의미있는 수치

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적합 근사
컨셉트
근사순서 축척분석 빅 O 표기법 커브 피팅 오정밀도 의미있는 수치
기타기초
근사 일반화오류 테일러 다항식 과학 모델링
v t

유효숫자 또는 시그 그림이라고도 하는 유효숫자는 특정 수량을 전달하는 데 있어서 신뢰성과 필요성을 모두 전달하는 위치 표기로 작성된 숫자 내의 특정 숫자입니다.측정 결과(예: 길이, 압력, 부피 또는 질량)를 제시할 때 자릿수가 측정 기기가 해결할 수 있는 것을 초과하는 경우 분해능 내의 자릿수만 신뢰할 수 있으므로 유의한 것으로 간주됩니다.

예를 들어, 길이 측정값이 114.8mm가 되면, 1mm로 표시 사이의 간격이 가장 작은 자를 사용하여 처음 세 자리(114mm를 나타내는 1, 1, 4)가 일정하고 중요한 수치를 구성합니다.불확실하면서도 신뢰할 수 있는 숫자들도 중요한 수치에 포함됩니다.이 경우 끝자리(8, 기여율 0.8mm)도 불확실성에도 불구하고 중요한 것으로 간주됩니다.^[1]

또 다른 예로는 2.98L의 부피 측정과 ± 0.05L의 불확실성이 있습니다.실제 부피는 2.93 L에서 3.03 L 사이에 속합니다. 특정 숫자가 완전히 알려지지 않더라도 불확실성의 허용 범위 내에서 실제 부피를 나타내기 때문에 신뢰할 수 있다면 여전히 중요합니다.이 경우 실제 볼륨은 2.94L이거나 3.02L일 수 있으므로 세 자릿수 모두 유의한 것으로 간주됩니다.^[1]

다음과 같은 유형의 숫자는 중요하지 않은 것으로 간주됩니다.^[2]

• 선행 0.예를 들어, 013kg은 1과 3의 두 개의 유의한 수치를 가지고 있지만, 선두 0은 질량 표시에 영향을 미치지 않기 때문에 중요하지 않습니다. 013kg은 13kg에 해당하므로 0을 불필요하게 만듭니다.마찬가지로 0.056m의 경우 0.056m가 56mm와 동일하기 때문에 유의하지 않은 선행 0이 2개 존재하므로 선행 0은 길이 표시에 기여하지 않습니다.
• 자리지킴이 역할을 할 때는 0을 뒤쫓습니다.측정값 1500m에서 후행 0은 단순히 10자리와 1자리를 나타내는 경우(측정 분해능이 100m라고 가정할 때) 유의하지 않습니다.이 경우 1500m는 정확한 값이 아닌 길이가 약 1500m임을 나타냅니다.
• 원래 데이터보다 높은 정밀도로 계산되거나 계측기의 분해능보다 높은 정밀도로 보고된 측정값으로 인해 발생하는 거짓 숫자입니다.

숫자의 유의한 수치 중에서 가장 유의한 수치는 지수 값이 가장 큰 숫자(가장 왼쪽의 유의한 수치)이고 가장 유의하지 않은 수치는 가장 낮은 지수 값(가장 오른쪽의 유의한 수치)입니다.예를 들어, 숫자 "123"에서 "1"은 수백(10²)을 나타내는 가장 의미 있는 수치이고, "3"은 가장 의미 없는 수치로서 1(10⁰)을 나타내는 것입니다.

잘못된 수준의 정밀도를 전달하지 않기 위해 종종 숫자가 반올림됩니다.예를 들어, 측정 기기가 가장 가까운 그램(0.001kg)까지만 정확도를 제공할 경우 측정값을 12.34525kg으로 표시하는 것은 잘못된 정밀도를 생성하게 됩니다.이 경우 유효숫자는 맨 왼쪽 숫자에서 맨 앞 다섯 자리(1, 2, 3, 4, 5)이며, 숫자는 이 유효숫자로 반올림해야 정확한 값으로 12.345kg이 됩니다.반올림 오차(이 예제에서는 0.00025 kg = 0.25 g)는 수치 분해능 또는 정밀도와 근사합니다.숫자는 뉴스 방송의 편의성과 같이 반드시 측정 정밀도를 나타내는 것이 아니라 단순화를 위해 반올림할 수도 있습니다.

