지수 붕괴

수량이 현재 값에 비례하는 속도로 감소하면 지수적 감쇠가 발생할 수량은 현재 값에 비례하는 속도로 감소합니다.상징적으로 이 과정은 다음과 같은 미분 방정식으로 나타낼 수 있습니다. 여기서 N은 양이고 γ(람브다)는 지수 붕괴 상수라고 불리는 양의 비율입니다.

$(\displaystyle\frac{dN}{dt}=-\lambda N).}$

이 방정식의 해법은 다음과 같습니다(아래의 도출 참조).

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}}$

여기서 N(t)은 시간 t의 양, N₀ = N(0)은 초기 양, 즉 시간 t = 0의 양이며, 상수 θ는 붕괴 상수, 붕괴 ^[1]상수, 속도 ^[2]상수 또는 변환 ^[3]상수라고 한다.

붕괴율 측정

평균 수명

붕괴량 N(t)이 특정 집합 내의 이산 요소 수일 경우, 한 요소가 집합 내에 남아 있는 평균 시간을 계산할 수 있다.이를 평균 수명(또는 단순히 수명)이라고 합니다$.$여기서 지수 시간 상수 "\$displaystyle\tau$는 다음과 같이 붕괴율 ""와 관련지어집니다.

$(\displaystyle \displaystyle = displayfrac {1}{\displayda }).}$

지수붕괴방정식은 붕괴상수 θ 대신 평균수명$\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle \tau$로 쓸 수 있기 때문에 평균수명은 "스케일링 시간"으로 볼 수 있습니다.

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau}}$

${\$ \ $displaystyle$\ $display }$ }} 0 0 01 / e 36 0.36787941로 감소하는 시간입니다.

예를 들어 어셈블리의 초기 모집단 N(0)이 1000일 경우 현재 $모집단{\displaystyle }$ N(\displaystyle$\backslash$$tau$), $(\displaystyle$$$N$(\tau$은 368입니다$.$

지수 기저값을 e가 아닌 2로 선택할 때 나타나는 매우 유사한 방정식이 아래에 제시될 것입니다.이 경우 스케일링 시간은 "반감기"입니다.

반감기

많은 사람들에게 지수붕괴의 보다 직관적인 특징은 붕괴량이 초기값의 절반으로 떨어지는 데 필요한 시간이다.(N(t)이 이산형이면 평균 수명이 아니라 중위수 수명입니다.)이 시간은 반감기라고 불리며 종종 기호_1/2 t로 나타납니다.반감기는 붕괴 상수 또는 평균 수명을 기준으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle t_{1/2}=syslogfrac {ln(2)}=\syslog \ln(2)입니다.}$

위의 지수방정식에서 ${\(\displaystyle\tau)$에 대해 이 식을 삽입하고 ln 2를 베이스로 흡수하면 이 식은 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.}$

따라서, 남은 재료의 양은⁻¹ 2 = 1/2로, 통과한 (소수 또는 소수) 반값의 수만큼 증가합니다.따라서 3번의 반감기가 끝나면 원본 재료의³ 1/2 = 1/8이 남습니다.

따라서 평균 수명$${\(\$displaystyle \tau)$은 반감기를 자연 로그 2로 나눈 것과 같습니다.또는 다음과 같습니다.

${\displaystyle\cdot t_{1/2}}{\ln(2)}}: 약 1.44\cdot t_{1/2}.}$

예를 들어 폴로늄-210의 반감기는 138일이고 평균 수명은 200일이다.

미분 방정식의 해

지수 붕괴를 설명하는 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {dN}{dt}}=-\lambda N}$

또는 재배치(변수 분리라고 하는 기술을 적용)함으로써

$({displaystyle {frac {dN}}=-\lambda dt})$

통합에는

${\displaystyle\ln N=-\lambda t+C,}$

여기서 C는 적분 상수이므로

${\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t},}$

여기서 최종 치환 N₀ = e는^C t = 0에서 방정식을 평가하여 구한다. N은₀ t = 0에서 양으로 정의된다.

