매직 하이퍼큐브

수학에서 마법의 하이퍼큐브는 마법의 사각형과 마법의 정사각형, 즉 n × n × × × ...의 k차원 일반화다.× n 주공간 대각선뿐만 아니라 각 기둥(모든 축을 따라)에 있는 숫자의 합이 모두 같도록 정수의 배열.공통의 합을 하이퍼큐브의 마법상수라고 하며, M_k(n)으로 표기하기도 한다.만약 매직 하이퍼큐브가 숫자 1, 2, ..., n으로^k 구성되어 있다면, 매직넘버가 있다.

M

M_{k}(n)={\frac {n(n^{k}+1)}{2}}

(

M_{k}(n)={\frac {n(n^{k}+1)}{2}}

)

M_{k}(n)={\frac {n(n^{k}+1)}{2}}

=

M_{k}(n)={\frac {n(n^{k}+1)}{2}}

(

M_{k}(n)={\frac {n(n^{k}+1)}{2}}

k

M_{k}(n)={\frac {n(n^{k}+1)}{2}}

+ 1

M_{k}(n)={\frac {n(n^{k}+1)}{2}}

)

M_{k}(n)={\frac {n(n^{k}+1)}{2}}

{\

2}}.

k = 4의 경우, 마법의 하이퍼큐브는 마법의 큐브라고 불릴 수 있으며, OEIS가 부여한 마법의 번호 순서는 A021003이다.

매직 하이퍼큐브의 측면 길이 n은 그 순서라고 불린다.오더3의 4차원, 5차원, 6차원, 7차원, 8차원 마법 하이퍼큐브는 J. R. 헨드릭스에 의해 만들어졌다.

마리안 트렌클러는 다음과 같은 정리를 증명했다:p > 1과 n이 2나 p = 1.와 다를 경우에만 p차원 magic hypercube of order n이 존재한다. 마술 hypercube의 구성은 그 증거로부터 따르게 된다.

R 프로그래밍 언어는 모듈 을 포함하며, 이 모듈들은 n 배수가 4인 어떤 차원에서도 매직 하이퍼큐브를 만들어 낸다.

완벽한 매직 하이퍼큐브

게다가, 대각선 상에 있는 모든 단면들의 숫자들이 하이퍼큐브의 마법 숫자에 합치한다면, 하이퍼큐브는 완벽한 마법의 하이퍼큐브라고 불리고, 그렇지 않으면 반완벽의 마법의 하이퍼큐브라고 불린다.n이라는 숫자는 마법의 하이퍼큐브의 순서라고 불린다.

이 "완벽한"의 정의는 완벽한 매직 큐브를 위한 오래된 정의 중 하나가 사용된다고 가정한다.하이퍼큐브 범용 분류 시스템(John R.헨드릭스)는 어떤 차원 하이퍼큐브의 경우, 하이퍼큐브가 완벽한 마법으로 간주될 수 있도록 가능한 모든 라인이 정확하게 합치될 것을 요구한다.완벽이라는 용어와의 혼동 때문에 nasik은 현재 모든 가능한 선이 S에 합치되는 모든 마법의 하이퍼큐브에서 선호되는 용어다.Nasik은 C에 의해 이러한 방식으로 정의되었다.1905년 플랑크nasik 마법의 하이퍼큐브는각 mⁿ 셀을 통과하는 m 번호의 1/2(3ⁿ - 1)줄

나식 마술 하이퍼큐브

나식 마술 하이퍼큐브는 각 셀 합을 통해 가능한 모든 라인이 $S={\frac {m(m^{n}+1)}{2}}$ 하게 $S={\frac {m(m^{n}+1)}{2}}$ = m $S={\frac {m(m^{n}+1)}{2}}$ n + $S={\frac {m(m^{n}+1)}{2}}$ ) $S={\frac {m(m^{n}+1)}{2}}$ {\ $displaystyle$ S $={\frac {m^{n}+1){2$ }에 대한 추가 제한이 있는 마법의 하이퍼큐브다. $}}}$ 여기서 $S={\frac {m(m^{n}+1)}{2}}$ S = 매직 상수, m = 순서, n = 하이퍼큐브의 치수.