유의 산술은 계산을 통해 유의성을 유지하기 위한 일련의 근사 규칙을 포함합니다.더 발전된 과학적 규칙은 불확실성의 전파로 알려져 있습니다.

Radix 10 (기수-10, 10진수)은 다음과 같이 가정합니다.(이러한 개념을 다른 기저로 확장하는 방법은 맨 뒤의 단원을 참조하십시오.)

중요한 수치를 식별

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숫자에서 의미 있는 수치를 식별하는 규칙

신뢰할 수 있는 숫자만 유효할 수 있기 때문에 숫자에서 유효한 숫자를 식별하려면 신뢰할 수 있는 숫자를 알아야 합니다(예: 숫자를 얻거나 처리하는 측정 또는 보고 해상도를 알고 있어야 함). 예: 0.00234 g의 3과 4는 측정 가능한 최소 무게가 0.001 g인 경우 유의하지 않습니다.^[3]

• 지정된 측정 또는 보고 해상도 내에서 0이 아닌 숫자가 유의합니다.
  • 91은 두 개의 유의한 수치(측정 allowed 숫자인 경우 9와 1)를 갖습니다.
  • 123.45는 측정 분해능 내에 있는 경우 5개의 유효 숫자(1, 2, 3, 4 및 5)를 가집니다.해상도가 0.1이면 끝자리 5는 유의하지 않습니다.
• 유의한 0이 아닌 두 자리 사이의 0은 유의합니다(유의 포획 0).
  • 101.해상도가 0.00001인 경우 12003은 8개의 유효 수치로 구성됩니다.
  • 해상도가 0.0001인 경우 125.340006은 7개의 유효 수치를 갖습니다: 1, 2, 5, 3, 4, 0 및 0.
• 첫 번째 0이 아닌 숫자(선행 0)의 왼쪽에 있는 0은 유의하지 않습니다.
  • 길이 측정값이 0.052km이면 0.052km = 52m이므로 5와 2만 유의합니다. 선행 0은 사용된 단위에 따라 나타나거나 사라지므로 측정 척도를 표시할 필요가 없습니다.
  • 해상도가 0.00001인 경우 0.00034는 2개의 유의한 수치(3과 4)를 갖습니다.
• 소수점이 있는 숫자에서 0이 아닌 마지막 숫자(추적 0)의 오른쪽에 있는 0은 측정 또는 보고 해상도 내에 있는 경우 유의합니다.
  • 1.200은 측정 분해능에 의해 허용되는 경우 4개의 유의한 수치(1, 2, 0, 0)를 갖습니다.
  • 0.0980은 측정 분해능 내에 있는 경우 세 개의 유효 숫자(9, 8 및 마지막 0)를 가집니다.
  • 120.000은 이전과 같이 측정 분해능 내에 있는 경우 6개의 유의한 수치(1, 2 및 이후의 4개의 영점)로 구성됩니다.
• 정수에서 후행 0은 측정 또는 보고 해상도에 따라 유의할 수도 있고 유의하지 않을 수도 있습니다.
  • 45,600은 마지막 0이 어떻게 쓰이는지에 따라 3, 4, 5개의 유효숫자를 가집니다.예를 들어, 보고 또는 측정 분해능에 대한 정보 없이 도로의 길이가 45600m로 보고된 경우, 도로 길이가 45600m로 정확하게 측정되는지 또는 대략적인 추정치인지 여부가 명확하지 않습니다.대략적인 추정이라면, 0이 아닌 첫 세 자리만이 중요한데, 이는 후행 0이 신뢰할 수도 없고 필요도 없기 때문입니다. 45600 m는 과학적 표기법으로 45.6 km 또는 4.56 × 10⁴ m로 표현될 수 있으며, 두 표현 모두 후행 0이 필요하지 않습니다.
• 정확한 숫자는 의미 있는 숫자의 수가 무한히 많습니다.
  • 만약 한 봉지에 든 사과의 개수가 4개(정확한 숫자)라면, 이 숫자는 4.0000...(소수점 오른쪽에 무한히 후행하는 0이 있음).결과적으로 4는 그것을 사용한 계산 결과에서 유의한 숫자나 숫자의 수에 영향을 미치지 않습니다.
• 수학적 또는 물리적 상수는 알려진 숫자에 유의한 수치를 가집니다.
  • π는 몇 가지 동등한 정의를 가진 특정 실수입니다.정확한 십진법의 모든 숫자 3.14159265358979323...중요합니다.이 숫자들의 많은 속성들이 알려져 있지만(예를 들어, π이 비이성적이기 때문에), 모든 숫자들이 알려져 있는 것은 아닙니다.2021년 8월 19일 현재 62조 이상의 숫자가^[4] 계산되었습니다.62조 자리의 근사치에는 62조 자리의 의미 있는 숫자가 있습니다.실제 응용 분야에서는 훨씬 적은 숫자가 사용됩니다.매일의 근사치 3.14는 세 개의 유의한 십진 숫자와 일곱 개의 정확한 이진 숫자를 가지고 있습니다.근사치 22/7은 세 자리의 정확한 십진 숫자를 갖지만 10자리의 정확한 이진 숫자를 갖습니다.대부분의 계산기와 컴퓨터 프로그램은 16자리 확장 3.141592653589793을 처리할 수 있으며, 이는 행성 간 항법 계산에 충분합니다.^[5]
  • 플랑크 상수는 $h$ = ${\displaystyle 6.62607015}$× ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ ${\displaystyle {34}^{}}$ ${\displaystyle J}$ ⋅ ${\displaystyle$h = $6.62607015\times 10^{-34}\mathrm {J} \cdot \mathrm${${\displaystyle \mathrm{s}}$$} }$이며 정확한 값으로 정의되어 $h$ = ${\displaystyle 6.62607015}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$x ${\displaystyle {10}^{}}$- ${\displaystyle {34}^{}}$ ${\displaystyle J}$ ⋅ ${\displaystyle h$= $6.62607015(0)\times 10^{-34}\mathrm {J} \cdot \mathrm {s} }$입니다.

