양자 한계

물리학에서 양자 한계는 양자 척도에서 측정 정확도에 대한 한계다.^[1]문맥에 따라 한계는 절대(헤이젠베르크 한계 등)일 수도 있고, 자연적으로 발생하는 양자 상태(예를 들어 간섭계에서의 표준 양자 한계)로 실험을 수행할 때만 적용될 수도 있으며, 선진적인 국가 준비 및 측정 체계로 우회할 수 있다.

그러나 표준 양자 한계 또는 SQL이라는 용어의 사용은 단순한 간섭계보다 더 광범위하다.원칙적으로 서로 다른 시간에 그 자체로 통근하지 않는 연구 대상 시스템의 관측 가능한 양자역학적 측정은 그러한 한계로 이어진다.요컨대 원인이 되는 것은 하이젠베르크의 불확실성 원칙이다.

좀 더 자세한 설명은 양자역학의 측정은 최소한 두 개의 당사자인 물체와 계량기를 포함한다는 것이다.전자는 $우리$가${\displaystyle \stackrel{}{}}$측정하고자 하는$$x ^ {\$displaystyle {\$hat${x}}$을$($를) 관측할 수 있는 시스템이다.후자는 일부 선택된 관측 가능한 $O{\displaystyle \stackrel{}{\mathcal{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$$displaystyle {\x}$을$($를) 기록함으로써 객체의$$ $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$$displaystyle {\hat{\mathcal {O}}$ 값을 유추하기 위해 객체에 결합하는 시스템이다. 예를 들어, 미터 눈금의 포인터 위치.이것은 간단히 말해서, 간접 측정으로 알려진 물리학에서 일어나는 대부분의 측정의 모델이다(의 페이지 38~42 참조).그래서 어떤 측정도 상호작용의 결과물이며 그것은 두 가지 방법으로 작용한다.따라서 측정기는 각 측정 동안 물체에 작용하며, 보통 $F{\displaystyle \stackrel{}{\mathcal{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$ 판독 가능한 $O{\displaystyle \stackrel{}{\mathcal{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$을$($를) 사용하여 측정된 $관측{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 가능한${\displaystyle \stackrel{}{}}$x $^$ {\$displaystyle {x}$의 값을 왜곡하고 수정한다$$.후속 측정 결과에 포함.이를 측정 대상 시스템에서 미터의 백액션(퀀텀)이라고 한다.

동시에 계량기를 판독할 수 있는 양자역학은 ${\displaystyle \Delta \stackrel{}{\mathcal{}}}$ O $^$ $displaystyle \delta {\hat {\mathcal{O$ 측정된 수량 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$의 값에 추가되고 독립적인 고유 불확도를 가져야 한다고 규정한다$.$이것은 측정 부정확 또는 측정 노이즈로 알려져 있다.하이젠베르크 불확실성 원칙 때문에 이 부정확성은 임의적일 수 없으며 불확실성 관계에 의한 후방 행동 동요와 연결된다.

${\displaystyle \Delta {\mathcal {O}\delta {\mathcal {F}\geqslant \hbar /2\}$

where ${\displaystyle \Delta a={\sqrt {\langle {\hat {a}}^{2}\rangle -\langle {\hat {a}}\rangle ^{2}}}}$ is a standard deviation of observable ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle \langle {\hat {a}}\rangle }$ stands for expectation value of ${\displaysty$$양자$ 상태가 어떻든 $간$에 a$}.$시스템이 최소 불확실성 상태에 있을 경우 동등성에 도달한다.우리의 경우에 대한 결과는 우리의 측정이 보다 정밀할수록, 즉, 크기가 작을수록 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathcal{\Delta }}$ O ${\$ O$\}\},$ 측정 가능한 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 대해 미터기가 발휘하는 큰 동요가 발생한다$.$따라서 일반적으로 미터기의 판독값은 다음과 같은 세 가지 용어로 구성된다.