또는 좀 더 간결하게 말하면, r = 1...n에 대한 모든 범-r-agonal의 합이 정확하다.이 정의는 헨드릭스의 완벽한 정의와 같지만 보이어/트럼프의 정의와는 다르다.

nasik이라는 용어는 하이퍼큐브의 셀을 통한 정확한 합계 경로(선)의 수가 P = (3-1ⁿ)/2인 마법의 하이퍼큐브의 모든 차원에 적용된다.

4개의 매직 라인이 각각의 mcells를² 통과하기 때문에 판디각형 마법 광장은 나시크 광장이 될 것이다.이것은 프로스트의 나식(nasik)에 대한 원래 정의였다.
nasik 마법 큐브는³ 각각의 m 세포들을 통과하는 13개의 마법의 선을 가지고 있다. (이 큐브에는 또한 9m의 대각선 모양의 주문 m이 들어있다.)
nasik 마법의 큐빅은 각각의⁴ m 세포를 통과하는 40개의 선이 있을 것이다.
등등.

역사

1866년과 1878년, A. H. 프로스트 목사는 우리가 흔히 판디각이라고 부르고 종종 완벽하다고 부르는 마법의 광장의 유형에 대해 나식이라는 용어를 만들었다.그런 다음 그는 현재 우리가 대각선으로 분류하는 순서 7 큐브와 팬트리각으로 분류되는 순서 8 큐브를 사용하여 개념을 증명했다.^[1]^[2]
또 다른 1878년 논문에서 그는 또 다른 판디각형 마법 큐브와 13m 라인이 모두 정확하게^[3] 합쳐진 큐브를 보여주었다.헨드릭스 ^[4]완벽해그는 이 모든 정육면체들을 인도 마하라슈트라 나식구의 데올리 출신 위대한 인도 수학자 D R 카프레카르에 대한 존경으로 나식이라고 불렀다.1905년 플랑크 박사는 그의 경로 나식 이론에서 나식사상을 확장했다.그의 논문의 서문에 그는 이렇게 썼다.

유추에 따르면, 상위 차원에서는 나식이라는 용어를 대각선과 평행한 마법의 합계의 존재를 암시하는 의미로 사용해야 하며, 평면 면과 평행한 섹션의 대각선으로 제한해서는 안 된다.이 용어는 본지 전반에 걸쳐 이 넓은 의미로 사용된다.
— C. Planck, M.A.,M.R.C.S., The Theory of Paths Nasik, 1905^[5]

1917년에 플랑크 박사는 이 주제에 대해 다시 썼다.

Nasik 유추를 더 높은 차원으로 밀어넣을 경우 k-폴드의 어떤 셀을 통해서도 마법의 방향의 수가 ((3-1^k)이어야 한다는 것을 인지하는 것은 어렵지 않다.
— W. S. Andrews, Magic Squares and Cubes, Dover Publ., 1917, page 366^[6]

1939년, B.Rosser와 R. J. Walker는 diabolic (완벽한) 마법의 사각형과 큐브에 대한 일련의 논문을 발표했다.그들은 특히 이 정육면체들이 정확히 13m를² 합한 선을 포함하고 있다고 언급했다.또한 큐브 면과 평행한 3m의 판디각형 마법 사각형, 3각면 평행한 6m의 판디각형 마법 사각형도 갖췄다.^[7]

공증

물건을 보관하기 위해 다음과 같은 특별한 표기법이 개발되었다.

$\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ { 0 $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ n $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ - $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ { $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ - $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ 1 $]$ {\ $displaystyle \left[{}_{k}i;\{$ 0,\ $cdots$ ,n-1 $\};\i$ \in \{ $0,\cdots$ ,m-1 $\}\}\}}}\in$ \ $in$ \}}}}}}}}: 하이퍼큐브 내의 위치 $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$
$\left\langle {}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right\rangle$ : vector through the hypercube

참고: 위치에 대한 표기법은 해당 위치의 값에 대해서도 사용할 수 있다.그런 다음, 적절한 곳에 치수와 질서를 더하여 다음과 같이 형성할 수 있다._k [i]_m

표시된 것처럼 'k'는 치수를 통과하며 좌표 'i'는 가능한 모든 값을 통과하며, 값 'i'가 범위를 벗어나면 매직 하이퍼큐브가 n차원 모듈형 공간에 상주하기 때문에 m의 적절한 배수를 더하거나 빼면 해당 범위로 다시 이동된다.

