로슈 한계치

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천체역학에서 로슈 반경이라고도 불리는 로슈 한계는 제1의 신체의 조력력이 제2의 신체의 중력 자기착용을 초과하기 때문에 자신의 중력에 의해서만 함께 붙어 있는 제2의 천체가 분해되는 천체와의 거리를 말한다.^[1]로슈 한계선 안에서는 궤도를 선회하는 물질들이 분산되어 고리를 형성하는 반면, 한계를 벗어나면 물질들이 합쳐지는 경향이 있다.로슈 반경은 첫 번째 신체의 반지름과 신체의 밀도 비율에 따라 달라진다.

이 용어는 1848년 이 이론적 한계를 처음 계산한 프랑스의 천문학자 에두아르 로슈(프랑스어: [ʁɔʃ], 영어: /rɒʃ/ ROSH)의 이름을 따서 명명되었다.^[2]

설명

Roche 제한은 일반적으로 위성이 궤도를 도는 몸체인 1차에서 유도한 조력력에 의해 위성이 분해되는 것에 적용된다.1차에 가까운 위성의 부품은 더 멀리 떨어져 있는 부품보다 1차에서 나오는 중력에 의해 더 강하게 끌린다; 이 격차는 효과적으로 위성의 가까운 부분과 먼 부분을 서로 떼어놓는다. 그리고 이 격차는 (물체의 회전으로 인한 원심효과와 결합) 를 위한 것보다 더 크다.위성을 고정시키는 중력 ce는 위성을 분리시킬 수 있다.천연 위성과 인공 위성이 모두 로슈 한계 내에서 공전할 수 있는 것은 중력 이외의 힘에 의해 함께 고정되기 때문이다.그러한 위성의 표면에 놓여 있는 물체들은 조수력에 의해 들어올려질 것이다.혜성과 같은 약한 위성은 로슈 한계치 내에서 통과할 때 분해될 수 있다.

로슈 한계 내에서, 조력력은 위성을 함께 지탱할 수 있는 중력을 압도하기 때문에, 어떤 위성도 그 한계 내에서 더 작은 입자들로 중력적으로 결합할 수 없다.사실, 거의 모든 알려진 행성 고리는 로슈 한계 내에 위치한다.(토성의 E-링과 피비 링은 예외로 한다.이 두 개의 고리는 아마도 이 행성의 원행성 축성 원반에서 나온 잔해일 가능성이 있으며, 달은 로슈 한계선을 지나 떨어져 나갈 때 반대로 형성되었을 것이다.)

로슈 한계만이 혜성을 분열시키는 유일한 요인이 아니다.열응력에 의한 분열, 내부 기체 압력, 회전 분열은 혜성이 스트레스 속에서 분열하는 또 다른 방법이다.

선택한 예제

아래 표는 태양계에서 선택된 물체의 평균 밀도와 적도 반경을 보여준다.^{[citation needed]}

1차	밀도(kg/m3)	반지름(km)
태양	1,408	696,000
지구	5,513	6,378
달	3,346	1,737
목성	1,326	71,493
토성	687	60,267
천왕성	1,318	25,557
해왕성	1,638	24,766

Roche 한계에 대한 방정식은 두 물체의 밀도와 원체의 반지름의 비율에 대한 최소 지속 가능한 궤도 반경과 관련이 있다.따라서 위의 데이터를 사용하여 이러한 개체에 대한 Roche 한계를 계산할 수 있다.이것은 경직되고 유동적인 신체 케이스의 극단을 가정하여 각각 두 번 실시되었다.혜성의 평균 밀도는 약 500 kg/m이다³.

아래 표에는 킬로미터 단위로 표현되고 주체의 반지름으로 나눈 킬로미터 단위의 거리 비율(예: 아래의 지구-달 결과에서 1.49 = 18,381/6,378, 로체 한계 18,381 km를 지구 반지름 6,378 km로 나눈 비율)으로 표현된다.^{[citation needed]}궤도의 평균 반지름은 로슈 한계치와 비교할 수 있다.편의상, 표에는 궤도가 극히 가변적이고 편심인 혜성을 제외한 각각의 궤도의 평균 반지름이 나열되어 있다.

