빈의 변위 법칙

빈의 변위 법칙에 따르면 다른 온도에 대한 흑체 복사 곡선은 온도에 반비례하는 다른 파장에서 피크를 이룰 것입니다. 이 피크의 이동은 주어진 온도에서 흑체복사의 스펙트럼 밝기 또는 강도를 파장의 함수로 설명하는 플랑크 복사 법칙의 직접적인 결과입니다. 그러나 그것은 막스 플랑크가 더 일반적인 방정식을 개발하기 몇 년 전 빌헬름 빈에 의해 발견되었으며 온도가 증가함에 따라 흑체복사 스펙트럼이 더 짧은 파장으로 이동하는 전체를 설명합니다.

공식적으로 빈의 변위 법칙의 파장 버전은 단위 파장당 흑체 복사의 스펙트럼 복사가 파장 $\lambda _{\text{peak}}$ λ 피크 {\displaystyle $\lambda _{\text$ {peak}}에서 최대가 된다고 명시합니다.

\lambda _{\text{peak}}={\frac {b}{T}}

여기서

T

는 절대 온도이고

b

는 빈의 변위 상수로 불리는 비례 상수로 2.897771955와 같습니다...×10⁻³ m⋅K,^[1]^[2] or

b

≈ 2898 μm⋅K.

이것은 파장과 온도 사이의 반비례 관계입니다. 그래서 온도가 높을수록 열복사의 파장이 짧거나 작습니다. 온도가 낮을수록 열복사의 파장이 길거나 커집니다. 가시광선의 경우 뜨거운 물체가 차가운 물체보다 더 푸른 빛을 방출합니다. 단위 주파수당 또는 비례 대역폭당 흑체 방출 피크를 고려하는 경우 다른 비례 상수를 사용해야 합니다. 그러나 피크 파장은 온도에 반비례하고 피크 주파수는 온도에 반비례한다는 법칙의 형태는 그대로 유지됩니다.

빈의 변위 법칙의 다른 공식들은 다른 양들에 대해 매개변수화된 다른 공식들이 있습니다. 이러한 대체 공식의 경우 관계의 형태는 유사하지만 비례 $상수$ 인 b는 다릅니다.

빈의 변위 법칙은 빈 근사에 사용되는 용어인 "빈의 법칙"이라고도 할 수 있습니다.

"Wien's displacement law"에서 displacement라는 단어는 강도-파장 그래프가 다른 온도에 대해 이동(변위)된 것처럼 보이는 방법을 나타냅니다.

예

빈의 변위 법칙은 다음과 같은 일상적인 경험과 관련이 있습니다.

