아르틴-티츠 그룹

집단 이론의 수학적 영역에서는 아르틴-라고도 알려져 있는 아르틴 그룹들이 있다.tits 그룹 또는 일반화된 땋은 그룹은 단순한 프레젠테이션에 의해 정의된 무한 이산 그룹의 제품군이다.그들은 콕시터 그룹과 밀접한 관련이 있다.그 예로는 자유 그룹, 자유 아벨리아 그룹, 땋은 그룹, 직각 아르틴-이 있다.다른 그룹들 중에서도 Tits 그룹들.

이 그룹들의 이름은 에밀 아르틴의 이름을 따서 지어졌는데,^[1] 1920년대에서 1940년대에 땋은 그룹에 대한 그의 초기 연구와 1960년대에 좀 더 일반적인 그룹의 계층 이론을 발전시킨 자크 티츠가 있었기 때문이다.^[2]

정의

안 아르틴-Tits 프레젠테이션은 그룹 프레젠테이션${\displaystyle }$presentation S ${\displaystyle \mathrm{group}}$ R ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle S\mid$ R$\angle }$이며, 여기서$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(일반적으로 유한) 발전기 집합이고 $R{\displaystyle }$ ${\displaysty R}$은 Artin–의 집합이다.Tits relations, namely relations of the form ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ for distinct ${\displaystyle s,t}$ in ${\displaystyle S}$, where both sides have equal lengths, and there exists at most one relation for each pair of distinct generators ${\displaystyle s,t}$. An Artin–Tits 그룹은 Artin을 인정하는 그룹이다.티츠 발표.마찬가지로, 아르틴-티츠 모노이드(Tits monoid)는 모노이드로서 아르틴-을 인정하는 모노이드다.티츠 발표.

또는, Artin-Tits group can be specified by the set of generators ${\displaystyle S}$ and, for every ${\displaystyle s,t}$ in ${\displaystyle S}$, the natural number ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 2}$ that is the length of the words ${\displaystyle stst\ldots }$ and ${\displaysty$$s$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle tt}$… = ${\displaystyle t}$ t ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ s${\displaystyle }$… ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots}$과$($$와$) s ${\displaystyle s}$과(와) $t{\displaystyle }$ ${\displaystytle$ t$}$을(와) 연결하는 관계가 있는 경우$$$.$By convention, one puts ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$ when there is no relation ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ . Formally, if we define ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m}}$ to denotes an alternating product of ${\displaystyle s}$ and ${\displ$$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$로 시작하는$$길이 m ${\displaystyle$ m$}$의 $aystyle t}$ t는 $$$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle s,}$ $t$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \langle$ $s,$$$${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}{\displaystyle {}^{}}$$$3${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \langle–t\langle ^{3}=sts$ — Artin.tits 관계는 형태를 취한다.

${\displaystyle \langles s,t\langle s,t}=\langle t,s\langle t,s\langle ^{m_{t,s},{\text{{}}여기서 }m_{s,t}={t,s}\{2,3,\dots}}}}.$

정수 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$, ${\displaystyle t_{}}$ ${\$은 그룹의 Coxeter 행렬로 알려진 대칭 행렬로 구성할 수 있다$$.

$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle S\mid R\angle }$이(가) Artin–인$$ 경우Tits의 Artin 발표Tits 그룹 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A${\displaystyle {}^{}}$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 각 s ${\displaystyle s$$^{2}=1}$를 ${\displaystyle {추가}^{}}$하여 $얻은$ A ${\displaystyle A}$의 몫은 Coxeter 그룹이다.$반대$로 W ${\displaystyle W}$이(가) 반사에 의해 제시된 Coxeter 그룹이고 $관계{\displaystyle {}^{}\mathrm{s}}$ 2 =$$1 {\$displaystyle s^{2$}=1$}$이(가$$) 제거되면, 따라서 얻은 확장은 Artin–이다.Tits 그룹.예를 들어, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -strand$$ 브레이드 그룹과 연관된 Coxeter 그룹은 {${\displaystyle 1}$ , ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n\}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots,n\}$의 모든 순열의 대칭 그룹이다$.$