괄호 사이에 여러 개의 'k'가 있을 수 있으며, 이는 결정되지 않은 순서에 있지만 동일한 값을 가질 수 없다. 이는 다음 항목의 동일성을 설명한다.

$\left[{}_{1}i,{}_{k}j\right]=\left[{}_{k}j,{}_{1}i\right]}}}$

물론 주어진 'k'는 하나의 값 'i'도 언급된다.
특정 좌표값이 언급될 때 다른 값은 0으로 취할 수 있으며, 특히 pe를 사용하여 'k'의 양이 제한되는 경우에 그러하다.#k=1:

$\left[{}_{k}1;\ \#k=1\right]=\left[{}_{k}1\ \ {}_{j}0\ ;\ \#k=1;\ \#j=n-1\right]$ ("axial"-neighbor of $\left[{}_{k}0\right]$ )

(#j=n-1은 지정되지 않은 상태로 둘 수 있음) j는 이제 [0.k-1,k+1..n-1]의 모든 값을 통해 실행된다.

추가: 'k'와 'i'는 제한 없이 가능한 모든 값을 통해 실행되며, 조합에서 동일한 문자가 동일한 값을 가정한다.따라서 하이퍼큐브 내에서 특정 라인을 지정할 수 있다(경로파인더 섹션의 r-형상 참조).

참고: 내가 아는 한 이 표기법은 아직 일반적으로 사용되지 않고 있다(?), 하이퍼큐브는 일반적으로 이런 특정한 방식으로 분석되지 않는다.

추가: "perm(0.n-1)"은 n 번호 0.n-1의 순열을 지정한다.

건설

보다 구체적인 시공 외에도 두 가지 일반적인 시공법이 눈에 띈다.

나이트점프 건설

This construction generalizes the movement of the chessboard horses (vectors $\langle 1,2\rangle ,\langle 1,-2\rangle ,\langle -1,2\rangle ,\langle -1,-2\rangle$ ) to more general movements (vectors $\langle {}_{k}i\rangle$ ).방법은 위치 P에서₀ 시작되며, 추가 숫자는 (m 스텝 후) 이미 점유된 위치에 도달할 때까지 $V_{0}$ $V_{0}$ ${\$ V_ ${0}$ 더 $V_{0}$ $나아가$ 위치 V에 순차적으로 배치되며, 다음 자유 위치를 찾으려면 추가 벡터가 필요하다.따라서 방법은 n by n+1 행렬로 지정된다.

[P_{0},V_{0}\dots V_{n-1}]

이렇게 하면 숫자 'k'가 제자리에 위치한다.

P_{k}=P_{0}+\sum _{l=0}^{n-1}(k\백슬래시 m^{l})\\%\m)V_{l};\quad k=0\dots m^{n}-1.

C. Planck는 1905년 논문 "경로 나식론"에서 이 방법 "경로 나식" (또는 현대적인 {perfect}) 하이퍼 큐브를 사용하여 만들 수 있는 조건을 제시한다.

라틴어 처방구축

(계수 방정식).이 방법은 또한 n by n+1 행렬로 지정된다.그러나 이번에는 n+1 벡터[x₀,..,x_n-1,1]를 곱한 후, n (라틴) 하이퍼큐브를 얻기 위해 modulus m을 취한다.

LP_k = ( σ^n-1 LP_k,l_l x + LP_k,n ) % m

radix m 번호("m"이라고도 함).이러한 LP의_k "자리 변경"(?즉, 기본 조작)은 일반적으로 이러한 LP가_k 하이퍼큐브에 결합되기 전에 적용된다.

ⁿH_m = σ^n-1 LP_k^k m

J.R.Hendricks는 모듈 방정식을 자주 사용하며, 다양한 품질의 하이퍼큐브를 만들기 위한 조건은 http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia에서 여러 곳에서 찾을 수 있다(특히 p-섹션).

두 방법 모두 하이퍼큐브를 숫자로 채우는 것으로 기사점프는 모든 숫자가 존재함을 보장한다.성분이 직교하는 경우에만 라틴어 처방(같은 위치를 차지하는 두 자리가 없음)

곱하기

여러 가지 복합 방법 중에서 곱셈은^[8] 이러한 방법의 가장 기본적인 것으로 간주할 수 있다.기본 곱셈은 다음과 같다.