정수에서 유의한 수치를 후행 0으로 표시하는 방법

소수점을 포함하지 않는 숫자에서 후행 0의 의미는 모호할 수 있습니다.예를 들어 숫자 1300이 가장 가까운 단위에 정확한지(우연히 100의 정확한 배수임) 또는 반올림 또는 불확실성으로 인해 가장 가까운 수백 개에만 표시되는지 여부가 항상 명확하지 않을 수 있습니다.이 문제를 해결하기 위해 많은 규칙이 존재합니다.그러나 이는 일반적으로 사용되는 것은 아니며, 독자가 규약을 숙지하고 있는 경우에만 효과적일 것입니다.

• 오버바(overbar) 또는 더 정확하게는 빈큐럼(vinculum)이라고도 불리는 오버라인은 마지막 유의한 수치 위에 배치될 수 있습니다. 이를 따르는 후행 0은 중요하지 않습니다.예를 들어 1300에는 세 개의 유의한 수치가 있습니다(따라서 숫자가 가장 가까운 10에 정확하다는 것을 나타냅니다).

• 밀접하게 관련된 규약을 사용하여 숫자의 마지막 유효숫자에 밑줄을 긋는 경우가 적습니다. 예를 들어 "1300"에는 두 개의 유효숫자가 있습니다.

• 소수점은 숫자 뒤에 배치될 수 있습니다. 예를 들어 "1300"은 특히 후행 0이 유의적임을 나타냅니다.^[7]

위의 규약이 일반적으로 사용되지 않기 때문에, 후행 0이 있는 숫자의 유의성을 나타내는 데 다음과 같이 더 널리 알려진 옵션을 사용할 수 있습니다.

• 측정 단위가 있는 숫자의 단위 접두사를 변경하여 모호하거나 유의하지 않은 0을 제거합니다.예를 들어, 1300 g으로 명시된 측정의 정밀도는 모호하지만, 1.30 kg으로 명시되면 그렇지 않습니다.마찬가지로 0.0123 L는 12.3 mL로 다시 쓸 수 있습니다.

• 과학적 표기법을 사용하여 모호하거나 유의하지 않은 0을 제거합니다.예를 들어, 세 개의 유효숫자를 가진 1300은 1.30 x 10이³ 됩니다.마찬가지로 0.0123도 1.23×10으로⁻² 다시 쓸 수 있습니다.유의한 수치(1.30 또는 1.23)를 포함하는 표현의 부분을 유의 및 또는 가수라고 합니다.기본 및 지수(10³ 또는 10⁻²)의 숫자는 정확한 숫자로 간주되므로 이 숫자들의 경우 유의한 수치는 무관합니다.