예

• ${\displaystyle G}$= $⟨$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle \mathrm{⟩}}$ {\$displaystyle G=\langle$ S\$mid \emptyset \rangle }$은(는$$) $S{\displaystyle }$ ${\\displaystyle S}$을(를$$) 기반으로 하는 자유 $그룹$이며${\displaystyle ,<img\; alt="S"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.499ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="116">}$ ${\displaystyle {\mathrm{여기}}_{}}$서${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle m}$ =${\displaystyle {}_{}\mathrm{\{}}${\$displaystystym_$${s$$,t$}=\$ft$$\}.$
• ${\displaystyle G=\langle S\mid \{st=ts\mid s,t\in S\}\rangle }$ is the free abelian group based on ${\displaystyle S}$; here ${\displaystyle m_{s,t}=2}$ for all ${\displaystyle s,t}$.
• ${\displaystyle G=\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}{\text{ for }}\vert i-j\vert =1,\sigma _{i}\sigm$$a _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\text{ for }}\vert i-j\vert \geqslant 2\rangle }$ is the braid group on ${\displaystyle n}$ strands; here ${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=3}$ for ${\displaystyle \vert i-j\vert =1}$, and ${\displaystyle m_{\sigma$$_{i},\$ $_{j}=2}}:$ - j> ${\displaystyle \vert i-j\vert >1$

일반 속성

Artin-Tits 모노이드들은 가르사이드 방법의 적용 대상이며, 다음과 같이 잘 이해되고 있다.

• Artin-Tits 모노이드들은 취소되며, 그들은 가장 큰 공통점수와 조건부 최소 공통점수를 인정한다. (공통 배수가 존재할 때마다 최소 공통 배수가 존재한다.)
• $A{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ A$^{+}$가 Artin–인 경우Tits monoid, and if ${\displaystyle W}$ is the associated Coxeter group, there is a (set-theoretic) section ${\displaystyle \sigma }$ of ${\displaystyle W}$ into ${\displaystyle A^{+}}$, and every element of ${\displaystyle A^{+}}$ admits a distinguished decomposition as a sequence of elements in$\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }("$정상 형식")의 이미지.

아르틴 장군에게 알려진 결과는 거의 없다.Tits 그룹특히 일반 사례에서는 다음과 같은 기본적인 질문이 계속 열려 있다.

– 단어와 결합 문제 해결 — 해독 가능한 것으로 추측되는,

- 비틀림 결정 - 사소한 것으로 추측되는 것,

– 센터 결정 — 그룹이 직접 제품이 아닌 경우("불가결한 경우")에 대해 사소한 것이거나 모노제닉인 것으로 추측된다.

– 코호몰로지 결정 - $특히{\displaystyle }$ K (${\displaystyle \pi }$, $){\displaystyle K(\pi ,1)}$ 추측$$, 즉 기본 집단이 고려된 집단인 아사이클릭 콤플렉스를 찾는 것.

특정 하위 가족과 관련된 부분적인 결과는 아래에 모아진다.알려진 몇 안 되는 일반적인 결과 중에서 다음과 같은 것을 언급할 수 있다.

• Artin-Tits 그룹은 무한히 셀 수 있다.
• 인 앤 아르틴-Tits group ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$, the only relation connecting the squares of the elements ${\displaystyle s,t}$ of ${\displaystyle S}$ is ${\displaystyle s^{2}t^{2}=t^{2}s^{2}}$ if ${\displaystyle st=ts}$ is in ${\displaystyle R}$$$ (John Crash and Luis Paris )
• 모든 아르틴을 위해Tits 프레젠테이션 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle S\mid R\angle$ $\},$ Artin–Artin–에 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle S\mid R\angle }$ 내장되어$$ 있는 Tits 단면체$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle$}($$Paris^[4]).
• 모든 (완전히 생성된) 아르틴-티츠 모노이드(Tits monoid)는 유한한 가르사이드 가문(Matthew Dyer, Christophe Hohlweg^[5])을 인정하고 있다.그 결과, 아르틴에서 공통의 우배수의 존재-Tits monoids는 해독이 가능하며, 다면적인 수축을 줄이는 것이 효과적이다.

아르틴의 특정계급-Tits 그룹

Artin 그룹의 몇 가지 중요한 클래스는 Coxeter 매트릭스의 특성에 따라 정의될 수 있다.