몸	위성	로슈 한계치(강성)		로슈 한계치(유체)		평균 궤도 반지름(km)
		거리(km)	R	거리(km)	R
지구	달	9,492	1.49	18,381	2.88	384,399
지구	평균 혜성	17,887	2.80	34,638	5.43	해당 없음
태양	지구	556,397	0.80	1,077,467	1.55	149,597,890
태양	목성	894,677	1.29	1,732,549	2.49	778,412,010
태양	달	657,161	0.94	1,272,598	1.83	약 149,597,890
태양	평균 혜성	1,238,390	1.78	2,398,152	3.45	해당 없음

이 물체들은 지구-달 시스템의 일부로서 달은 21개에서 지구와 목성은 수백개까지 다양한 요인에 의해 로슈 한계를 훨씬 벗어나 있다.

아래 표는 각 위성의 궤도에서 가장 가까운 접근을 로슈 한계로 나눈 값이다.^{[citation needed]}다시, 강체 및 유동체 체내 계산이 제공된다.특히 팬, 코델리아, 나이아드는 실제 헤어짐 지점과 상당히 근접할 수 있다는 점에 유의하십시오.

실제로 거대 행성의 대부분의 내부 위성의 밀도는 알려져 있지 않다.이 경우 이탤릭체로 표시된 경우, 가능한 값이 가정되었지만, 실제 로슈 한계는 표시된 값과 다를 수 있다.

1차	위성	궤도 반지름 / 로슈 한계
		(iii)	(iii)
태양	수성.	104:1	54:1
지구	달	41:1	21:1
화성	포보스	172%	89%
	데이모스	451%	234%
목성	메티스	~186%	~94%
	아드라스테이아	~188%	~95%
	아말테아	175%	88%
	테베	254%	128%
토성	팬	142%	70%
	아틀라스	156%	78%
	프로메테우스	162%	80%
	판도라	167%	83%
	에피메테우스	200%	99%
	야누스	195%	97%
천왕성	코델리아	~154%	~79%
	오필리아	~166%	~86%
	비앙카	~183%	~94%
	크레시다	~191%	~98%
	데스데모나	~194%	~100%
	줄리엣	~199%	~102%
해왕성	나이아드	~139%	~72%
	탈라사	~145%	~75%
	데스피나	~152%	~78%
	갈라테아	153%	79%
	라리사	~218%	~113%
명왕성	카론	12.5:1	6.5:1

결단력

위성이 해체되지 않고 접근할 수 있는 제한거리는 위성의 경직성에 따라 달라진다.한 극단에서, 완전히 경직된 위성은 조력력이 그것을 분해할 때까지 그것의 형태를 유지할 것이다.다른 극한에서는 고유체 위성이 점차 변형되어 조력력이 증가하여 위성이 길어져 조력력이 더욱 악화되어 쉽게 부서진다.

대부분의 실제 위성은 이 두 극단의 어딘가에 놓여 있을 것이며, 인장 강도는 위성을 완벽하게 경직시키거나 완전히 유동적이지 않게 만든다.예를 들어, 돌무더기 소행성은 단단한 암석 소행성보다 액체처럼 행동할 것이다; 얼음으로 뒤덮인 몸은 처음에는 상당히 경직된 행동을 하지만 조력난방이 누적되고 그 얼음덩어리가 녹기 시작하면서 더 유동적이 될 것이다.

그러나 위에서 정의한 바와 같이, 로슈 한계는 중력만으로 결합되는 신체를 의미하며, 그렇지 않으면 연결되지 않은 입자들이 결합하게 되어, 따라서 문제의 신체를 형성하게 된다.로슈 한계는 포물선이나 쌍곡선 궤도로 1차선을 통과하는 신체의 경우(예를 들어)에 적용하도록 계산을 수정하는 것이 간단하지만, 보통 원형 궤도의 경우에도 계산된다.