• 유의한 수치의 수를 명시적으로 명시합니다(약어 s.f.가 사용되기도 함).예를 들어 "20000 ~ 2 s.f." 또는 "20000 (2 sf)"입니다.

• 예상 변동성(정밀도)을 20000 ± 1%와 같이 플러스 마이너스 기호로 명시적으로 설명합니다.이를 통해 전력 간 정밀도 범위를 10으로 지정할 수도 있습니다.

유효숫자로 반올림

유효숫자로 반올림하는 것은 n자리로 반올림하는 것보다 더 일반적인 기술입니다. 왜냐하면 그것은 다양한 척도의 숫자를 균일한 방법으로 다루기 때문입니다.예를 들어, 한 도시의 인구는 가장 가까운 천 명에게만 알려져 있고 52,000,000으로 표시될 수 있는 반면, 한 국가의 인구는 가장 가까운 백만 명에게만 알려져 있고 52,000,000으로 표시될 수 있습니다.전자는 수백 개, 후자는 수십만 개의 오류가 있을 수 있지만 둘 다 두 개의 유의한 수치(5와 2)를 가지고 있습니다.이는 측정되는 양의 크기에 비해 오차의 유의성이 두 경우 모두 동일하다는 사실을 반영합니다.

숫자를 유효숫자로 반올림하는 방법:^[8][9]

1. n + 1 자리가 5보다 크거나 5 다음에 0이 아닌 다른 자리가 있으면 n 자리에 1을 더합니다.예를 들어, 1.2459에서 3개의 유의한 수치로 반올림하려면 이 단계를 수행하면 1.25가 됩니다.
2. n + 1 자리가 5 다음에 다른 자리가 없거나 0 다음에 오는 경우에는 반올림에 타이브레이킹 규칙이 필요합니다.예를 들어, 1.25에서 2개의 유의한 수치를 반올림하는 경우:
   • 0에서 반쯤 떨어진 곳에서 반올림("5/4"^{[citation needed]}이라고도 함)하면 1.3까지 반올림합니다.필요한 반올림 방법이 지정되지 않은 경우 많은 분야에^{[citation needed]} 포함된 기본 반올림 방법입니다.
   • 반을 짝수로 반올림하고, 가장 가까운 짝수로 반올림합니다.이 방법을 사용하면 1.25가 1.2로 반올림됩니다.이 방법이 1.35에 적용되면 1.4로 반올림됩니다.이 방법은 많은 과학 분야에서 선호하는 방법입니다. 예를 들어 긴 값 목록의 평균 값을 위쪽으로 치우치지 않기 때문입니다.
3. 반올림하는 정수의 경우 n자리 뒤의 숫자를 0으로 바꿉니다.예를 들어 1254를 유의한 2개의 숫자로 반올림하면 5와 4가 1300이 되도록 0으로 바뀝니다.소수점이 반올림되어 있는 숫자의 경우 n자리 뒤의 숫자를 제거합니다.예를 들어 14.895를 3개의 유효숫자로 반올림하면 8 이후의 숫자는 14.9가 되도록 제거됩니다.

재무 계산에서 숫자는 종종 주어진 자리 수로 반올림됩니다.예를 들어, 많은 세계 통화의 소수점 구분자 뒤에 두 자리로 이동합니다.이는 더 큰 정밀도는 중요하지 않기 때문에 수행되며, 보통 최소 통화 단위 미만의 부채를 결제하는 것은 불가능합니다.

영국 개인 세금 신고서에서는 소득이 가장 가까운 파운드로 반올림되는 반면, 납부한 세금은 가장 가까운 페니로 계산됩니다.

예를 들어, 십진수 12.345는 다양한 숫자의 유효숫자 또는 십진수로 나타낼 수 있습니다.정밀도가 충분하지 않으면 사용 가능한 정밀도에 맞게 숫자가 반올림됩니다.다음 표는 두 가지 반올림 방식에서 다양한 총 정밀도에 대한 결과입니다(N/A는 해당 없음을 의미함).