이것은 지수 붕괴를 설명하기 위해 가장 일반적으로 사용되는 방정식의 형태입니다.붕괴 상수, 평균 수명 또는 반감기는 붕괴 특성을 나타내기에 충분합니다.붕괴 상수에 대한 표기법 for은 고유값에 대한 일반적인 표기법의 나머지입니다.이 경우, θ는 N(t)을 대응하는 고유함수로 하는 미분 연산자의 음의 고유값이다.붕괴 상수의 단위는 s입니다^{−1[citation needed]}.

평균 수명의 도출

요소의 어셈블리가 있는 경우$,$ 그 수는 최종적으로 0으로 감소합니다.$평균 라이프$타임은 오브젝트가 어셈블리에서 분리될 때까지의 예상 시간 값입니다$.$구체적으로는 어셈블리 요소의 개별 수명이 어떤 기준 시간에서 어셈블리로부터의 해당 요소 제거 사이에 경과한 시간일 경우 평균 수명은 개별 수명의 산술 평균이다.

모집단 공식에서 시작

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},}$

먼저 c를 확률 밀도 함수로 변환하는 정규화 인자로 합니다.

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty}c\cdot N_{0}e^{-\lambda t},dt=c\cdot {N_{0}{\lambda }}$

또는 재배치할 때

${\displaystyle c=black {n_{0}}}.}$

지수 붕괴는 지수 분포(즉, 각 개체의 개별 수명이 지수 분포)의 스칼라 배수이며, 이는 잘 알려진 기대값을 가집니다.여기서는 부품별 통합을 사용하여 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle \displaystyle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t},d=int _{0}^{\infty}\displayda te^{-\da t}\da te^{-da t}.}$

두 개 이상의 프로세스에 의한 붕괴

수량은 2개 이상의 다른 프로세스를 통해 동시에 감쇠할 수 있습니다.일반적으로 이러한 프로세스(종종 "감쇠 모드", "감쇠 채널", "감쇠 경로" 등으로 불린다)는 발생할 확률이 다르므로 서로 다른 반감기로 병렬로 발생합니다.양 N의 총 붕괴율은 붕괴 경로의 합계에 의해 산출됩니다.따라서 두 가지 프로세스의 경우:

${\displaystyle - {\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\displayda _{1}+\lambda _{2})N.}$

이 방정식의 해법은 앞의 항에서 제시되어 있습니다.여기서 ${\displaystyle {the\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$2 ( \ $displaystyle$ $\$$lambda$_ {1$}$ + \$lambda$_ {$2}$ )의$$ 합계는 새로운 토탈 붕괴 상수 ${\displaystyle c_{}}$c \ $displaystyle$ \$lambda _${c$\}$ 로 취급됩니다.

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2}t}=N_{0}e^{-(\lambda_{c})t}.}$

개별 프로세스와 관련된 부분 평균 수명은 정의상 대응하는 부분 붕괴 상수의 곱셈 역수이다: $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle =1}$ /$$ \ $displaystyle$\$displayda$=$1$/ \ $displaystyle$$$$\ displayda$$$$}$ a$c{\displaystyle }$ c ${\displaystyle c_{}}$ c$$$c$ \ $displaystyle _${ $c}$ $s$ :

${\displaystyle {1}{c}=\displayda _{c}=\displayda _{1}+\displayda _{c}=displayda _{2}=displayfrac {1}+{\frac {1}{\displayda _{c}}}}}}}}}.$

${\displaystyle_{c}=syslogfrac{\syslog_{1}\syslog_{2}}{\syslog_{1}+\syslog_{2}}.}$

반감기는 평균수명$δ(\$displaystyle\$tau$$)$와 상수계수로 다르므로 동일한 방정식이 대응하는 두 가지 반감기에 적용됩니다.