강성 위성 계산

강체-신체 로슈 한계는 구형 위성을 단순화한 계산이다.신체의 조수 변형이나 1차 궤도와 같은 불규칙한 형태는 무시된다.그것은 정수 평형상태로 가정된다.이러한 가정은 비현실적이긴 하지만 계산을 크게 단순화한다.

강체 구형 위성에 대한 Roche 제한은 물체 표면에서 시험 질량에 대한 중력이 물체로부터 질량을 끌어내는 조력과 정확히 같은 1차적 $거리{\displaystyle }$ d$${\$displaystyle d}$이다$.$^[3][4]

${\displaystyle d=R_{M}\왼쪽(2{\frac {\rho _{{M}}{{m}}\오른쪽)^{\frac {1}{3}}}}$

여기서 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$은 1차 반경이고, ${\displaystyle {\rho }_{}}$ M ${\$은 1차 밀도, ${\displaystyle {\rho }_{}}$ m$${\$displaystyle \rho_{M}$은 위성의 밀도다.이것은 동등하게 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle d=R_{M}\좌측(2{\frac {M_{M}}}}{M}}\우측)^{\frac {1}{1}{3}}}}$

여기서 ${\displaystyle {Rm}_{}}$ ${\$은 2차 반지름이고, $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$은 1차 질량이며, ${\displaystyle {Mm}_{}}$ ${\$은 2차 질량이다.

이것은 물체의 크기가 아니라 밀도의 비율에 따라 달라진다.이것은 1차에서 가장 가까운 위성 표면의 느슨한 물질(예: 리골석)이 당겨지는 내부의 궤도 거리인데, 마찬가지로 1차 반대편에 있는 물질도 위성을 향해가 아니라 멀어질 것이다.

이는 관성력과 강성 구조가 파생에서 무시되기 때문에 대략적인 결과라는 점에 유의한다.

그러면 궤도 주기는 2차 밀도에만 의존한다.

${\displaystyle P=2\pi \left({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi \left({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho _{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\rho _{m}}}}}$

여기서 G는 중력 상수다.예를 들어, 3.346 g/cc의 밀도(우리 달의 밀도)는 2.552시간의 궤도 주기에 해당한다.

공식의 파생

Roche 한계를 결정하려면 1차에서 가장 가까운 위성 표면에 있는$$ 작은 질량 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$을(를) 고려하십시오.이 질량 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에는 두 가지 힘이 있는데$,$ 바로 위성을 향한 중력과 1차원을 향한 중력이다.위성이 1차 주변에 자유 낙하하고 있으며, 1차 중력 끌어당김의 유일한 관련 용어라고 가정해 보자.자유낙하는 행성 중심에만 실제로 적용되지만, 이 파생에는 충분할 것이기 때문에 이러한 가정은 단순화된다.^[5]

중력 당김 ${\displaystyle F_{}}$ $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\$뉴턴의 중력 법칙에 따라 $질량$ m {\displaystyle$$ $m}$ 및 $반지름$ r {\$displaystyle$ r$}$을(를$)$ 사용하여 위성을 향한$$ 질량 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 G$}}}}$을(를) 표현할 수 있다$$.^{[citation needed]}

${\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}$

조력 ${\displaystyle F_{}}$ $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\$두 신체 중심 사이의 $거리$ d ${\displaystyle d}$에서$$$반경{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$과(와) $질량{\displaystyle }$ M {\$displaystyle M}$을(를$)$ 갖는 1차 방향으로$$ 질량 $u{\displaystyle }$ ${\displaystystyle u}$에 있는$$ $T}}}}}$은(는)로 대략 표현할 수 있다.

${\$$text$$T}}={\frac{2$$}$$GMur}{d^{3$ .