정확	반올림됨 상당한 수치	반올림됨 소수점 자리
6	12.3450	12.345000
5	12.345	12.34500
4	12.34 또는 12.35	12.3450
3	12.3	12.345
2	12	12.34 또는 12.35
1	10	12.3
0	—	12

0.012345의 또 다른 예입니다. (선행 0이 유의하지 않음을 기억하십시오.)

정확	반올림됨 상당한 수치	반올림됨 소수점 자리
7	0.01234500	0.0123450
6	0.0123450	0.012345
5	0.012345	0.01234 또는 0.01235
4	0.01234 또는 0.01235	0.0123
3	0.0123	0.012
2	0.012	0.01
1	0.01	0.0
0	—	0

0이 아닌 숫자 x를 p개의 유효숫자 정밀도로 표현하는 것은 다음과 같은 공식으로 주어진 수치 값을 갖습니다.^{[citation needed]}

${\displaystyle 10^{n}\cdot \operatorname {round}\left ({\frac {x}{10^{n}}\right)}$

어디에

${\displaystyle n=\l바닥 \log _{10}( x)\r바닥 +1-p}$

유의한 후행 0의 수를 지정하기 위해 위와 같은 특정 표시를 사용하여 작성해야 할 수도 있습니다.

불확도 및 암시적 불확도 작성

작성 불확실성의 유의한 수치

$측정$ 결과에는${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ±$$σ x {\$displaystyle x_{best}\pm$ \sigma_{$x}}$와 같은 측정 불확도를 포함하는 것이 좋습니다$.$ 여기서 x와 σ는 각각 측정에서 가장 좋은 추정치와 불확실성입니다.x는 측정값의 평균일 수 있고 σ는 표준 편차 또는 측정 편차의 배수일 수 있습니다.$x$를 ${\displaystyle {\mathrm{최적}}_{}}$ ±${\displaystyle {}_{}}$σ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle x_{best}\pm \sigma_{x}$로 쓰는 규칙은 다음과 같습니다.

• σ는 일반적으로 한 두 개의 유효한 수치만을 인용해야 합니다. 더 많은 정밀도는 신뢰할 수 없거나 의미가 있을 것 같지 않기 때문입니다.
  • 1.79 ± 0.06(정확), 1.79 ± 0.96(정확), 1.79 ± 1.96(incorrect).
• x와 σ의 마지막 유의한 수치의 자릿수 위치가 동일하며, 그렇지 않으면 일관성이 상실됩니다.예를 들어, "1.79 ± 0.067"은 정확하지 않습니다. 최적 추정치보다 정확한 불확실성을 갖는 것은 의미가 없기 때문입니다.
  • 1.79 ± 0.06(정확함), 1.79 ± 0.96(정확함), 1.79 ± 0.067(incorrect).

잠재불확실성

불확실성은 명확하게 표현되지 않은 경우 마지막 유의한 수치에 의해 암시될 수 있습니다.^[1]암시된 불확실성은 마지막 유효 수치 위치에서 최소 척도의 ± 절반입니다.예를 들어, 물체의 질량이 불확실성을 언급하지 않고 3.78 kg으로 보고될 경우 ± 0.005 kg의 측정 불확실성이 내포될 수 있습니다.물체의 질량을 3.78 ± 0.07 kg으로 추정하여 실제 질량은 3.71 ~ 3.85 kg 범위에 있을 것이며 단일 숫자로 보고하고자 한다면 3.8 kg이 측정 범위에 가까운 3.75 ~ 3.85 kg의 질량 범위를 제공하므로 3.8 kg이 보고하기에 가장 좋은 숫자입니다.불확실성이 3.78 ± 0.09 kg으로 조금 더 크다면 3.8 kg이 여전히 인용하기에 가장 좋은 단일 숫자입니다. "4 kg"이 보고되면 많은 정보가 손실되기 때문입니다.

만약 어떤 숫자의 암시적 불확도를 적어야 할 필요가 $있다면{\displaystyle ,}$ 그것을 ${\displaystyle {}_{}}$ $불확도$로 적으면$$ 됩니다$$($독자$가 측정 불확도로 인식하지 못하도록$),$여기서 x와 σ는 각각 0자리가 추가된 숫자(위의 불확도를 쓰는 규칙을 따르도록 함)와 그것의 잠재된 불확도를 의미합니다.예를 들어, 불확실성 ± 0.5 kg인 6 kg은 6.0 ± 0.5 kg으로 나타낼 수 있습니다.