블로우 토치에 의해 가열된 금속 조각은 가장 긴 가시광선 파장이 빨간색으로 나타나면서 처음에는 "붉은 뜨거운" 상태가 되고, 그 다음에는 온도가 높아짐에 따라 오렌지-붉은 상태가 되며, 매우 높은 온도에서는 더 짧고 짧은 파장이 흑체 방출 스펙트럼을 지배하기 때문에 "흰색 뜨거운" 상태로 설명됩니다. 붉은 뜨거운 온도에 도달하기도 전에 열 방출은 눈에 보이지 않는 더 긴 적외선 파장에서 주로 이루어졌습니다. 그럼에도 불구하고 근처의 피부를 따뜻하게 만들면서 방사선을 느낄 수 있었습니다.
백열전구(열복사를 통해 빛을 내는 백열전구)의 색상 변화를 쉽게 관찰할 수 있습니다. 빛이 희미해지고 필라멘트 온도가 감소함에 따라 색상의 분포가 파장이 길어지고 빛이 더 붉어지며 더 희미하게 나타납니다.
1500K에서 발생한 산불은 약 2000나노미터에서 최대 복사량을 발생시킵니다. 방사선의 98%는 1000nm 이상의 파장을 가지며, 가시광선 파장(390~700나노미터)에서는 극히 일부에 불과합니다. 결과적으로, 캠프파이어는 한 사람을 따뜻하게 할 수 있지만 가시광선의 원천이 되지 못합니다.
태양의 유효 온도는 5778 켈빈입니다. 빈의 법칙을 이용하여, 사람의 눈의 피크 감도 근처의 스펙트럼의 녹색 부분에서 약 500 nm 파장에서 나노미터당(파장의) 피크 방출을 발견합니다.^[3]^[4] 반면, 단위 광 주파수당 전력 측면에서 태양의 피크 방출은 343 THz 또는 근적외선에서 883 nm 파장입니다. 백분율 대역폭 측면에서 피크는 적색 파장인 약 635nm입니다. 태양 복사의 약 절반은 인간 시각의 한계인 710nm보다 짧은 파장에 있습니다. 그 중 약 12%는 400nm보다 짧은 파장, 자외선 파장으로 인간의 눈에는 보이지 않습니다. 태양 복사의 많은 양은 상당히 작은 가시 스펙트럼으로 떨어집니다.
그러나 가시광선 범위에서 방출이 우세한 것은 대부분의 별에서 그렇지 않습니다. 뜨거운 초거성 리겔은 빛의 60%를 자외선으로 방출하고, 차가운 초거성 베텔게우스는 빛의 85%를 적외선 파장으로 방출합니다. 오리온자리에 있는 두 별 모두 눈에 띄기 때문에 청백색 리겔(T = 12100 K)과 적색 베텔게우스(T ≈ 3300 K)의 색차를 쉽게 알아볼 수 있습니다. 리겔만큼 뜨거운 별은 거의 없지만, 태양보다 더 차가운 별이나 심지어 베텔게우스만큼 차가운 별은 아주 흔합니다.
피부 온도가 300K 정도인 포유류는 원적외선에서 10μm 정도의 피크 방사선을 방출합니다. 따라서 핏 바이퍼 뱀과 패시브 IR 카메라가 감지해야 하는 적외선 파장 범위입니다.
조명원(형광등, LED 조명, 컴퓨터 모니터, 포토플래시 포함)의 겉보기 색상을 비교할 때는 색온도를 인용하는 것이 일반적입니다. 이러한 빛의 스펙트럼은 흑체복사 곡선에 의해 정확하게 설명되지는 않지만, 흑체복사가 해당 소스의 주관적인 색상과 가장 밀접하게 일치하는 색상 온도(상관된 색상 온도)가 인용됩니다. 예를 들어 사무실에서 가끔 사용되는 청백색 형광등은 6500K의 색온도를 가질 수 있는 반면, 희미한 백열등의 붉은 색은 2000K의 색온도(및 실제 필라멘트 온도)를 가질 수 있습니다. 전자(청색)의 색을 "멋지다"로, 후자(빨간 접시)를 "따뜻하다"로 비공식적으로 설명하는 것은 흑체 복사와 관련된 실제 온도 변화와 정확히 반대입니다.

디스커버리

이 법칙은 1893년에 열역학적 논쟁에 기초하여 이 법칙을 도출한 빌헬름 빈의 이름을 따서 명명되었습니다.^[5] 빈은 열 평형 상태에서 빛의 파동을 포함하는 공동의 단열 팽창을 고려했습니다. 그는 도플러의 원리를 이용해 천천히 팽창하거나 수축하면 벽에서 반사되는 빛의 에너지가 진동수와 정확히 같은 방식으로 변한다는 것을 보여주었습니다. 열역학의 일반적인 원리는 열 평형 상태가 매우 느리게 팽창할 때 열 평형 상태를 유지한다는 것입니다.

빈 자신은 볼츠만의 열역학적 추론을 따라 1893년에 이 법칙을 이론적으로 추론했습니다. 그것은 이전에 적어도 반 정량적으로 미국 천문학자 랭글리에 의해 관측되었습니다. $\nu _{\mathrm {peak} }$ ν 피크의 $상향$ 이동 {\displaystyle\n $T$ $T$ 가 $\nu _{\mathrm {peak} }$ 있는 $u_{\mathrm {peak}}}$ 는 모든 사람에게 친숙합니다 $T$ . 불 속에서 철을 가열할 때 첫 번째 가시광선(약 900K에서)은 가장 낮은 주파수의 가시광선인 짙은 빨간색입니다. $T$ $T$ 가 더 증가하면 방사선 $T$ 강도의 피크가 가시광선을 넘어 자외선으로 이동한 매우 높은 온도(10,000K 이상)에서 색상이 주황색으로 바뀌고 마지막으로 파란색으로 바뀝니다.^[6]