ⁿH_m₁ * H_m₂ : [_ki]_m₁m₂ = [[_ki \ m₂]_m₁m₁ⁿ]_m₂ + _k[i % m₂]_m₂_m₁m₂

대부분의 복합화 방법은 위의 변형으로 볼 수 있다. 대부분의 한정자는 곱셈에 따라 불변하기 때문에, 예를 들어 H의_m₂ 어떤 측면 변형을 위 방정식에 배치할 수 있고, 그 결과에 대해서는 조작을 적용하여 품질을 개선할 수 있다.따라서 J. R. 헨드릭스 / M. Trenklar 2배로 지정할 수 있다.이런 것들은 이 글의 범위를 넘어선다.

양상

하이퍼큐브는 n! 2ⁿ 좌표반사([_ki] --> [-_ki])와 좌표순열([_ki] -->_perm[k] [i])을 통해 얻은 양면변형은 양면변형을 효과적으로 제공한다.

ⁿH_m^{~R perm(0..n-1)}; R = σ^n-1 ((반사(k) ? 2 : 0^k); perm(0..n-1) 순열 0.n-1

좌표 k가 반영되고 있는 경우, R에 2만^k 추가된다.쉽게 볼 수 있듯이, 2를ⁿ 설명하는 n 좌표만 반영할 수 있다. n 좌표의 n! 순열은 "예측 변종"의 총량에 대한 다른 요소를 설명한다!

양면적인 변형은 일반적으로 동일하다고 여겨진다.따라서 하이퍼큐브는 다음과 같이 "정상 위치"로 나타낼 수 있다.

[_k0] = min([_klimit; θ {-1,0}])(반영에 의한) [_k1 ; #k=1] < [_k+11 ; #k=1] ; k = 0.n-2(좌표 순열에 의한)

(여기에 기재된 사항:_k [0] 모든 코너 포인트의 최소값.축수를 기준으로 축 인접부 순차적으로)

기본 조작

보다 구체적인 조작 외에도 다음과 같은 것이 보다 일반적인 성질의 것이다.

#[118.n-1)] : 성분 순열
^[118.n-1)] : 좌표 순열(n == 2: 전치)
_2^axis[4][0..m-1)] : 단각순열(축 [ [0..n-1])
=[migration(0..m-1)] : 숫자 변경

참고: '#', '^', '_', '='는 표기법의 필수적인 부분으로, 조작 선택자로 사용된다.

구성 요소 순열

성분 교환으로 정의되며, 따라서 m 단위의^perm(k) 인자 m을^k 변화시킨다. n 성분 하이퍼큐브가 있기 때문에 순열은 이 n 성분 위에 있다.

좌표 순열

n _k좌표 때문에 좌표 _perm(k)[i]를 [i]로 교환해야 한다.
transpose(일반적으로 )라는 용어는 2차원 행렬과 함께 사용되며, 일반적으로 "조정 순열"이 선호될 수 있다.

단각순열

주어진 "축" 방향과 함께 _k[i]를 _k[perm(i)]로 변경하는 것으로 정의된다.인자^axis 2를 더하면 다양한 축을 따라 동일한 순열화가 조합될 수 있다.따라서 r에 대한 모든 종류의 r-형상 순열을 정의한다.모든 가능성은 m 숫자의 해당 순열에 의해 주어진다는 것을 쉽게 알 수 있다.

반성이 특별한 경우라는 점에 유의하십시오.

~R = _R[n-1,..,0]

또한 모든 축이 동일한 경우;주변(R = 2-1ⁿ) n-아곤 순열이 달성된다. 이 특별한 경우 'R'는 일반적으로 생략된다.

_[190.n-1)] = _(2-1ⁿ)[190.n-1)]

디지창잉

일반적으로 구성요소 수준에서 적용되며 구성요소가 래딕스 m자리로 채워지기 때문에 perm([_ki])에서 _k[i]가 부여한 것으로 볼 수 있으며, m 번호에 대한 순열은 이들을 나타내는 적절한 방법이다.

