c11ac01f587748bece59b07"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:16.722ex;\; height:3.676ex;">}$$$\theta \,d$\theta$ \$textstyle \int$ _${0}^{\pi}\theta$\sin$$로 $\mathrm{대체}$되어 \theta$\theta$에 4의 추가 계수가 제공됩니다.

따라서 총합:

$곱{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\displaystyle c\sigma }${{$displaystyle {{frac {4}{$c}}\$sigma}$는 방사선 상수 또는 방사선 밀도 ^[35][36]상수로 알려져 있습니다.

광자에 의한 분해

스테판-볼츠만 법칙은 다음과 같이 표현할^[37] 수 있습니다.

${\displaystyle M^{\circ}=\displaystyle \,T^{4}=N_{\mathrm {phot}\,\discle E_{\mathrm {phot}\rangle}$

여기서 광자의 플럭스인 ${\displaystyle {N\mathrm{}}_{}}$({$displaystyle N_{\mathrm {phot$은 다음과 같이 주어진다.

$\"표시 스타일 N_{\mathrm {phot} =\pi \int_{0}^{\infty}{\frac {B_{\nu}}{h\nu}}\,\mathrm {d} \nu}$

$\"표시 스타일 N_{\mathrm {phot} =(})$1.3045x10¹⁵$\displaystyle \;{\textrm {photons}}\;{\textrm {s}^{-1}\,{\textrm {m}^{-2}\,\mathrm {K}^{-3}\cdot T^{3}}}$

광자당 평균 에너지인${\displaystyle {\text{γ}}_{}}$ Ephoto$$γ \$displaystyle \langle E_{\textrm {phot$$rangle$은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle 사진\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle =}$ $π430ζ$(${\displaystyle \frac{3)}{}}$ ${\displaystyle k}$ T $= ({displaystyle$ \displaystyle$$$E_{\textrm {phot}}\rangle =displayfrac${$pi$ $^{4}}{30\,\zeta (3)}k\,T$=(} $3$.7294×$10$⁻²³ ${\displaystyle JK{\mathrm{}}^{}}$- $)$ ⋅${\displaystyle T}$ $디스플레이 스타일 \mathrmath{$K$\}\{$K$}^-1}T\$

Marr과 Wilkin(2012)은 학생들에게 Wien의 변위 법칙을 가르치는 대신에 $Ephot⟩{\displaystyle$ \langle$E_{\textrm$ {phot}}\$rangle}$에 대해 가르치고, 스테판-볼츠만 법칙을 ^[37]가르칠 때 위의 분해를 가르칠 것을 권고합니다.

참고 항목

• 흑체 복사
• 레일리-진스 법칙
• 사쿠마-핫토리 방정식

메모들

레퍼런스

• Stefan, J. (1879), "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [On the relationship between heat radiation and temperature] (PDF), Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften (in German), 79: 391–428
• Boltzmann, L. (1884), "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Derivation of Stefan's little law concerning the dependence of thermal radiation on the temperature of the electro-magnetic theory of light], Annalen der Physik und Chemie (in German), 258 (6): 291–294, Bibcode:1884AnP...258..291B, doi:10.1002/andp.18842580616