${\displaystyle T_{1/2}=black {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 T${\displaystyle {}_{}}$1/$({$는 $프로세스$의 합계 또는 합계 반감기, $({$ $및$ $({$는 대응하는 프로세스의 부분 반감기라고 불립니다."부분 반감기" 및 "부분 평균 수명"이라는 용어는 주어진 붕괴 모드가 양에 대한 유일한 붕괴 모드인 것처럼 붕괴 상수에서 파생된 양을 나타낸다."부분 반감기"라는 용어는 특정 양이 절반으로 줄어드는 시간 간격으로 측정할 수 없기 때문에 오해를 불러일으킨다.

개별 붕괴 상수의 관점에서 총 $반감기{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$1/$(\$는 다음과 같습니다.

${\displaystyle T_{1/2}=blac {\displayda _{c}}=blac {\displayda _{1}+\displayda _{2}}.}$

3개의 동시 지수 프로세스에 의한 붕괴의 경우 총 반감기는 위와 같이 계산할 수 있습니다.

$({displaystyle T_{1/2}=snfrac {\snda _{c}}=snfrac {\sn2} {\snda _{1} +\snfrac {2} t_{3}} =snfrac {{1} t_{1})}$

붕괴 계열/결합 붕괴

핵과학 및 약동학에서 관심 에이전트는 붕괴 사슬에 위치할 수 있다. 붕괴 사슬의 축적은 선원의 기하급수적인 붕괴에 의해 지배되는 반면 관심 에이전트 자체는 지수적인 프로세스에 의해 붕괴된다.

이러한 시스템은 베이트만 방정식을 사용하여 해결됩니다.

약리학적 환경에서 섭취된 일부 물질은 지수적 붕괴로 합리적으로 모델링된 프로세스에 의해 체내에 흡수되거나 그러한 방출 프로파일을 갖도록 의도적으로 제조될 수 있다.

응용 프로그램 및 예시

지수적 붕괴는 다양한 상황에서 발생합니다.이들 대부분은 자연과학 분야에 속한다.

흔히 지수화 과정으로 취급되는 많은 붕괴 과정은 표본이 크고 큰 수의 법칙이 유지되는 한 지수화 과정일 뿐입니다.작은 표본의 경우 포아송 공정을 설명하는 보다 일반적인 분석이 필요합니다.

자연과학

• 화학 반응:특정 유형의 화학 반응 속도는 하나 또는 다른 반응물의 농도에 따라 달라집니다.속도가 1차 반응이라고 알려진 반응물의 농도에만 의존하는 반응은 결과적으로 지수적 붕괴를 따릅니다.예를 들어, 많은 효소 촉매 반응들은 이렇게 작용한다.
• 정전:캐패시터(캐패시턴스 C)에 포함되는 전하(또는 동등한 전위)는 캐패시터에 일정한 외부 부하(저항 R)가 있는 경우 기하급수적으로 변화합니다.공정의 지수 시 정수 θ는 R C이며, 따라서 반감기는 R C ln2입니다.이는 충전 및 방전에 모두 적용됩니다. 즉, 콘덴서는 동일한 법칙에 따라 충전 또는 방전됩니다.인덕터의 전류에도 같은 방정식을 적용할 수 있습니다.(게다가 콘덴서 또는 인덕터가 여러 개의 병렬 저항기를 통해 변화하는 특수한 사례는 여러 개의 붕괴 과정의 흥미로운 예를 제시하며, 각 저항기는 별도의 프로세스를 나타냅니다.실제로 병렬로 두 개의 저항의 등가 저항 표현은 두 개의 붕괴 과정을 가진 반감기의 방정식을 반영합니다.)
• 지구물리학:기압은 해수면보다 높이가 높아짐에 따라 ^{[citation needed]}1000m당 약 12%의 비율로 대략적으로 기하급수적으로 감소한다.
• 열전달: 한 온도의 물체가 다른 온도의 매체에 노출되면, 물체와 매체의 온도 차이는 기하급수적으로 감소합니다(느린 과정의 한계에서는 물체 내부의 "좋은" 열전도와 동등하며, 부피를 통해 온도가 비교적 균일하게 유지됩니다).뉴턴의 냉각 법칙을 참조하십시오.
• 발광: 들뜬 후에 발광 물질의 방출 강도가 (여진 원자 또는 분자의 수에 비례하는) 기하급수적으로 감소합니다.관련된 메커니즘의 수에 따라 붕괴는 단일 지수 또는 다중 지수일 수 있습니다.
• 약리학 및 독성학:투여된 많은 물질들은 지수적인 붕괴 패턴에 따라 분포되고 대사되는 것으로 밝혀졌다(클리어런스 참조).물질의 생물학적 반감기 "알파 반감기"와 "베타 반감기"는 물질이 얼마나 빨리 분포되고 제거되는지를 측정합니다.
• 물리광학:흡수성 매체의 빛, X선 또는 감마선과 같은 전자파 방사선의 강도는 흡수 매체로 들어가는 거리에 따라 기하급수적으로 감소한다.이것은 '맥주-람버트 법칙'으로 알려져 있다.
• 방사능:다른 상태로 방사성 붕괴를 겪는 방사성핵종의 표본에서 원자의 수는 나머지 원자의 수가 큰 한 지수적 붕괴를 따른다.붕괴 생성물은 방사성 핵종이라고 불린다.
• 열전:온도가 상승함에 따라 부온도계수 서미스터의 저항이 감소합니다.
• 진동:일부 진동은 기하급수적으로 감소할 수 있습니다. 이 특성은 감쇠된 기계 발진기에서 종종 발견되며 신시사이저에서 ADSR 엔벨로프를 만드는 데 사용됩니다.과잉 감쇠된 시스템은 단순히 지수적 붕괴를 통해 평형으로 돌아간다.
• 맥주 거품: 뮌헨 루드비히 막시밀리안 대학의 Arnd Leike는 맥주 거품이 기하급수적인 ^[4]부패의 법칙을 따른다는 것을 증명하여 이그노벨상을 수상했습니다.

