정상가족

수학에서, 복잡한 분석에 특별한 응용이 있는, 정상가족은 연속함수의 공간의 사전 컴팩트한 부분집합이다.비공식적으로, 이것은 가족의 기능이 널리 퍼지지 않고, 오히려 어느 정도 "클러스터된" 방식으로 뭉친다는 것을 의미한다.때때로, 정상가족 F의 각 기능이 특정 속성(예: 홀로모르픽)을 만족한다면, 그 속성은 또한 설정된 F의 각 한계점에 대해 보유한다.

좀 더 형식적으로 X와 Y를 위상학적 공간이 되게 하라.연속함수 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y}$의 집합에는 콤팩트 오픈 위상이라는 자연 위상이 있다$$.일반 패밀리는 이 위상에 관한 사전 컴팩트 서브셋이다.

만약 F기능의 모든 순서는 한결같이 완전 하위 집합에 한 점인 이어서 일어나는 것이 포함된 지속적인 기능 그 다음에compact-open 토폴로지 소형 convergence,[1]의 토폴로지에 해당합니다 만약 Y은 계량 공간, 그리고 우리는 고전적인 사람에게 더 가까운 정의를 얻:컬렉션 F이 보통의 가족이라고 불린다. Xto X에서 Y까지의 연속 함수즉, F의 모든 함수 시퀀스에 대해 X에서 Y까지의 모든 콤팩트 서브셋 K에 대해 다음이 유지되도록, ${\displaystyle X}$에서 Y까지의 연속$$ 함수 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$가 있다.

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infit }\sup _{x\in K}D_{Y}(f_{n})(x),f(x)=0}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 d Y ${\$$Y}$는 Y의 미터법이다.

홀로모르프 함수의 정상 패밀리

그 개념은 복잡한 분석, 즉 연구 홀로모르픽 함수에서 생겨났다.In this case, X is an open subset of the complex plane, Y is the complex plane, and the metric on Y is given by ${\displaystyle d_{Y}(y_{1},y_{2})= y_{1}-y_{2} }$. As a consequence of Cauchy's integral theorem, a sequence of holomorphic functions that converges uniformly on compact sets는 반드시 홀로모르프 함수로 수렴해야 한다.즉, 정상가족의 각 한계점은 홀로모르픽이다.

정상가족의 홀로모르프 함수는 리만 매핑 정리를 증명하는 가장 빠른 방법을 제공한다.^[2]

보다 일반적으로 공간 X와 Y가 리만 표면이고, Y가 균일화 정리로부터 오는 지표를 갖추고 있다면, 정상 계열의 홀모픽 함수 $f{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$의 각 한계점도 홀모픽이다$$.

예를 들어 Y가 리만 구체라면 획일화의 지표가 구면 거리인 것이다.이 경우 X에서 Y까지의 홀로모르픽 함수를 메로모르픽함수라고 하며, 따라서 메로모르픽함수의 정상 계열의 한계점은 각각 메로모르픽함수라고 한다.

기준

홀로모르픽 함수의 고전적 맥락에서 집합이 정상가족임을 규명하는데 사용할 수 있는 몇 가지 기준이 있는데, 몬텔의 정리에서는 국소적으로 경계된 홀로모르픽 함수의 집합이 정상이라고 기술하고 있다.몬텔-카라테오도리 정리에서는 0과 1을 생략하는 메로모르프 함수의 집합이 정상이라고 기술하고 있다.

마티의 정리는^[3] 용적함수의 맥락에서 정의와 동등한 기준을 제공한다.U의 각 콤팩트 서브셋 K에 상수 ${\displaystyle C}$가 존재하여 각 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$ ${\$$displaystyle$ U$\subset {C}$ $도메인$에서 복합 평면으로 가는$$ 영오모르픽 함수의 집합 F는 일반 패밀리인 경우, 그리고 단지 U의 각 콤팩트 서브셋 K에 대해 상수 C가 존재하여 각 f ∈ F {\$displaysty f\in F\$in F}과$$ 각 z를 각각에 대해 우리가 가지고 있다.

${\displaystyle {\frac {2f'(z) }{1+f(z) ^{2}}}\leq C.}$

실제로 왼쪽의 표현은 리만 구에 있는 아르클릴레오 원소를 입체 투영 역전을 통해 복잡한 평면으로 풀백하는 공식이다.

역사

폴 몬텔은 1911년에 "정상적인 가족"이라는 용어를 처음 만들었다.^[4][5]일반적인 가족의 개념은 복잡한 분석에 지속적으로 매우 중요했기 때문에, 비록 현대적인 관점에서 볼 때, 일부 수학자들이 계산 전 부분집합이라는 표현을 선호할 수도 있지만, 몬텔의 용어는 오늘날까지도 여전히 사용되고 있다.콤팩트 오픈 토폴로지의 개념은 개념을 일반화하고 명확히 하지만, 많은 응용 분야에서는 원래의 정의가 더 실용적이라는 점에 유의한다.

참고 항목

• 기본 정규성 검정

메모들

참조

• Ahlfors, Lars V. (1953), Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, McGraw-Hill
• Ahlfors, Lars V. (1966), Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, International Series in Pure and Applied Mathematics (2nd ed.), McGraw-Hill
• Ahlfors, Lars V. (1978), Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0070006571
• Beardon, Alan F. (1979), Complex analysis.The argument principle in analysis and topology, John Wiley & Sons, ISBN 0471996718
• Chuang, Chi Tai (1993), Normal families of meromorphic functions, World Scientific, ISBN 9810212577
• Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• Gamelin, Theodore W. (2001). Complex analysis. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95093-1.
• 마티, 프레데릭 : 발레파티션 데스 발레우르스 다네 함수 메로모르페를 재허구한다.앤 팩스 사이언스유니브 툴루즈, 1931, 28, N3, 페이지 183–261.
• Montel, Paul (1927), Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leur applications (in French), Gauthier-Villars
• Munkres, James R. (2000). Topology. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Schiff, J. L. (1993). Normal Families. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 정상 제품군 자료가 통합되어 있다.