이 근사치를 얻으려면 1차 중력 당김의 차이를 1차 중력과 1차 중력에 가장 가까운 위성 가장자리에서 찾으십시오.^{[citation needed]}

${\displaystyle F_{\text{T}}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}-{\frac {GMu}{d^{2}}:}$

${\displaystyle F_{\text{T}}}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}:{d^{2}(d-r)^{2}}:$

${\displaystyle F_{\text{T}}}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}:}$

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r\ll R}$ 및 < ${\$분자와$$ 분모에 $r$ ${\displaystyle r}$이(가) 있는 모든 ${\displaystyle {항이\mathrm{}}^{}}$ 0으로 간다고 말할 수 있는데^{[citation needed]} 이는 다음과 같다.

${\displaystyle F_{\text{T}}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}}}$

${\displaystyle F_{\text{T}}={\frac{2}GMur}{d^{3}}}}}$

로슈 한계는 중력과 조력이 균형을 이룰 때 도달한다.^{[citation needed]}

${\displaystyle F_{\text{G}=F_{\text{T}\;}$

또는

${\$$$$GMur}{d^{3$

$로슈{\displaystyle }$ 제한 d {\$displaystyle d}$을$($를$)$ 다음과 같이 지정한다.

${\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {M}{m}\right)^{\frac {1}{3}$

위성의 반지름은 한계에 대한 표현에 나타나서는 안 되므로 밀도 면에서 다시 쓰여진다.

구체의 경우 질량 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 다음과^{[citation needed]} 같이 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle M}$= ${\displaystyle 4\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{M_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{R\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\$ M$={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}}{3}}}}$ 여기서$$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) 1차 반경이다.

그리고 마찬가지로

${\displaystyle m}$= ${\displaystyle 4\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ m r ${\displaystyle \frac{{3\mathrm{}}^{}}{}}$ {\$displaystyle$ $={\frac {4\pi \rho _{m}r$^{$3}}}}{3}}}}}$ $여기$서 r$${\$displaystyle r}$은 위성의 반지름이다.

Roche 한계에 대한 방정식의 질량을 $대체$하고, 4$<\$ $스타일$4\$pi /3}$을(를) 취소하면 다음과$$ 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle d}$= ${\displaystyle r{}^{}}$( ${\displaystyle {2\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{}_{}}{}}^{}}$ M ${\displaystyle {\frac{{}_{}{}^{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{3\mathrm{}}^{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{}^{}}{{}_{}}}^{}}$ m ${\displaystyle {\frac{{r\mathrm{}}^{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{}_{}{}^{}}{}}^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$

다음과 같은 Roche 한계로 단순화할 수 있다.

${\displaystyle d=R\left(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.26R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$.

로슈 한계, 힐 구 및 행성의 반지름

$\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$의 밀도와 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$의 반지름을 가진 행성을 생각해 보십시오$.$ 이 행성과 함께 항성을 공전하는 것은 Roche limit, Roche rob, Hill 구체의 물리적 의미 입니다.

공식(2) (링크?)은 다음과 같이 설명할 수 있다: $R{\displaystyle {}_{}}$ R ${\displaystyle {\text{Roche}}_{}}$= R ${\displaystyle {}_{}\text{exception 25:}}$ 3 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ m${\displaystyle \text{exception 25:}\text{exception 25:}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ M ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\${\text}={\text}=R_${\text$}{\text}{\text${\$text}}$힐}}{\sqrt[{3}]{\frac {3M}{m}}}}=R_{\text{secondary}{\sqrt[{3}]{\frac$ {$3M}{m}}}}}}}}}}}}}}}$ 완벽한 수학 대칭이다$.$
이것이 로슈 한계와 힐 구체의 천문학적 의의다.^{[citation needed]}

주 : 로슈 리미트와 힐 구는 서로 완전히 다르지만 둘 다 에두아르 로슈의 작품이다.^{[필요하다]}

천문체의 언덕구는 인공위성의 매력을 지배하는 지역인 반면 로슈 한계는 인공위성을 지탱하는 내력을 극복하지 않고 인공위성이 원체에 접근할 수 있는 최소 거리다.^{[citation needed]}

유체 위성

로슈 한계를 계산하기 위한 보다 정확한 접근법은 위성의 변형을 고려한다.극단적인 예로 행성을 공전하는 액체위성을 들 수 있는데, 그 위성에 작용하는 어떤 힘도 그것을 프로이트 스피드로 변형시킬 수 있다.