아르틴-티츠 구면형

• 안 아르틴-Tits 그룹은 연관된 Coxeter $그룹{\displaystyle }$ W ${\displaystyle W}$이(가) 유한할 경우 구형(구형)이라고 하며, 대체 용어 "Artin---")이다.유한형 Tits 그룹"은 그 모호성 때문에 피해야 한다: "완료형 그룹"은 유한형 발생 세트를 인정하는 그룹일 뿐이다.Recall that a complete classification is known, the 'irreducible types' being labeled as the infinite series ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle B_{n}}$, ${\displaystyle D_{n}}$, ${\displaystyle I_{2}(n)}$ and six exceptional groups ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_7}$${\displaystyle E_{7$ $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$ ${\$ F ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$ H ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$
• 구형 아르틴의 경우-Tits 그룹, 이 그룹은 모노이드의 분수 그룹이기 때문에 연구를 훨씬 쉽게 한다.위에서 언급한 모든 문제는 구면 아르틴-에 대해 긍정적인 방향으로 해결된다.Tits 그룹: 단어와 결합 문제는 결정가능하며, 그들의 비틀림은 사소한 것이며, 중심은 설명할 수 없는 경우에서 모노제닉하며, 코호몰로지(Pierre Deligne, 기하학적 방법에 의해,^[6] Egbert Brieskorn과 Kyoji Sito, 콤비네이션 방법에 의해 결정됨)이다.
• 순수 아르틴-구면 유형의 tits 그룹은 C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 있는 유한 하이퍼플레인 배열의 보완의 기본 그룹으로 실현될 수 있다$.$
• 구형 아르틴-티츠 그룹은 양자동 그룹(Ruth Charney^[8])이다.
• 현대 용어로는 아르틴-Tits 그룹 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$은$($는) Garside 그룹이며, $이$는 A$${\$disp$)가 연관된 모노이드 $A{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ A$^{+}$에 대한 분수$$ 그룹이며$$, $A{\displaystyle }$ ${\displaysty A}$의 각 요소에 $대해{\displaystyle }$ W ${\disp$의 (복사) 유한 순서로 구성된 고유한$$ 일반 형식이 존재함을 의미한다.$레이스타일 W}$ 및$$ 그 뒤집기("대칭 탐욕스러운 정규 형태")

직각 아르틴 그룹

• 안 아르틴-Tits 그룹은 Coxeter 매트릭스의 $모든{\displaystyle \mathrm{}}$ 계수가 2 ${\displaystyle 2}$ 또는$$ $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit },$즉, 모든 관계는 정류 ${\displaystyle \mathrm{관계}}$s = t = ${\displaystyle t}${\$displaystyst=ts}$일 경우 직각으로 배열된다고 한다$.$부분적으로 교환하는 그룹, 그래프 그룹, 추적 그룹, 반트리 그룹 또는 심지어 국지적으로 자유 그룹이라는 이름(자유)도 일반적이다.
• 이 등급의 아르틴-Tits 그룹, 다른 라벨링 방식이 일반적으로 사용된다.Any graph ${\displaystyle \Gamma }$ on ${\displaystyle n}$ vertices labeled ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ defines a matrix ${\displaystyle M}$, for which ${\displaystyle m_{s,t}=2}$ if the vertices ${\displaystyle s}$ and ${\displaystyle t}$ are connected by an edge$$ $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$및 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$, ${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle m_{s,t}=\fult }.$
• 직각 아르틴계급-tits 그룹은 가장자리가 없는 그래프에 해당하는 유한 등급의 자유 그룹과 전체 그래프에 해당하는 정밀하게 생성된 자유 아벨리아 그룹을 포함한다.모든 직각 R 등급의 Artin 그룹은 R -${\displaystyle 1}$ $등급$의$$직각 $Artin$ 그룹의 HNN 확장으로 구성될 수 있으며$,$ 극단적인 경우에는 무료 제품과 직접 제품을 사용할 수 있다$.$이 구조의 일반화를 집단의 그래프 산물이라고 한다.직각 아르틴 그룹은 이 제품의 특별한 경우로서, 그래프 제품의 모든 꼭지점/운영체는 1위(무한 순환 그룹)의 자유 그룹이다.
• 직각 아르틴의 단어와 결합 문제들tits 그룹은 디케이블이 가능하며, 전자 그룹은 선형 시간에서 비틀림이 없으며$,$ 명시적 세포 유한 K( $finite{\displaystyle ,1}$ ) $displaystyle K(\pi$,1)가 $있다$($$존 크레이프, 에디 고델, 버트 위스트^[9]$).$
• 모든 직각 아르틴-its그룹은 자사의 '살베티 콤플렉스'인 유한차원 CAT(0) 큐브 콤플렉스 위에서 자유자재로 활동한다.응용 프로그램으로는 직각 아르틴 그룹과 그들의 살베티 콤플렉스를 사용하여 주어진 미세한 특성을 가진 그룹(Mladen Bestvina 및 Noel Brady )을 구성할 수 있다(Ian Leary 참조).