사회과학

• 금융: 퇴직금은 보통 매월 개별 지급액과 연속 이자율에 따라 기하급수적으로 감소한다.미분방정식 dA/dt = input – output – output을 작성하여 펀드에 남아 있는 임의의 금액 A에 도달하는 시간을 구할 수 있습니다.
• 간단한 글로또 연대표학에서는 언어의 일정한 쇠퇴율(논의 가능한) 가정을 통해 단일 언어의 나이를 추정할 수 있다.(두 언어 간의 분할 시간을 계산하려면 지수적 감소와 무관하게 추가적인 가정이 필요합니다.)

컴퓨터 공학

• 인터넷상의 코어 라우팅 프로토콜인 BGP는 패킷이 이동할 수 있는 경로를 기억하기 위해 라우팅 테이블을 유지해야 합니다.이러한 패스 중 하나가 사용 가능에서 사용 불가로(또는 그 반대) 상태를 반복하여 변경했을 경우, 그 패스를 제어하는 BGP 라우터는 라우팅 테이블에서 패스 레코드를 추가 및 삭제(패스를 플랩)해야 합니다.이로 인해 CPU나 RAM 등의 로컬리소스를 소비하고, 나아가 불필요한 정보를 피어 라우터에 브로드캐스트할 수도 있습니다.이 바람직하지 않은 동작을 방지하기 위해 루트플랩핑 댐핑이라고 하는 알고리즘에 의해 각 루트에 가중치가 할당됩니다.이 가중치는 루트의 상태가 변화하고 시간이 지남에 따라 기하급수적으로 저하될 때마다 커집니다.무게가 특정 제한에 도달하면 플래핑이 발생하지 않고 루트가 억제됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 지수 공식
• 기하급수적인 성장
• 상수가 다른 지수 과정 사슬의 수학에 대한 방사성 붕괴

메모들

레퍼런스

• McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th ed.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (1989), Modern Physics, Fort Worth: Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0-03-004844-3
• Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716

외부 링크

• 지수 붕괴 계산기
• 지수 붕괴의 확률적 시뮬레이션
• 시간 상수에 대한 튜토리얼