계산은 복잡하고 그 결과는 정확한 대수 공식으로 나타낼 수 없다.Roche 자신은 Roche 한계에 대한 다음과 같은 대략적인 해결책을 도출했다.

${\displaystyle d\약 2.44R\왼쪽({\frac {\rho _{M}{{m}}\오른쪽)^{1/3}$

그러나, 1차원의 완전성과 위성의 질량을 고려한 더 나은 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{1/3}}$

여기서 $c{\displaystyle }$/ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle c/R}$은(는) 1차적 소실이다.숫자 인자는 컴퓨터의 도움으로 계산된다.

유체 용액은 혜성처럼 느슨하게 붙어 있을 뿐인 몸에 적합하다.예를 들어, 슈메이커 혜성-1992년 7월 목성 주위의 레비 9의 붕괴 궤도는 로슈 한계치 이내로 통과하여, 목성은 수많은 작은 조각들로 분열되었다.1994년의 다음 접근에서 그 파편들은 행성에 충돌했다.슈메이커-레비 9호는 1993년에 처음 관측되었지만, 그것의 궤도는 몇 십 년 전에 목성에 의해 포획된 것으로 나타났다.^[6]

공식의 파생

유체 위성 케이스가 단단한 케이스보다 더 섬세하기 때문에, 위성은 몇 가지 간단한 가정으로 설명된다.첫째, 물체가 일정한 밀도 ${\displaystyle {\rho }_{}}$ m ${\$를 갖는 압축 불가능한 액체와 $외부{\displaystyle }$ 또는 내부 힘에 의존하지 않는$$ V$${\$displaystyle V}$로 구성되어 있다고 가정한다.

둘째, 위성이 원형 궤도로 이동하고 동기식 회전을 유지한다고 가정한다.즉, 질량 중심 주위를 회전하는 각도$$ 속도 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$}이(가) 전체 시스템 바이센터 주위로 이동하는 각도 속도와 동일하다는 뜻이다.

각도 속도 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$은(는) 케플러의 세 번째 법칙에 의해 주어진다$$.

${\dplaystyle \omega^{2}=G\,{\frac {M+m}{d^{3}}.}$

M이 m보다 훨씬 더 클 때, 이것은 가까이에 있을 것이다.

${\dplaystyle \omega^{2}=G\,{\frac {M}{d^{3}}}.}$

동기 회전은 액체가 움직이지 않고 문제를 정적인 것으로 간주할 수 있음을 의미한다.따라서 이 모델에서 액체의 점도와 마찰은 이 양이 움직이는 액체에 대해서만 역할을 할 것이기 때문에 역할을 하지 않는다.

이러한 가정을 감안하여 다음과 같은 힘을 고려해야 한다.

• 본체에 의한 중력의 힘
• 회전 기준 시스템의 원심력
• 인공위성의 자기중력장

이들 세력은 모두 보수적이기 때문에 잠재력을 이용해 표현할 수 있다.게다가 위성의 표면은 등전위적이다.그렇지 않으면, 잠재력의 차이는 표면에서 액체의 일부 부분의 힘과 움직임을 발생시킬 것이며, 이는 정적 모델 가정과 모순된다.본체와의 거리를 고려하여 등전위 조건을 만족하는 표면의 형태를 결정해야 한다.