패스파인더스

J. R. 헨드릭스는 하이퍼큐브 내의 지시들을 "경로찾기"라고 불렀는데, 이러한 지시들은 3번째 숫자 체계에서 다음과 같이 가장 간단하다.

Pf_p where: p = σ^n-1^k _k(i + 1) 3 <==> _k<i> ; i ε {-1,0,1}

이것은 세 가지ⁿ 방향을 제시한다.모든 방향이 양방향으로 통과되므로 전체 범위의 상반부[(3-1ⁿ)/2,..,3-1ⁿ)]로 제한할 수 있다.

이러한 경로 검색기를 사용하여 합쳐서(또는 r-형상) 표시할 모든 선을 지정할 수 있다.

[ 0 p q; #j=1 #k=r-1; k > j ] < 1 θ 0; θ ε {-1,1} >; p,q ε [0,..,m-1]

모든 (파손된) r-형상, p 및 q 범위를 이 설명에서 생략할 수 있음을 명시한다.따라서 주요(파손되지 않은) r-형상은 위 사항을 약간 수정하여 주어진다.

[ 0 -1 p; #j=1 #k+#l=r-1; k,l > j ] < 1 -1 0 >

자격 요건들

분석 숫자 범위[0..m-1ⁿ]에 있는 숫자가 있는 하이퍼큐브 H에는_m 다음과 같은 마법의 합이 있다.

ⁿS_m = m(mⁿ - 1) / 2

보다 구체적인 자격 외에도 다음과 같은 것이 가장 중요하며, 물론 "요술 총액에 정확하게 요약"을 의미한다.

{r-agonal} : 모든 주(파손되지 않은) r-agon이 합치된다.
{pan r-agonal} : 모든 (부러지지 않고 부러진) r-agonal이 총합하고 있다.
{message} : {1-agonal n-agonal}
{perfect} : {pan r-agonal; r = 1..n}

참고: 이 시리즈는 nill-agonal이 존재하지 않기 때문에 0으로 시작되지 않으며, 숫자는 일반적인 이름-(1-agonal = 단각형, 2-agonal = 대각선, 3-agonal = 3-gangle 등)과 일치한다.이 외에도 이 숫자는 해당 경로파인더에 있는 "-1"과 "1"의 양에 해당한다.

모든 숫자가 p-다극성 하이퍼큐브가 p-다극성 하이퍼큐브가 될 때 하이퍼큐브도 합치는 경우.위의 예선전은 p-멀티매직 예선전에 간단히 선행된다.이것은 자격을 {r-agonal 2-magic}(으)로 정의한다.여기서도 "2-"는 보통 "bi", "3-"는 "tri" 등으로 대체된다. ("1-magic"은 "단조"가 되지만 "mono"는 대개 생략된다.p-멀티매직 하이퍼큐브의 합은 포크하버의 공식을 이용하여 찾아내어 m으로^n-1 나눌 수 있다.

또한 "마법"(예: {1-아곤n-agonal n-agonal})이 일반적으로 가정되며, 트럼프/보일러 {diangel} 큐브는 기술적으로 {1-아곤 2-아곤 3-agonal}이(가) 보인다.

나식 마술 하이퍼큐브는 {nasik}을(를) {perfect}과(와) 동의어로 사용한다는 주장을 제시한다.그러나 정육면체에서 {diangle}과 동의어인 정사각형 '완벽'을 사용하는 이상한 일반화는 한정자에 곱슬곱슬한 괄호를 붙여 해결하므로 {완벽}은 {pan r-agonal; r = 1..n}(위에서 언급된 바와 같이)을 의미한다.

몇 가지 사소한 자격 요건은 다음과 같다.

{ⁿcompact} : {all order 2 subhyper 큐브 합을 2ⁿ S/m_m}(으)로 주문
{ⁿcomplete} : {모든 쌍은 n-유형 구분 합을 절반으로 나눈다(mⁿ - 1)}

{ⁿcompact}은(_j는) σ [i + 1] = 2_m Sⁿ / m로 표기할 수 있다.
{ⁿcomplete}은(는) 간단히 다음과 같이 쓸 수 있다: [_ji] + _j[i + (m/2); #k=n ] = m - 1ⁿ.
위치:
_(k)σ은 가능한 모든 k를 합친 상징적인 것으로, 1에 대한ⁿ 두 가지 가능성이 있다.
[_ji + 1]은 _j[i]와 그 모든 r-유형적 이웃을 표현한다.
{complete}에 대해 _j[i]의 보어는 _j[i + (m/2); #k=n ] 위치에 있다.

