힐베르트-사무엘 함수

가환에서 algebra은 Hilbert–Samuel 기능, 데이비드 힐버트 교수와 피에르 Samuel,[1]는 0이 아닌에서 따와유한하게 A{A\displaystyle}의{\displaystyle 1세}{A\displaystyle}의 이상은 지도 χ M나는:N→ 가환Noetherian 지역 반지를 모듈 M{M\displaystyle}을 만들었습니다. n${\displaystyle }$${\displaystyle \backslash displaystyle\mathbb{}}$ $\chi _{M}^{I:\mathb {N} \rightarrow \mathb {N}$\$displaystyle n\in \mathb$ {$N}$에 대해 $\},$

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\ell(M/I^{n}M)}$

$여기$서 ▼ ${\displaystyle \ell}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대한 길이를 나타냄$$$.$ ID로$$ 인해 관련 등급이 매겨진 ${\displaystyle {\mathrm{모듈}}_{}}$ ${\displaystyle {gr}_{}}$ I${\displaystyle {}_{}(}$ (${\displaystyle M}$ ${\displaystyle )}${\$displaysty \operatorname {gr} _{I}(M)}$의 Hilbert 기능과 관련됨

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\sum _{i=0}^{n}H(\operatorname {gr} _{I}(M),i).}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$이${\displaystyle (}$가) 충분히 큰 경우${\displaystyle ,<img\; alt="n"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.395ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="35">}$ 흔히 힐버트-사무엘 다항식(또는 힐버트 다항식)이라고 불리는$$$($ ${\displaystyle I_{}}$ (${\displaystyle M}$) ${\dim(\operatorname {gr} _{I}(M)})}$에 해당하는 수준의 다항 함수와 일치한다.^[2]

예

자체 모듈로${\displaystyle }사용$된${\displaystyle 두\mathrm{변수}}$ k [ x ,${\displaystyle }$y ${\displaystyle ]}${\$displaystyle k[x,$y]] 및 단일 변수 x와² y에³ 의해 생성된$$ 이상적인 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 있는 공식 파워 시리즈 링의 경우

${\displaystyle \chi(1)=6,\cHI(2)=18,\cHI(3)=36,\cHI (4)=60,{\text{, 일반 }}}}\chi(n)=3n(n+1){\text{}}}}}}}}$^[2]

도 한계

힐버트 함수와는 달리 힐버트-사뮤엘 함수는 정확한 순서에 첨가되지 않는다.그러나 Artin-Rees 보조정리 결과로서 그것은 여전히 첨가물에 상당히 가깝다.P ${\displaystyle {I,}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$ 힐버트-사뮤엘 다항식(Hilbert-Samuel polyomial)을$$ 가리킨다. 즉, 큰 정수에 대한 힐버트-사뮤엘 함수와 일치한다.

교정: $R{\displaystyle /{In}^{}}$ ${\$를 사용하여 주어진 정확한 시퀀스를 반복하고 정확한 시퀀스를 얻은 커널을 계산하십시오.

${\displaystyle 0\to (I^{n}M\cap M')/I^{n}M'\to M'/I^{n'to M'/I^{n}M'to M'/I^{n}M'\to 0,}$

다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n-1)=\chi _{M'}^{I}(n-1)+\chi _{M''}^{I}(n-1)-\ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')}$.

오른쪽의 세 번째 학기는 아르틴 리스로 추정할 수 있다.실제로 보조정리, 큰 N과 약간의 K에 의해,

$[\displaystyle I^{n}M\cap M'=I^{n-k}(((I^{k}M)\cap M')\subset I^{n-k}M').}$

그러므로,

${\displaystyle \ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')\leq \chi _{M'}^{I}(n-1)-\chi _{M'}^{I}(n-k-1)}$.

이것은 소기의 정도를 제한한다.

다중성

$만일{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A$$}$이(가) $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ -primary$$ 이상 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$과$($와) 함께 Krull $치수{\displaystyle }$ d ${\d}$의 로컬 링이라면$$, Hilbert 다항식은 $e{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$일부 정수 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$의 경우 $}\cdot$ n$^{d$$\}.$$이{\displaystyle }$ 정수 $e{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle e$$}$을$($를$)$ 이상 I {\$displaystyle I$$}$의 다중성이라고 ${\displaystyle \mathrm{한다}.}$I = m {\$displaystyle$ I=m$}$이$($가) A {\$displaystystyle$ A$}$의 최대 이상일 때$,$ $e{\displaystyle }$ ${\$$displaystystystyle$ e$}$은 로컬 링 $A$의 다중성이라고도 말한다$.$

$구성표{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$의 $점{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle x}$의 다중성은 해당 로컬 링 ${\displaystyle {OX}_{}}$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\$의 다중성으로 정의된다$.$

참고 항목

• j자극성

참조