단열 원리를 통해 빈은 각 모드에 대해 단열 불변 에너지/주파수는 다른 단열 불변인 주파수/온도의 함수일 뿐이라는 결론을 내릴 수 있었습니다. 이로부터 그는 빈의 변위 법칙의 "강한 버전"을 도출했습니다: 흑체 스펙트럼 복사는 $\nu ^{3}F(\nu /T)$ ν $\nu ^{3}F(\nu /T)$ 3 $($ ν / T)에 비례한다는 진술 {\displaystyle \n $u^{3}F(\n$ $단일$ 변수의 일부 함수 $F$ 에 대한 $\nu ^{3}F(\nu /T)$ u $/T)}.$ 빈의 파생의 현대적 변형은 Wannier의^[7] 교과서와 E의 논문에서 찾을 수 있습니다. 버킹엄^[8]

결과적으로 흑체복사 함수의 모양은 온도에 따라 주파수에 비례하여(또는 파장에 반비례하여) 변화할 것입니다. 막스 플랑크가 나중에 정확한 흑체 복사 함수를 공식화했을 때 빈의 $상수$ b ${\displaystyle$ b $}$ 를 명시적으로 포함하지 않았습니다 $b$ 오히려 플랑크 상수 $h$ $h$ 가 $h$ 만들어지고 그의 새로운 공식에 도입되었습니다. 플랑크 상수 $h$ $h$ 와 $h$ 볼츠만 $상수$ k ${\displaystyle$ k $}$ 에서 $k$ 빈의 상수 $b$ ${\displaystyle$ b $}$ 를 얻을 $b$ 수 있습니다.

매개변수화에 따라 피크 차이가 있음

빈의 법칙의 다양한 매개변수화에 대한 상수
매개변수화:	x $_{\mathrm {peak}}$	b(μm ⋅K)
파장, $\lambda$ λ {\displaystyle $\lambda$ \lambda}	4.965114231744276303...	2898
$⁡$ $\log \lambda$ ${\$ $displaystyle$ \l $\log \lambda$ bda } 또는 $\log \lambda$ ⁡ ν {\ $displaystyle$ \log \n $u }$	3.920690394872886343...	3670
주파수, $\nu$ ν {\displaystyle \n $u }$	2.821439372122078893...	5099

스펙트럼의 기타 특성
매개변수화:	x	b(μm ⋅K)
평균 광자 에너지	2.701...	5327
10% 백분위수	6.553...	2195
25% 백분위수	4.965...	2898
50% 백분위수	3.503...	4107
70% 백분위수	2.574...	5590
90% 백분위수	1.534...	9376

위 표의 결과는 이 기사의 다른 섹션의 결과를 요약한 것입니다. 백분위수는 플랑크 흑체 스펙트럼의 백분위수입니다.^[9] 흑체 스펙트럼에서 에너지의 25%만이 빈의 법칙의 피크 파장 버전에 의해 주어진 값보다 짧은 파장과 연관되어 있습니다.

6000K의 온도에 대해 파장, 분수 대역폭(로그 파장 또는 로그 주파수) 및 주파수로 매개변수화된 플랑크 흑체 스펙트럼.

주어진 온도에 대해 서로 다른 매개변수화는 서로 다른 최대 파장을 의미합니다. 특히 단위 주파수당 세기 곡선은 단위 파장당 세기 곡선과 다른 파장에서 정점을 찍습니다.^[10]

예를 들어, $T$ $T$ = 6,000 K(5,730 °C; 10,340 °F) 및 파장별 파라미터화를 사용하여 최대 스펙트럼 방사율에 대한 파장은 λ ${\$ displaystyle \lambda } = 482.962nm이며 해당 주파수 ν는 {\displaystyle \n입니다. $u }$ = 620.737 THz. 동일한 온도, 그러나 주파수에 의한 파라미터화의 경우, 최대 스펙트럼 방사도의 주파수는 $\nu$ ν {\displaystyle \n입니다. $u}$ $=$ 352.735THz, 해당 파장 $lambda$ {\displaystyle \ $λ$ } $=$ 849.907nm.

이러한 함수는 래디언스 밀도 함수로, 래디언스 단위를 제공하도록 스케일링된 확률 밀도 함수입니다. 밀도 함수는 주어진 파라미터의 선형 변화에 대한 확률 밀도의 변화를 측정하는 가로축의 상대적인 신장 또는 압축에 따라 다양한 파라미터화에 대해 다른 모양을 갖습니다. 파장과 주파수는 상호 관계를 가지므로 서로에 대한 확률 밀도의 상당히 비선형적인 이동을 나타냅니다.