산술학

직접 측정된 수량의 유의한 수치를 결정하는 규칙이 있으므로, 이러한 측정된 수량으로부터 계산된 수량의 유의한 수치를 결정하는 지침(규칙이 아님)도 있습니다.

측정된 수량의 유의한 수치는 계산된 수량의 유의한 수치를 결정하는 데 가장 중요합니다.수학적 또는 물리적 상수(예: 반지름이 r인 원의 면적에 대한 공식의 π)는 알려진 숫자가 계산에 사용된 측정된 양의 유효숫자 이상이면 계산 결과의 유효숫자 결정에 영향을 미치지 않습니다.속도 v가 ½mv인 질량 m의 운동에너지 공식의 ½와 같은 정확한 숫자는 유효숫자의 수가 무한하기 때문에 계산된 운동에너지의 유효숫자와 관련이 없습니다(0.500000...).

아래에 설명된 지침은 측정된 양보다 더 정확한 계산 결과를 피하기 위한 것이지만, 측정된 불확실성에 충분히 근접할 수 있는 결과적인 암시적 불확실성을 보장하지는 않습니다.이 문제는 단위 변환에서 확인할 수 있습니다.가이드라인이 측정된 값과 너무 거리가 먼 잠재적 불확실성을 제공하는 경우, 비교 가능한 불확실성을 제공하는 유의한 숫자를 결정해야 할 수도 있습니다.

곱셈과 나눗셈

곱셈과 나눗셈을 통해 측정된 양에서 생성된 양의 경우, 계산된 결과는 계산에 사용된 측정된 양 중에서 가장 적은 수의 유효 수치를 가져야 합니다.^[12]예를들면,

• 1.234 x 2 = 2.468 ≈ 2
• 1.234 × 2.0 = 2.468 ≈ 2.5
• 0.01234 × 2 = 0.02468 ≈ 0.02

각각 1, 2, 1개의 중요한 수치를 가지고 있습니다.(여기서 2는 정확한 숫자가 아니라고 가정합니다.)첫 번째 예를 들어, 첫 번째 곱셈 인자는 4개의 유의한 수치를 가지고 두 번째는 1개의 유의한 수치를 가지고 있습니다.유의한 값이 가장 적거나 가장 적은 요인은 하나만 있는 두 번째 요인이므로 최종 계산 결과에도 유의한 값이 하나 있어야 합니다.

예외.

단위 변환의 경우, 반올림 지침을 따를 경우 이전 단위보다 결과의 잠재적 불확실성이 만족스럽지 않게 높을 수 있습니다. 예를 들어 8인치의 경우 ± 0.5인치 = ± 1.27cm의 잠재적 불확실성을 갖습니다.센티미터 스케일로 변환하여 곱셈과 나눗셈의 반올림 지침에 따를 경우, 20.32 센티미터 ≈ 20 센티미터에 ± 5 센티미터의 잠재적 불확실성을 갖습니다.이 잠재적 불확실성이 너무 과대평가된 것으로 간주될 경우, 단위 변환 결과에서 더 적절한 유효 자릿수는 ± 0.5 cm의 잠재적 불확실성과 함께 ≈ 20.32 cm일 수 있습니다.

위 반올림 지침을 적용하는 또 다른 예외는 정수에 1.234 × 9와 같은 수를 곱하는 것입니다. 위 지침을 따를 경우 결과는 1.234 × 9.000으로 반올림됩니다.= 11.106 ≈ 11.11.그러나 이 곱셈은 기본적으로 자신에 1.234 + 1.234 + … + 1.234와 같이 9배를 더하는 것이므로 아래에서 설명하는 덧셈과 뺄셈에 대한 반올림 지침이 더 적합한 반올림 방법입니다.^[13]결과적으로 최종 정답은 1.234 + 1.234 + … + 1.234 = 11.106 = 11.106입니다(한 자릿수 증가).