${\displaystyle {\hat{\mathcal{O}}={\hat {x}_{\mathrm {free}}}}+\data {O}+\delta {\x}{BA}[{\hat {\mathcal {F}]\...}$

여기서 $x{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ ${\${\$mathrm${free$}}}}}}$은 객체가 미터기에 연결되지 않았더라면 가질$$ 수 있는 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$의 값이며$$, $\Delta {\displaystyle }$ x ${\displaystyle \stackrel{}{B_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ $\delta {\x_{B$$A}}}[{\hat {\mathcal {F}}}}}}$은(는) $백액션포스{\displaystyle \stackrel{}{\mathcal{}}}$ F ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$ {F}에 의해$$ 발생한 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ ${\mathcal {F}$의 값에 대한 섭동이다$$$.$후자의 불확실성은 ${\displaystyle \Delta F\mathcal{}}$ ${\displaystyle \propto }$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle {\mathrm{O}}^{}}$- 1 ${\$에 비례한다$.$따라서 ${\displaystyle \Delta \stackrel{}{\mathcal{}}}$ O ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$ $및$ F${\displaystyle \stackrel{}{}}$^$${\$displaystyle {\hat {\mathcal {F}}$이(^[2][3]가) 상관관계가 없다면$$, 이러한 측정에서 얻을 수 있는 정밀도에 대한 최소값 또는 한계가 있다.

"양자 한계"와 "표준 양자 한계"라는 용어는 서로 교환하여 사용되기도 한다.일반적으로 "양자 한계"는 양자 효과로 인한 측정의 제약을 가리키는 일반적인 용어인 반면, 주어진 맥락에서 "표준 양자 한계"는 그 맥락에서 어디에나 존재하는 양자 한계를 가리킨다.

예

변위 측정

그럼에도 불구하고 일반 위치 측정의 모든 주요 특징을 구현하는 매우 간단한 측정 방식을 고려하십시오.그림에 표시된 체계에서 매우 짧은 광 펄스의 시퀀스를 사용하여 프로브 $본체{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$ $M}$의 변위를 모니터링하고$,$ $위치{\displaystyle }$ x$$${\displaystyle$ $x}$을(를) 시간 간격 $\vartheta {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$vartheta }$과(를)로 주기적으로 프로빙한다$.$ $질량{\displaystyle }$ M$${\$displaystytyleane$$}$측정 과정에서 규칙적인(일반적인) 방사선 압력에 의해 발생하는 변위를 무시할 수 있을 정도로 충분한 ge.

그런 다음 각 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$ -th$$ 펄스가 반영되면 반사 순간$$ 테스트 매스 위치 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ) $displaystyle x(t_{j}})$ 값에 비례하는 위상 편이성을 갖는다.

${\displaystyle {\hat{\hat{\pi}}^{\mathrm {refl}}}={\hat {\j}-2k_{p}{\x}(t_{j})\}}$

(1)

where ${\displaystyle k_{p}=\omega _{p}/c}$, ${\displaystyle \omega _{p}}$ is the light frequency, ${\displaystyle j=\dots ,-1,0,1,\dots }$ is the pulse number and ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$ is the initial (random) phase of the ${\displa$$ystyle j}$ -th$$ 펄스.We assume that the mean value of all these phases is equal to zero, ${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}_{j}\rangle =0}$, and their root mean square (RMS) uncertainty ${\displaystyle \langle ({\hat {\phi ^{2}}}\rangle -\langle {\hat {\phi }}\rangle ^{2})$$^{1/2$}}:$$$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Delta \phi$}과(와) 같다$$$.$

반사된 펄스는 위상에 민감한 장치(위상 검출기)에 의해 감지된다.광상 검출기의 구현은 예를 들어 호모디네 또는 헤테로디네 검출 체계(섹션 2.3 in 및 참조) 또는 기타 그러한 판독 기법을 사용하여 수행할 수 있다.

이 예에서 광 펄스 $위상{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ^ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) 미터의 판독 가능한$$ $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 역할을$$ 한다.그런 다음 검출기에 의해 도입된 $위상{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$ ^ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^$$^ ^ ^ ^ ${\displaystyle \Delta }$ \ ${\displaystyle \Delta \phi$}}}}}}}} $측정$ 오류 $^$ ^ ${\displaystyle r_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}_{}^{}}$ ${\displaysty}$이 $경우$ 초기 불확실성은 위치 측정의 유일한 출처가 될 것이다$.$수정 오류:

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas}={\frac {\delta \pi }{2k_{p}}}\,}$

(2)

편의를 위해 Eq.(1)를 등가 시험 질량 변위값으로 변경한다.

${\displaystyle {\tilde{x}_{j}\equiv -{\frac {{\hat {{\hat {{\frac{\hat}{2k_{p}}}}^{\mathrm{refl}}}}}{x}}}}}}+{\mathrmat {fl}}}}}$

(3)

어디에

${\displaystyle {\x}_{x}_{\mathrm {fl}}}(t_{j})=-{\frac {{\hat{\ji}}}{2k_{p}}}}}}}}$

Eq. (2)에 의해 주어진 RMS 불확실성을 가진 독립적인 무작위 값이다.