정사각형: ²{compact complete}은(는) 데임 캐슬린 올레렌쇼가 가장 완벽한 매직 스퀘어라고 부른 것의 "현대/대안 자격"이며,ⁿ {compact complete}은 2차원 이상의 특징에 대한 한정자임
주의: 일부 사람들은 {compact}을(ⁿ를) {compact}이(가) 아닌 ²{compact}과(와) 동일시하는 것 같다.이 소개 기사는 이러한 종류의 문제를 토론할 장소가 아니기 때문에, 이 두 가지 예선에 대한 치수 사전 설명서에 (표시된 대로 정의됨)
{ⁿmessage}의 결과는 순서 2 하위 입방체를 추가/변경하여 구성할 수 있기 때문에 여러 수치도 합한 것이다.이와 같은 이슈는 이 기사 범위를 넘어선다.

매직 하이퍼빔

매직 하이퍼빔(n차원 매직 사각형)은 매직 하이퍼큐브에서 각 방향을 따라 순서가 다를 수 있는 변형이다.이처럼 마법의 하이퍼빔이 2차원 마술 사각형과 3차원 마술빔을 일반화하면서 시리즈 마법의 사각형, 마법의 큐브, 마법의 하이퍼큐브를 모방한 시리즈가 일반화된다.이 기사는 마법의 하이퍼큐브 기사를 자세히 모방할 것이며, 그 기사가 단지 주제에 대한 소개로 기능하듯이 말이다.

관습

문자 'n'으로 치수를 나타내고 하이퍼빔의 순서를 문자 'm'로 표시하는 것이 관례다(적용되는 방향의 첨자 번호로 추가됨).

(n) 치수 : 하이퍼빔 내의 방향의 양.
(m_k) 순서 : k번째 단각 k = 0, ..., n - 1을 따른 숫자의 양

추가:이 글에서는 분석 번호 범위[0.._k=0πm-1]^n-1_k을 사용하고 있다.

공증

물건을 보관하기 위해 다음과 같은 특별한 표기법이 개발되었다.

[ i; k=[0..n-1]; i=[0..m-1_k]: 하이퍼빔 내의 위치
< i; k=[0..n-1]; i=[0..m-1_k] >: 하이퍼빔을 통한 벡터

참고: 위치에 대한 표기법은 해당 위치의 값에 대해서도 사용할 수 있다.적절한 차원 및 순서를 추가할 수 있는 곳: [_ki]_{m₀,..,m_n-1}

건설

기본

좀 더 일반적인 방법에 대한 설명이 여기에 있을 수도 있는데, 나는 하이퍼빔을 자주 만들지 않기 때문에, Knightjump나 Latin Percedition이 여기서 작동하는지 모르겠다.때때로 나는 하이퍼빔이 필요하다.

곱하기

여러 가지 복합 방법 중에서 곱셈은^[9] 이러한 방법의 가장 기본적인 것으로 간주할 수 있다.기본 곱셈은 다음과 같다.

ⁿB_(m..)₁ * B_(m..)₂ : [_ki]_{(m..)₁(m..)₂} = [[_ki \ m_k2]_(m..)₁k=0πm]^n-1_k1_(m..)₂ + _k[i % m_k2]_(m..)₂_{(m..)₁(m..)₂}

(m..) 축약: m,..m₀_n-1.
(m..)(₁m..)₂ 축약: mm_0₁_0₂, .., mm_n-1₁_n-1₂.

호기심

모든 주문은 짝수 또는 홀수 중 하나이다.

마법의 총계가 다음과 같기 때문에 쉽게 알 수 있는 사실:

S_k = m_k _j=0(πm - 1) / 2

주문 m이_k 짝수일 때 제품이 짝수여서 S가_k 정수로 나오는 유일한 방법은 모든 m이_k 짝수일 때 뿐이다.
그러므로 충분하다: 모든 m은_k 짝수이거나 홀수다.

이는 물론_k m=1을 제외하고 다음과 같은 일반적인 정체성을 허용한다.

