부호 거리 함수

수학 및 그 응용에서, 미터법 공간에서의 집합 δ의 부호 거리 함수(또는 방향 거리 함수)는 x가 δ에 있는지 여부에 따라 부호가 결정되며, δ의 경계로부터 주어진 점 x의 거리를 결정한다.이 함수는 δ 내부의 점x에 양의 값을 가지며, 부호화된 거리 함수가 0인 δ의 경계에 x가 가까워짐에 따라 값이 감소하고 ^[1]δ 이외의 음의 값을 취합니다.그러나 대안적 규약도 대신 채택될 수 있다(즉, 내부 δ는 ^[2]음수, 외부는 양수).

정의.

δ가 메트릭d의 메트릭공간 X의 서브셋인 경우 부호 있는 거리함수 f는 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle f(x)=syslog{cases}d(x,\display \Omega}),x\in \Omega \d(x,\display \Omega \)&{\mbox{c}\end{cases}}}$

여기서${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{\omega }}${ $displaystyle$\ $partial$\ $Omega$}는$\omega {\displaystyle \mathrm{}}$ { $displaystyle$\ Omega $\}$의 경계를 나타냅니다.$x{\displaystyle x}$X \ $displaystyle$x \ $in$ X $,$$$, 、

$\displaystyle d(x,\display \Omega):=\inf_{y\in\display\Omega}d(x,y)}$

여기서 inf는 최소값을 나타냅니다.

유클리드 공간의 성질

만약 δ가 부분적인 매끄러운 경계를 가진 유클리드 공간ⁿ R의 부분집합이라면, 부호화된 거리 함수는 거의 모든 곳에서 미분 가능하며, 그것의 구배는 아이코날 방정식을 만족시킨다.

$\displaystyle \displayla f = 1 .$

δ의 경계가 k ≤ 2에 대해 C이면^k(미분성 등급 참조), ^[3]δ의 경계에 충분히 가까운 지점에서 d는 C가 된다^k.특히, 경계 f는 다음을 만족시킨다.

${\displaystyle\sla f(x)=N(x)}$

여기서 N은 내측 법선 벡터장입니다.따라서 부호화된 거리 함수는 정규 벡터 필드의 미분 가능한 확장입니다.특히 δ 경계에 있는 부호 거리 함수의 헤시안(Hessian)은 와인가텐 지도를 제공한다.

또한 δ가 δ의 경계에 충분히 가까운 영역이며 f가 2배 연속적으로 미분 가능한 영역이라면 부호 거리 함수 및 가장 가까운 경계점에 관해 변수를 변화시키는 야코비안용 와인가텐 맵 W를_x 포함하는 명시적인 공식도 있다.구체적으로 T(δ, μ)가 δ 경계(즉, 반지름 μ의 튜브 근방)의 거리 μ 내의 점 집합이고 g가 δ에서 절대 적분 가능한 함수일 경우,

${\displaystyle \int _{T(\partial \Omega ,\mu )}g(x), partial=\int _{\int \Omega }\int _{-\mu }^{\mu }g(u+\det(I-\lambda W_u)},\lambda {da},$

여기서 det는 결정식을 나타내고 dS는_u 표면 ^[4]적분을 취한다는 것을 나타냅니다.

알고리즘

부호화된 거리함수를 계산하기 위한 알고리즘은 효율적인 고속행진법, 고속스위핑법^[5] 및 보다 일반적인 레벨 설정법을 포함한다.

복셀 렌더링의 경우 택시 지오메트리에서 SDF를 계산하는 고속 알고리즘은 합계 영역 테이블을 ^[6]사용합니다.

적용들

부호화된 거리 함수는 예를 들어 SDF 레이 행진 방법이나 컴퓨터 비전 등의 실시간 ^[7]렌더링에 ^[8][9]적용된다.

SDF의 ^[10]수정 버전은 여러 개체를 렌더링하면서 픽셀의 상호 침투 오류를 최소화하기 위해 손실 함수로 도입되었습니다.특히 오브젝트에 속하지 않는 화소에 대해서, 연출중의 오브젝트 밖에 있으면 패널티가 부과되지 않고, 만약 존재했을 경우, 오브젝트내의 거리에 비례하는 양의 값이 부과된다.

$\displaystyle f(x)=cases0&{\text{if}},x\in \Omega ^{c}\d(x,\display\Omega)&{\text{if}},x\in \Omega \end{cases}}$

또한 GPU ^[11]가속을 사용하여 큰 크기(또는 높은 DPI)에서 부드러운 글꼴을 렌더링하는 방식(밸브에 의해 고급)에도 사용되고 있습니다.밸브의 방법은 (연속) 벡터 공간에서 문제를 해결하는 계산 복잡성을 피하기 위해 래스터 공간에서 부호 거리 필드를 계산했습니다.보다 최근에는 조각별 근사 솔루션(예를 들어 아크 스플라인을 가진 베지에 근사)이 제안되었지만, 이 방법조차도 실시간 렌더링에 너무 느릴 수 있으며, 그리드 기반 이산화 기법에 의해 다음과 같은 점까지의 거리를 근사(및 계산에서 제외)할 수 있어야 한다.o 멀리.^[12]

2020년에는 FOSS 게임 엔진 Godot 4.0이 SDF 기반의 실시간 글로벌 일루미네이션(SDFGI)을 도입하여 복셀 기반의 GI와 구운 GI를 절충하였다.무한 공간에 적용할 수 있어 개발자들이 오픈월드 ^{[citation needed]}게임에 활용할 수 있다는 게 핵심 장점이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 거리 함수
• 레벨 설정 방식
• 아이코날 방정식
• 평행(오프셋이라고도 함) 곡선

메모들

레퍼런스

• Stanley J. Osher and Ronald P. Fedkiw (2003). Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer. ISBN 9780387227467.
• Gilbarg, D.; Trudinger, N. S. (1983). Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 224 (2nd ed.). Springer-Verlag. (또는 1977년 제1판 부록)