궤도가 원형 궤도로 추정됨에 따라 본체에 작용하는 총 중력과 궤도 원심력이 취소된다.그것은 두 가지 힘을 남긴다: 조력과 회전 원심력.조력은 강체 모델에서 이미 고려된 질량의 중심에 대한 위치에 따라 달라진다.작은 몸체의 경우 몸 중심에서 액체 입자의 거리가 몸 중심에서 본체까지의 거리에 비해 작다.따라서 조력은 선형화될 수 있으며, 그 결과 위에서 설명한 것과_T 동일한 F 공식으로 된다.

강성 모델에서 이 힘은 위성의 반지름 r에만 의존하지만, 유체의 경우 표면의 모든 지점을 고려해야 하며, 조력력은 질량의 중심에서 위성과 본체를 연결하는 선에 투영된 특정 입자까지의 거리 Δd에 따라 달라진다.우리는 Δd를 방사상 거리라고 부른다.조력은 Δd에서 선형이기 때문에, 관련 전위는 변수의 제곱에 비례하며, $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle M}${\$displaystyle m\ll$ M$}$에 대해서는 우리가 가지고 있다.

${\displaystyle V_{T}=-{\frac {3}GM}{2d^{3}}\Delta d^{2}\,}$

마찬가지로 원심력은 잠재력을 가지고 있다.

${\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\오메가^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM}{2d^{3}}\Delta d^{2}\,},}$

회전 각도 속도 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$ $\}.$

우리는 자기중력 전위와 V_T+V의_C 합이 신체 표면에서 일정하게 나타나는 위성의 형태를 결정하고자 한다.일반적으로 그러한 문제는 매우 해결하기 어렵지만, 이 경우에는 방사상 거리 Δd에 대한 조력 전위의 사각 의존 때문에 능숙한 추측으로 해결할 수 있다 첫 번째 근사치로는 원심전위 V를_C 무시하고 조력전위 V만을_T 고려할 수 있다.

잠재적 V는_T 한 방향, 즉 본체를 향한 방향만 바뀌기 때문에 위성은 축 대칭 형태를 취할 것으로 예상할 수 있다.더 정확히 말하면, 우리는 그것이 혁명의 고체의 형태를 취한다고 추측할 수 있다.그러한 회전 고체의 표면의 자기 전위는 질량 중심까지의 방사상 거리에 의존할 수 있을 뿐이다.실제로, 위성과 신체를 연결하는 선에 수직인 평면의 교차점은 우리의 가정에 의한 경계가 일정한 전위의 원인 디스크다.자기중력 전위와 V의_T 차이가 일정하다면 두 전위는 모두 Δd에 동일한 방식으로 의존해야 한다.즉 자기 잠재력은 Δd의 제곱에 비례해야 한다.그렇다면 등전위 용액은 혁명의 타원체임을 알 수 있다.일정한 밀도와 부피에 따라 그러한 신체의 자기 잠재력은 타원체의 편심 ity에만 의존한다.

${\displaystyle V_{s}=V_{s_{0}+G\pi \rho_{m}\cdot f(\varepsilon )\cdot \Delta d^{2},}$

여기서 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {s{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$는 Δd=0 등식으로 주어진 몸의 원형 가장자리와 중심 대칭면의 교차점에 있는 일정한 자기 잠재력이다$$.

치수 없는 함수 f는 타원체의 전위에 대한 정확한 솔루션으로부터 결정되어야 한다.

${\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{3}\cdot \왼쪽[3-\varepsilon ^{2}\오른쪽]\cdot \cdotname {artanh} \varepsilon -3\varepsilon \오른쪽]}$

그리고 놀랍게도, 위성의 부피에 의존하지 않는다.

함수 f의 명시적 형식이 복잡해 보이지만, 잠재적 V가_T 변수 Δd와 독립적으로_S V + 상수와 같도록 ε의 값을 선택할 수도 있고 선택할 수도 있다는 것은 분명하다.검사에 의해, 이것은 다음과 같은 경우에 발생한다.