반사 시 각 광 펄스는 시험 질량을 차서 다음과 같은 역작용 운동량을 전달한다.

${\displaystyle {{p}_{j}^{\mathrm {after}-{\hat {p}_{j}^{bever}={\hat {p}_{j}^{b.a.}}}={\frac {2}{c}}{\hat {\mathcal {W}_{j}\}}}$

(4)

where ${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {before} }}$ and ${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {after} }}$ are the test-mass momentum values just before and just after the light pulse reflection, and ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{j}}$ is the energy측정기의$$ 백액션 관찰 가능한 $F{\displaystyle \stackrel{}{\mathcal{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$ 역할을 $하는{\displaystyle }$ j$${\$displaystyle j}$ -th$$ 펄스의.이러한 동요의 주요 부분은 고전적인 방사선 압력에 의해 발생한다.

${\displaystyle \langle {\p}_{j}^{\mathrm {b.a.}}}\rangele ={\frac {2}{c}{\mathcal {W}\}}}}$

$W{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 펄스의 평균$$ 에너지.따라서 측정 결과에서 감산되거나 작동기에 의해 보상될 수 있으므로 그 효과를 무시할 수 있다.보정할 수 없는 임의 부분은 펄스 에너지의 편차에 비례한다.

${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }-\langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\bigl (}{\hat {\mathcal {W}}}_{j}-{\mathcal {W}}{\bigr )}\,,}$

그리고 그것의 RMS는 불확실하게 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta p_{\mathrm {b.a.}}}={\frac {2\Delta {\mathcal {W}{c}}}}$

(5)

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle W\mathcal{}}$ ${\$ 펄스$$ 에너지의 RMS 불확실성

거울이 자유롭다고 가정할 때(펄스 사이의 시간 간격이 거울 진동이 일시 중단된 기간보다 훨씬 짧을 경우 상당한 근사치인 경우), $$$\vartheta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \vartheta \ll$ T$}),$ 언클러스터에 $기여$할 j ${\displaysty$ j}$$-th$$ 펄스의 백액션으로 인한 추가 변위를 추정할 수 있다.$j{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle j+1}$펄스$$ 시간 $\vartheta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \vartheta }$ 이후의$$ 후속 측정의 불확실성:

${\displaystyle {\x}_{\mathrm {b.a.}}={\frac {{\hat {{p}^{p}^{\mathrm {b.a.}}}}}}}}{j}}\vartheta }, {M}\,}.}$

그것의 불확실성은 간단할 것이다.

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.}}}{}}}}{\fracta {p}_{\delta {p}}}{\mathrm {b.a.}}}}}}}{j}\vartheta }}, {M}.}\,.}$

If we now want to estimate how much has the mirror moved between the ${\displaystyle j}$ and ${\displaystyle j+1}$ pulses, i.e. its displacement ${\displaystyle \delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\tilde {x}}(t_{j+1})-{\tilde {x}}(t_{j})}$, we will h추정 정밀도를 제한하는 세 가지 추가 불확실성에 대처해야 할 필요:

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}_{j+1,j}={\Bigl [}(\Delta x_{\rm {meas})(t_{j+1})^{2}+(\Delta x_{\rm {meas})(t_{j})^{2}+(\Delta x_{\rm {b.a)}}}(t_{j})^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\...}$

여기서 측정 불확도에 대한 모든 기여를 통계적으로 독립적으로 가정하여 표준 편차의 합계에 의해 총 불확도를 얻었다.모든 광 펄스가 유사하고 위상 불확실성이 동일하다고 추가로 가정할 경우, $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ m ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}({}_{}{}_{}}$j +${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ ) = ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {\mathrm{m}}_{}}$ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$t ${\displaystyle j_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$ x m ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ x m e ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ = Δ ${\displaystyle \varphi }$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$) ${\displaysty \Delta x_{j+}}}}}}{m$ 측정값_${j+1$}}}}}}}}}}}}}}}}}{j+$1}}}}$$\Delta x_{\rm {meas}(t_{j})\equiv \Delta x_{\rm {meas}=\Delta \pi /(2k_{p$

자, 이 간단한 추정치에서 얻을 수 있는 최소 오차는 얼마인가?만약 우리가 에너지와 각 맥박의 위상이 표준적으로 관측 가능하기 때문에 다음과 같은 불확실성 관계에 따른다는 것을 상기한다면, 양자역학으로부터 그 대답이 뒤따른다.