덧셈과 뺄셈

가감산을 통해 측정된 양에서 생성된 양의 경우, 계산 결과의 마지막 유효숫자 위치(예: 수백, 십, 일, 십분의 일, 백분의 일 등)는 계산에서 측정된 양의 마지막 유효숫자 중 가장 왼쪽 또는 가장 큰 자리의 위치와 같아야 합니다.예를들면,

• 1.234 + 2 = 3.234 ≈ 3
• 1.234 + 2.0 = 3.234 ≈ 3.2
• 0.01234 + 2 = 2.01234 ≈ 2

각각 1위, 10위, 1위에서 마지막으로 유의한 수치를 기록했습니다.(여기서 2는 정확한 숫자가 아니라고 가정합니다.)첫 번째 예를 들어, 첫 번째 항은 천 번째 자리에 마지막 유의한 수치가 있고 두 번째 항은 마지막 유의한 수치가 한 자리에 있습니다.이 항들의 마지막 유효숫자 중 가장 왼쪽 또는 가장 큰 숫자 위치가 한 자리이므로 계산된 결과도 한 자리에 마지막 유효숫자가 있어야 합니다.

곱셈과 나눗셈에 대한 유의한 수치를 계산하는 규칙은 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙과 같지 않습니다.곱셈과 나눗셈의 경우, 계산에 포함된 각 요인의 유효숫자의 총 숫자만 해당되며, 각 요인의 마지막 유효숫자의 숫자 위치는 무관합니다.덧셈과 뺄셈의 경우, 계산에서 각 항의 마지막 유효숫자의 숫자 위치만 중요하며, 각 항의 유효숫자의 총 숫자는 무관합니다.^{[citation needed]}그러나 일부 유의하지 않은 숫자가 이후 계산에 사용되는 중간 결과에서 유지되는 경우 더 큰 정확도를 얻을 수 있습니다.^{[citation needed]}

대수와 대수를 반대

정규화된 수(즉, 1 ≤ a < 10 및 b를 정수로 하는 x 10^b)의 밑-10 로그는 소수 부분(송사라고 함)이 정규화된 수에서 유효한 수만큼의 유효한 수를 갖도록 반올림됩니다.

• log(3.000 × 10) = log(10) + log(3.000) = 4.000000...(exact 수는 무한대의 유효숫자) + 0.4771212547... = 4.4771212547 ≈ 4.4771입니다.

정규화된 숫자의 대수를 취할 때 결과는 대수화할 숫자의 소수점 부분의 유효 숫자만큼의 유효 숫자를 갖도록 반올림됩니다.

• 10^4.4771 = 29998.5318119...= 30000 = 3.000 × 10.

초월함수

초월함수 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle f (x)}($예를 들어 지수함수, 로그함수, 삼각함수)가 정의역 원소 x에서 미분 가능하다면,그렇다면 유효숫자의 수("${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (}$x)) ${\displaystyle$ f $(x))"$로 표시됨)는 공식에 의해 x 의 유효숫자("x 의 signific 도형"으로 표시됨)와 대략적으로 관련됩니다.

${$$approx}}\signific${\$rm${($figures$ant$~dx~of~x)}}-\log _{10}\left(\left\vert {{\frac {df(x)}{dx$}}\$frac {x}}\$right$\vert \right$

여기서 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \frac{f}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$) d ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{x}{}}$) $displaystyle \left\vert {\frac {df(x)}{$dx$}}{\frac {x}}\$right$\vert}$는 조건 번호입니다.유의 산술 기사를 참조하여 그 파생점을 찾으십시오.

최종 계산 결과에 한해 반올림

여러 단계의 계산을 수행할 때,중간 단계 계산 결과를 반올림하지 마십시오. 각 중간 결과에서 유의한 수치를 추적하거나 기록하는 동안 누적 반올림 오류를 방지하기 위해 모든 계산이 끝날 때까지 가능한 한 많은 숫자(반올림 규칙에서 허용하는 숫자보다 최소 한 자릿수)를 유지합니다.그런 다음 최종 결과를 최종 계산의 입력 중 가장 적은 수의 유효숫자(곱 또는 나눗셈의 경우) 또는 가장 왼쪽의 유효숫자 위치( 덧셈 또는 뺄셈의 경우)로 반올림합니다.^[14]

• (2.3494 + 1.345) × 1.2 = 3.6944 × 1.2 = 4.43328 ≈ 4.4.
• (2.3494 × 1.345) + 1.2 = 3.159943 + 1.2 = 4.359943 ≈ 4.4입니다.