N_m^t = N_m,1 * N_1,m
N_m = N_1,m * N_m,1

이 소개 기사의 범위를 벗어나는 것

순서가 2인 한 방향만

어떤 숫자도 단 하나의 보완점을 가지기 때문에 하나의 방향만 m_k = 2를 가질 수 있다.

양상

하이퍼빔은 다음과 같은 두 가지ⁿ 측면 변형을 알고 있으며, 이 변형은 측면 변형을 효과적으로 제공함으로써 얻는다._k_k

ⁿB_{(m₀..m_n-1)}^~R^k ; R = σ^n-1 ((반사(k) ? 2 : 0) ;;

reflection(k) true if cördinate k가 반영되고 있는 경우, R에 2만^k 추가된다.

한 사람이 마법의 하이퍼큐브와 마찬가지로 빔의 다른 방향을 동일한 것으로 볼 수 있는 경우 n! 2ⁿ 측면의 수를 볼 수 있는 경우, 동일한 순서를 가진 방향은 하이퍼빔의 순서에 따라 요인을 기여한다.이것은 이 글의 범위를 넘어선다.

기본 조작

보다 구체적인 조작 외에도 다음과 같은 것이 보다 일반적인 성질의 것이다.

^[118.n-1)] : oördinate permution (n == 2: transpose)
_2^axis[4][0..m-1)] : 단각순열(축 [ [0..n-1])

참고: '^'와 '_'는 표기법의 필수적인 부분으로 조작 선택기로 사용된다.

쾨르딘 순열

n 코르디나트[_ki]를 _perm(k)[i]로 교환해야 한다. n 코르디나트 때문에 이 n 방향에 대한 순열이 필요하다.
transpose(일반적으로 )라는 용어는 2차원 행렬과 함께 사용되며, 일반적으로 "coördinaatpermutation"이 선호될 수 있다.

단각순열

주어진 "축" 방향과 함께 _k[i]를 _k[perm(i)]로 변경하는 것으로 정의된다.순서가 같은 다양한 축을 따라 동일한 순열은 요인 2를^axis 추가하면 조합할 수 있다.따라서 r에 대한 모든 종류의 r-형상 순열을 정의한다.모든 가능성은 m 숫자의 해당 순열에 의해 주어진다는 것을 쉽게 알 수 있다.

정상 위치

n-agonal에 대한 제한이 고려되지 않은 경우, 다음과 같이 마법의 하이퍼빔을 "정상 위치"로 나타낼 수 있다.

[_ki] < [(_ki+1)]; i = 0..m-2_k(단각 순열 기준)

자격

하이퍼빔을 선별하는 것은 마법의 하이퍼큐브에 있는 것보다 덜 발달되어 있다. 사실 K's 단각 방향만 다음과 같이 요약하면 된다.

S_k = m_k _j=0(πm - 1) / 2

모든 k = 0..n-1에서 하이퍼빔이 {message}을(를) 인증할 경우

주문이 비교적 많지 않은 경우 n-형상 합계는 다음과 같이 제한될 수 있다.

S = lcm(m_i; i = 0..n-1) _j=0(πm - 1) / 2

모든 주문이 비교적 초기 단계에 이르면 이는 최대치에 도달한다.

S_max = πm _j=0(πm - 1) / 2

특수 하이퍼빔

다음과 같은 하이퍼빔은 특별한 목적을 제공한다.

"일반 하이퍼빔"

ⁿN_{m₀,..,m_n-1}_k^k : [_ki] = σ^n-1 i m

이 하이퍼빔은 모든 숫자의 근원으로 볼 수 있다."동적 번호 매기기"라고 불리는 절차는 이러한 정상의 모든 하이퍼빔의 이소모르프성을 이용하여 소스를 변화시키고 하이퍼빔을 변화시킨다.일반 하이퍼빔의 기본 배수는 π^n-1 m의^k 매직 하이퍼큐브의 "다이내믹 번호 매기기"와 특별한 역할을 한다.

"정수 1"

ⁿ1_{m₀,..,m_n-1} : [_ki] = 1

여기에 보통 추가되는 하이퍼빔은 "분석적인" 숫자 범위를 "정규적인" 숫자 범위로 사용했다.다른 지속적인 하이퍼빔은 물론 이것의 배수다.