${\displaystyle {\frac {2G\pi \rho_{{M}R^{3}}=G\pi \rho_{m}f(\varepsilon )}$

이 방정식은 숫자로 풀 수 있다.그래프는 두 가지 해법이 있음을 나타내며, 따라서 작은 해법은 안정적인 평형 형태(편심도가 작은 타원체)를 나타낸다.이 용액은 본체까지의 거리의 함수로서 조수 타원체의 편심도를 결정한다.f함수의 파생상품은 최대 편심률에 도달하는 0을 가진다.이것은 로슈 한계에 해당한다.

보다 정확히 말하면, 로슈 한계는 타원체를 구면 형상을 향해 쥐어짜는 힘의 비선형 측정으로 볼 수 있는 함수 f가 경계되어 이 수축력이 최대가 되는 편심성이 있다는 사실에 의해 결정된다.위성이 본체에 접근하면 조력이 증가하기 때문에 타원체가 찢어지는 임계 거리가 있는 것은 분명하다.

최대 편심률은 f' 파생상품의 0으로 수치적으로 계산할 수 있다.얻는다

${\displaystyle \varepsilon _{\text{max}\약 0{.}86}$

타원형 축의 비율 1:1.95에 해당한다.함수 f의 공식에 이것을 삽입하면 타원체가 존재하는 최소 거리를 결정할 수 있다.이게 로슈 한계치야

$약 2{{{{}}}}}423\cdot R\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{M}}}}},}$

놀랍게도 원심 전위를 포함하면 물체가 로체 타원체(Roche allipsoid)가 되지만 모든 축의 길이가 다른 일반적인 삼축 타원체(Triaxial allipsoid)가 된다.전위는 축 길이의 훨씬 복잡한 기능이 되어 타원 함수를 필요로 한다.그러나 해법은 조수 전용 사례와 마찬가지로 많이 진행되며, 우리는 이를 발견하게 된다.

$약 2{{{{}}}}455\cdot R\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {\rho_{M}}}}}},}$

1차 방향 축에 대한 극과 궤도 방향의 비율은 1:1.06:2.07이다.

참고 항목

• 로체엽
• 찬드라세카르 한계
• 힐 구
• 스파게티화(조류 왜곡 극한 사례)
• 블랙홀
• 트리톤 (달) (Neptune의 위성)
• 슈메이커 혜성-레비 9

참조

원천

• Edouard Roche: "La figure dune massades soumise á l'attraction d'un point eloigné"(먼 지점의 매력에 따른 유동 질량의 형상), 제1부, 아카데미에 데스 과학 드 몽펠리에: Mémoires de la section des science, 제1권(1849) 243–262. 2.44는 258페이지에 언급되어 있다. (프랑스어)
• Edouard Roche: "La figure dune massades soumise a l'attraction dun point eloigné" 제2부, Académie des science de Montpeellier: 제1권(1850) 333–348(프랑스어)
• Edouard Roche: "La figure dune massades soumise a l'attraction dun point eloigné" 제3부, Académie des science de Montpeellier: Mémoires de la section des science, 제2권(18511) 21–32(프랑스어)
• 조지 하워드 다윈 "액체 위성의 형상과 안정성에 대하여" 과학 논문 제3권 (1910) 436–524.
• 제임스 홉우드 청바지, 우주론과 별의 역학의 문제, 제3장: 평형의 타원적 구성, 1919년.
• S. Chandrasekhar, Ellipsoid의 평형 수치 (New Haven: Yale University Press, 1969), 8장: The Roche 타원체 (189–240)
• Chandrasekhar, S. (1963). "The equilibrium and the stability of the Roche ellipsoids". Astrophysical Journal. 138: 1182–1213. Bibcode:1963ApJ...138.1182C. doi:10.1086/147716.

외부 링크

• 로슈 한계 논의
• 오디오: 카인/게이 – 천문학 캐스트 조석력 2007년 8월.
• NASA의 Roche Limit Description