추가 숫자 추정

자를 사용할 때는 처음에 가장 작은 표시를 첫 번째 추정 숫자로 사용합니다.예를 들어, 눈금자의 가장 작은 표시가 0.1cm이고 4.5cm를 읽은 경우, 가장 작은 표시 간격은 4.5(±0.1cm) 또는 4.4cm ~ 4.6cm입니다.그러나 실제로 측정값은 일반적으로 눈금자의 가장 작은 표시 사이의 간격보다 더 가깝게 눈으로 추정할 수 있습니다. 예를 들어 위의 경우 4.51cm에서 4.53cm 사이로 추정될 수 있습니다.^[15]

눈금자의 전체 길이가 가장 작은 표시의 정도로 정확하지 않을 수 있으며 표시가 각 단위 내에서 불완전하게 간격을 가질 수도 있습니다.그러나 보통의 좋은 품질의 눈금자를 가정할 때 소수점 이상의 정확도를 얻기 위해 가장 가까운 두 표시 사이의 10분의 1을 추정할 수 있어야 합니다.^[16]이렇게 하지 않으면 눈금자 판독 오류가 눈금자 보정 오류에 추가됩니다.

통계량으로 추정

모집단의 임의 표본에서 모집단에서 특정 특성을 운반하는 개체의 비율을 추정할 때 유의한 수치의 수는 해당 표본 크기가 허용하는 최대 정밀도를 초과해서는 안 됩니다.

측정 정확도 및 정밀도와의 관계

전통적으로, 다양한 기술 분야에서 "정확도"는 주어진 측정값이 실제 값에 근접한 것을 의미하고, "정확도"는 여러 번 반복할 때 해당 측정값의 안정성을 의미합니다.따라서 "정확히 틀릴 가능성"이 있습니다."정확성"이라는 용어가 실제로 과학계에서 사용되는 방식을 반영하기를 희망하면서, 최근 표준인 ISO 5725가 있는데, 이 표준은 정밀도에 대한 동일한 정의를 유지하지만 "진실성"이라는 용어를 주어진 측정치의 참값에 대한 근접성으로 정의하고 "정확성"이라는 용어를 진실과 정밀도의 조합으로 사용합니다.(전체적인 논의는 정확도 및 정밀도 기사 참조)어느 경우든, 유의한 수치의 수는 정확도나 새로운 개념의 참값이 아니라 정확도에 대략 해당합니다.

컴퓨팅에서

부동 소수점 숫자의 컴퓨터 표현은 일반적으로 이진수를 사용하여 유효 숫자로 반올림하는 형태를 사용합니다.정확한 유의한 수치의 수는 상대 오차의 개념과 밀접한 관련이 있습니다(이는 정밀도를 더 정확하게 측정할 수 있다는 장점이 있고, 사용된 수 체계의 기수와도 무관합니다).

전용 유효숫자 표시 모드를 지원하는 전자 계산기는 상대적으로 드물습니다.관련 기능을 지원하는 계산기 중에는 두 가지 디스플레이 모드를 지원하는 코모도어 ^[17]M55 수학자(1976)와 S61 통계학자(1976)가 있습니다.^[18]DISP+DISP는n 총 유효숫자를 의미하며 ++.n는 소수점 자리를 의미합니다.

유사하게 HP 20b/30b 기반 커뮤니티 개발 WP 34S(2011) 및 WP 31S(2014) 계산기의 경우 상당한 수치 표시 모드 n+ 및 +(n패딩이 제로인)를 컴파일 시간 옵션으로 사용할 수 있습니다.^[19][20]스위스 마이크로 DM42 기반 커뮤니티 개발 계산기 WP 43C (2019)^[21] / C43 (2022) / C47 (2023)은 또한 중요한 수치 표시 모드를 지원합니다.

또는 Texas Instruments TI-83 Plus(1999) 및 TI-84 Plus(2004) 그래픽 계산기 제품군은 계산기가 입력된 숫자의 유효 자릿수 수를 평가하여 해당 숫자 뒤에 대괄호로 표시하는 Sig-Fig 계산기 모드를 지원합니다.계산 결과는 유효 숫자만 표시하도록 조정됩니다.^[22]

참고 항목

참고문헌

외부 링크

• Khan academy의 주요 인물 비디오