총 복사량은 모든 양의 값에 대한 분포의 적분이며 매개변수화 하에서 주어진 온도에 대해 불변입니다. 또한 주어진 온도에서 두 파장 사이의 모든 광자로 구성된 복사는 어떤 분포를 사용하든 동일해야 합니다. 말하자면, λ $1$ {\ $displaystyle$ \lambda _ ${$ $}}$ 에서 λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}}까지의 파장 분포를 통합하면 λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} 및 λ 2 {\displaystyle \}에 해당하는 두 주파수 사이의 주파수 분포를 통합하는 것과 동일한 값이 됩니다. $_{2$ $c/\lambda _{2}$ c $c/\lambda _{2}$ / $c/\lambda _{2}$ $λ$ 2 ${\displaystyle c/\lambda$ _{ $c/\lambda _{1}$ 부터 c $c/\lambda _{1}$ / $λ$ 1 ${\displaystyle$ c/\lambda _{1}까지 분포 형태는 매개변수화에 따라 다르며, 이러한 계산에서 알 수 있듯이 다른 매개변수화의 경우 일반적으로 분포의 피크 밀도는 다릅니다.

그러나 빈의 법칙의 중요한 점은 중간 파장을 포함한 모든 파장 마커(또는 어떤 특정 비율의 방출이 발생하는 파장 이하)는 온도의 역수에 비례한다는 것입니다. 즉, 주어진 모수화에 대한 분포의 모양은 온도에 따라 축척되고 변환되며, 표준 온도에 대해 한 번 계산된 다음 다른 온도에 대한 분포를 얻기 위해 적절하게 이동 및 축척할 수 있습니다. 이것은 빈의 법칙의 강력한 진술의 결과입니다.

주파수 의존적 공식

단위 주파수 $d\nu$ ν $d\nu$ 고려되는 스펙트럼 플럭스의 경우 {\displaystyle d\n $u}($ 헤르츠 단위), 빈의 변위 법칙은 광 주파수 $\nu _{\text{peak}}$ $ν$ 피크 ${\displaystyle$ \n에서의 피크 방출을 설명합니다. $u_{\text{peak}}}$ 은 $\nu _{\text{peak}}$ (는) 다음과 같습니다.^[12]

\nu_{\text{peak}}={x \over h}k\,T\approx (5.879\times 10^{10}\\mathrm {Hz/K})\cdot T

또는 이에 준하는

h\nu _{\text{peak}}=x\,k\,T\approx (2.431\times 10^{-4}\ \mathrm {eV/K} )\cdot T

x

서 x

{\displaystyle

x

}

= 2.82143937212207893... 는 극대화 방정식에서 나온 상수,

k

는 볼츠만 상수,

h

는 플랑크 상수,

T

는 절대 온도입니다. 이제 단위 주파수당 방출량을 고려하면 이 피크는 단위 파장당 고려된 피크보다 약 76% 긴 파장에 해당합니다. 관련 수학은 다음 섹션에 자세히 나와 있습니다.

플랑크 법칙으로부터 유도

파장별 파라미터화

흑체복사 스펙트럼에 대한 플랑크 법칙은 빈 변위 법칙을 예측하고 특정 매개변수화에 대한 상수 관련 온도와 피크 매개변수 값을 수치적으로 평가하는 데 사용될 수 있습니다. 일반적으로 파장 매개변수화가 사용되며, 이 경우 흑체 스펙트럼 방사율(고체각당 방출 면적당 전력)은 다음과 같습니다.

u_{\lambda }(\lambda,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}} {1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}

λ $u(\lambda ,T)$ {\displaystyle \lambda }에 대해 u $u(\lambda ,T)$ λ, $T)$ {\displaystyle u(\lambda, T)}를 미분하고 도함수를 0으로 설정하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

{\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left ({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}-{1 \over \lambda ^{6}}-{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,

다음과 같이 단순화할 수 있습니다.

{hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.

정의:

x\equiv {hc \over \lambda kT}

방정식은 단일 변수 x에서 하나가 됩니다.

{xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.

다음과 같습니다.

x=5(1-e^{-x})\,

이 방정식은 다음에 의해 풀립니다.

x=5+W_{0}(-5e^{-5})

여기서

W_{0}

W_{0}

{\

displaystyle

W_{

0}

는 램버트 W 기능의 주요 분기이며

x=

=

{\displaystyle

x =

}

4.965114231744276303을 제공합니다. 파장

\lambda

λ {\displaystyle

\lambda

\lambda }(밀리미터 단위)를 해결하고 온도 수율을 위해 켈빈을 사용합니다.

\lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;

피크

\lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;

\lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;

c /

\lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;

k T

=

{\displayst

ambda

\lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;

_{\mathrm {p

\lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;

ak} = h

\lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;

/xkT=\;} (2.8977719551851761..

\lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;

mm ⋅K) / T {\display / T}.

주파수별 파라미터화

또 다른 일반적인 매개변수화는 빈도에 의한 것입니다. 피크 파라미터 값을 산출하는 도함수는 유사하지만 주파수 $\nu$ ν {\displaystyle \n의 함수로서 플랑크 법칙의 형태로 시작합니다. $u }$ :

{\displaystyle u_{\nu}(\n)u,T)={2h\nu ^{3} \over c^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.

이 방정식을 사용한 이전 과정은 다음과 같습니다.

-{h\nu  \over kT}{e^{h\nu /kT} \over e^{h\nu /kT}-1}+3=0.

최종 결과는 다음과 같습니다.

x=3(1-e^{-x})\,

이는 램버트 W 함수에서도 마찬가지로 해결됩니다.^[16]

x=3+W_{0}(-3e^{-3})

x

{\displaystyle

x

}

= 2.82143937212207893...

ν $\nu$ {\displaystyle \n에 대한 해결 방법 $u}$ 이 $\nu$ (가) 생성:^[12]

xk

u _{\mathrm {peak} }=xkT/h=}

(0.05878925757646824946...

THz

⋅K

) ⋅

T

{\displaystyle \cdot T}.

파장 또는 주파수의 로그에 의한 파라미터화

$x=4(1-e^{-x})$ x = 4 $x=4(1-e^{-x})$ ( $x=4(1-e^{-x})$ - e - x ) {\displaystyle x = 4 (1 - e^{-x}})를 사용하면 비례 대역폭당 파라미터 방사광으로 표현되는 스펙트럼 방사광 밀도 함수에서 피크가 산출됩니다. (즉, 주파수 자체에 비례하는 주파수 대역폭당 방사광 밀도, 이는 $\ln \nu$ ⁡ ν {\displaystyle $\ln$ \n의 극소 간격을 고려하여 계산할 수 있습니다. $u}($ 또는 이와 동등하게 $\ln \lambda$ $⁡ λ$ {\displaystyle \ln \ $lambda$ }) 주파수 자체가 아니라. 이것은 아마도 "피크 방출의 파장"을 나타내는 더 직관적인 방법일 것입니다. $x$ x{\ $displaystyle$ x} = 3.920690394872886343이 생성됩니다...

대체 특성으로서 평균 광자 에너지

평균 광자 에너지를^[10] 통해 복사도 분포를 특성화하는 또 다른 방법은

\langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T=(\mathrm {3.7294\times 10^{-23}\,J/K} \cdot T\;.

평균 광자 에너지에 해당하는 파장은 다음과 같습니다.

\lambda _{\lang E\rangle} =(\mathrm {0.532\,65\,cm\,K})/T\;.

비평

Marr and Wilkin(2012)은 입문 과정에서 빈의 변위 법칙을 널리 가르치는 것은 바람직하지 않으며 대체 재료로 대체하는 것이 더 낫다고 주장합니다. 그들은 법을 가르치는 것이 문제가 있다고 주장합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

플랑크 곡선이 너무 넓어서 피크가 눈에 띄거나 중요하다고 간주할 수 없습니다.
피크의 위치는 매개변수화에 따라 달라지며, 그들은 "함수의 피크 지정은 의미가 없으므로 emphas화를 해제해야 한다"는 것에 동의하는 여러 출처를 인용합니다.
이 법칙은 실제 실무에서 온도를 결정하는 데 사용되지 않으며 대신 플랑크 함수를 직접 사용합니다.

그들은 온도 변화에 따라 발생하는 변화에 대한 물리적으로 더 의미 있는 지표로서 빈의 변위 법칙 대신 평균 광자 에너지를 제시할 것을 제안합니다. 이와 관련하여 그들은 초당 평균 광자 수를 스테판-볼츠만 법칙과 관련지어 논의할 것을 권고합니다. 이들은 플랑크 스펙트럼을 파장 또는 주파수에 대한 로그 스케일을 사용하여 "분수 대역폭 분포당 스펙트럼 에너지 밀도"로 표시할 것을 권장합니다.^[10]

참고 항목

참고문헌

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외부 링크

에릭 바이스타인의 물리학 세계

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