${\displaystyle \Delta {\mathcal{W}\Delta \phi \geq {\frac {\hbar \obe _{p}2}}\,}$

따라서 위치 $측정{\displaystyle \mathrm{}}$ 오류 Δ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ s ${\$과(와$)$ 모멘텀$$ p b$.$ a . {\$displaystyle$ \$Delta$ p_${\mathrmet{b.a$)에 따라 결정된다.$}} }}$ 백 액션으로 인해$$ 불확실성 관계도 충족:

$\delta x_{\mathrm {meas}\Delta p_{\mathrm {b.a.}}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\,}$

이러한 관계를 고려하여 최소 불확실성 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ m ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ ${\$ 거울을 너무 많이 동요시키지 않으려면 광 펄스가${\displaystyle {}_{}}\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ x ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$. . . . . . .$$. . . . . .$delta x_{\mathrmatrmet.a$와 같아야 한다$.$$}}$$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\sqrt{\frac{\vartheta }{}}}$ 2 M ${\$}}{2$$}$M$따라서 양자역학에 의해 규정된 최소 변위 측정 오차는 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}\geqslant {\Bigl [}2(\Delta x_{\rm {meas}})^{2}+{\Bigl (}{\frac {\hbar \vartheta }{2M\Delta x_{\rm {meas}}}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\geqslant {\sqrt {\frac {3\hbar \vartheta }{2M}}\,.}$

이러한 2-펄스 시술의 표준 양자 한계치 입니다.In principle, if we limit our measurement to two pulses only and do not care about perturbing mirror position afterwards, the second pulse measurement uncertainty, ${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})}$, can, in theory, be reduced to 0 (it will yield, of course, ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{p}_{\mathrm{b}.\mathrm{a}.}(t_{j+1}}$${\displaystyle \Delta p_{\rm {b.a.$$}}}(t_{j+1})\\potty$ $\})$ 및 변위 측정 오류의 한계는 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle \Delta {x}_{SQL}={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{M}}\}}}$

자유 질량 변위 측정을 위한 표준 양자 한계로 알려져 있다.

이 예는 선형 측정의 단순한 특정 사례를 나타낸다.측정 불확도와 객체 백액션 섭동(${\displaystyle {\hat{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}_{}}$ ${\displaystyle l_{\mathrm{}}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ )${\displaystyle {\x}{x}}{\mathrm {fl}(t_{j})$ 및$$ $p{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$^ ${\displaystyle {\mathrm{a}}^{}}$. (${\displaystyle {}^{}{t}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaysty$ {\$ha$})가 모두 포함된 경우, 이 등급의 측정 체계들은 형식에서 완전히 설명될 수 있다.$t{p}^{{$p}^{\$mathrm{b.a.}}$ 이 경우$$ $}}{{j}}})$는 시험 물체 초기 양자 상태와 통계적으로 독립적이며, 측정된 관측 가능 및 그 표준적 결합 상대(이 경우 물체 위치와 운동량)와 동일한 불확실성 관계를 만족한다.

양자 광학에서의 사용

간섭계 또는 기타 광학적 측정의 맥락에서 표준 양자 한계는 일반적으로 압착 상태 없이 얻을 수 있는 양자 잡음의 최소 수준을 가리킨다.^[4]

높은 소음 주파수에서 레이저만으로 도달할 수 있는 위상 소음에 대한 양자 한계가 추가로 있다.

분광학에서는 X선 스펙트럼에서 최단 파장을 양자 한계라고 부른다.^[5]

고전적 한계와의 잘못된 관계

"한계"라는 단어의 과부하로 인해 고전적 한계는 양자 한계와 정반대되는 것이 아니라는 점에 유의한다."양적 한계"에서 "한계"는 물리적 한계(예: 암스트롱 한계)의 의미로 사용되고 있다."일반적 한계"에서 "한계"는 제한 프로세스의 의미에 사용된다.(주: 에렌페스트의 정리에도 불구하고 양자역학으로부터 고전역학을 완전히 회복하는 단순한 엄격한 수학적 한계가 없다는 점에 유의한다.그럼에도 불구하고 양자역학의 위상공간 형성에서는 그러한 한계가 보다 체계적이고 실용적이다.)

참고 항목

• 고전적 한계
• 하이젠베르크 한계
• 초밀도 한계

참조 및 참고 사항