참고 항목

참조

^ 프로스트, A. H. 마법 큐브의 발명, 수학 분기 저널 7,1866, pp92-102
^ 프로스트, A. H, 나식스퀘어의 일반적 특성에 관한 연구, QJM, 15, 1878, 페이지 34-49
^ 프로스트, A. H. 나식 큐브의 일반적 특성에 관한 연구, QJM, 15, 1878, 페이지 93-123
^ 하인즈, H.D., 헨드릭스, J.R. 매직 스퀘어 렉시콘: 그림, 2000, 0-9687985-0-0 pp 119-122
^ 플랑크, C, M.A., M.R.C.S., 《경로론 Nasik》, 1905년, 개인 발행물로 출판되었다.신문 소개서.
^ 앤드류스, W.S. 매직 스퀘어와 큐브, 도버 푸블리. 1917.C가 쓴 에세이 페이지 363-375.플랑크
^ Rosser, B., Walker, R. J., Magic Square: 출판된 논문과 부록, 1939.코넬 대학교의 바운드 볼륨, QA 165 R82+pt.1-4로 분류됨
^ 이것은 (pe.)의 n차원 버전이다: Alan Adler 매직 스퀘어 곱하기
^ 이것은 (pe.)의 하이퍼빔 버전이다: Alan Adler 매직 스퀘어 곱하기

추가 읽기

토마스 R.헤게돈, 마법 n차원 직사각형의 존재에 대해 이산수학 207(1999), 53-63.
토마스 R.해드돈, 마법 직사각형이 다시 등장했고 이산 수학 207 (1999), 65-72.
하비 D.하인츠 & 존 R.헨드릭스, 매직 스퀘어 렉시콘:일러스트레이션, 자체 출판, 2000년 ISBN 0-9687985-0-0.
J.R.Hendricks: Magic Square to Teseract by Computer, Self-published, 1998, 0-9684700-0-9
플랑크, C, M.A., M.R.C.S., 《경로론 Nasik》, 1905년, 개인 발행물로 출판되었다.신문 소개서.
Marian Trenkler, Magic 직사각형, The Mathemical Gazette 83(1999), 102-105.

외부 링크

Aale de Winkel의 마법 백과사전 기사
매직 큐브 및 하이퍼큐브 - Marian Trenkler가 수집한 참조 자료
- 마리안 트렌클러의 마술 큐브를 만드는 알고리즘
multimagie.com Christian Boyer의 기사
magichypercube.com 마법의 큐브 생성기
완벽한 마법 큐브와 다른 차원의 역사, 정의 및 예.
최근 발견의 역사를 가진 완벽한 대안적 정의
이 대체 정의에 대해 자세히 알아보십시오.
다양한 소재를 가진 매직 하이퍼큐브 백과사전
하이퍼큐브 통합분류체계
매직 큐브와 큐브와 큐빅트의 분류에 대한 야심찬 진행형 작업
다양한 존 R.헨드릭스 소재, 그의 지시로 쓰여진 것
http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia
마리안 트렌클라 큐브-Ref.html
나카무라 미쓰토시: 직사각형

[1] 프로스트, A. H. 마법 큐브의 발명, 수학 분기 저널 7,1866, pp92-102

[2] 프로스트, A. H, 나식스퀘어의 일반적 특성에 관한 연구, QJM, 15, 1878, 페이지 34-49

[3] 프로스트, A. H. 나식 큐브의 일반적 특성에 관한 연구, QJM, 15, 1878, 페이지 93-123

[4] 하인즈, H.D., 헨드릭스, J.R. 매직 스퀘어 렉시콘: 그림, 2000, 0-9687985-0-0 pp 119-122

[5] 플랑크, C, M.A., M.R.C.S., 《경로론 Nasik》, 1905년, 개인 발행물로 출판되었다.신문 소개서.

[6] 앤드류스, W.S. 매직 스퀘어와 큐브, 도버 푸블리. 1917.C가 쓴 에세이 페이지 363-375.플랑크

[7] Rosser, B., Walker, R. J., Magic Square: 출판된 논문과 부록, 1939.코넬 대학교의 바운드 볼륨, QA 165 R82+pt.1-4로 분류됨

[8] 이것은 (pe.)의 n차원 버전이다: Alan Adler 매직 스퀘어 곱하기

[9] 이것은 (pe.)의 하이퍼빔 버전이다: Alan Adler 매직 스퀘어 곱하기

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