큰 타입의 아르틴-티츠 그룹

• 안 아르틴-Tits group (and a Coxeter group) is said to be of large type if ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 3}$ for all generators ${\displaystyle s\neq t}$; it is said to be of extra-large type if ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 4}$ for all generators ${\displaystyle s\neq t}$.
• 초대형 아틴-잇츠 그룹은 소규모 취소 이론이 적용 가능하다.어플리케이션으로 아르틴-초대형 tits 그룹은 비틀림이 없고 해결 가능한 결합 문제를 가지고 있다(케네스 아펠과 폴 슈프^[12]).
• Artin-Tits의 초대형 그룹은 바이아우토메틱(David Peifer^[13])이다.
• 큰 타입의 아르틴 그룹은 일반 지오다이렉트(Derek Holt, Sarah Rees^[14])와 함께 숏렉스 오토매틱이다.

기타유형

아르틴의 다른 많은 가족들-Tits 집단이 확인되고 조사되었다.여기서 우리는 그들 중 두 명을 언급한다.

• 안 아르틴-Tits group ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ is said to be of FC type ("flag complex") if, for every subset ${\displaystyle S'}$ of ${\displaystyle S}$ such that ${\displaystyle m_{s,t}\neq \infty }$ for all ${\displaystyle s,t}$ in ${\displaystyle S'}$, the${\displaystyle {}^{}}$ $⟨{\displaystyle }$ S ${\displaystyle \prime }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {}^{}}$S ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \langle$ S$'\mid R\cap$ S$'{}^{2}\angle }}}$은 구형이다$$.그러한 집단은 CAT(0) 입체 복합체에 대해 비꼬듯이 행동하며, 그 결과, 원소에 대한 합리적인 정상적인 형태를 찾아내어 문제(Joe Altobelli와 Charney )라는 단어에 대한 해결책을 추론할 수 있다.대체적인 정상 형태는 멀티플렉스 축소에 의해 제공되는데, 이것은 구면 케이스(Dehornoy^[16])에서 불가해한 분수에 의해 직접적으로 그 표현을 확장시키는 불가해한 멀티플렉스(Intreducible multiplex)에 의한 독특한 표현을 제공한다.
• 안 아르틴-Tits 그룹은 관련 Coxeter 그룹이 Affine이면 Affine 타입이라고 한다.They correspond to the extended Dynkin diagrams of the four infinite families ${\displaystyle {\widetilde {A}}_{n}}$ for ${\displaystyle n\geqslant 1}$, ${\displaystyle {\widetilde {B}}_{n}}$, ${\displaystyle {\widetilde {C}}_{n}}$ for ${\displaystyle n\geqsla$$nt 2}$, and ${\displaystyle {\widetilde {D}}_{n}}$ for ${\displaystyle n\geqslant 3}$, and of the five sporadic types ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{6}}$, ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{7}}$, ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{8}}$, ${\displaystyle {\tilde{F}}_{}}$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_4}$ ${\$ $G{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$ 아핀 아르틴–Tits 그룹은 유클리드 타입이다: 연관된 Coxeter 그룹은 유클리드 공간에서 기하학적으로 작용한다.결과적으로, 그들의 중심은 사소한 것이고, 그들의 단어 문제는 디케이블이 된다(존 맥카몬드와 로버트 설웨이).2019년, 모든 아핀 아틴-에 $대해{\displaystyle }$ K (${\displaystyle \pi }$,${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle$ K (\$pi ,1)}$ 추측의$$ 증거가 발표되었다.Tits 그룹(마리오 살베티와 조반니 파올리니^[18]).

참고 항목

• 자유 부분 정류 단면체
• 아티니아 그룹(관련되지 않은 개념)
• 비확정암호법
• 초등 아벨 군

참조

추가 읽기

• Charney, Ruth (2007), "An introduction to right-angled Artin groups", Geometriae Dedicata, 125 (1): 141–158, arXiv:math/0610668, doi:10.1007/s10711-007-9148-6, MR 2322545
• Godelle, Eddy; Paris, Luis (2012), Basic questions on Artin–Tits groups, CRM Series, vol. 14, Ed. Norm., Pisa, pp. 299–311, doi:10.1007/978-88-7642-431-1_13, ISBN 978-88-7642-430-4, MR 3203644
• McCammond, Jon (2017), "The mysterious geometry of Artin groups", Winter Braids Lecture Notes, 4 (Winter Braids VII (Caen, 2017)): 1–30, doi:10.5802/wbln.17, MR 3922033
• Flores, Ramon; Kahrobaei, Delaram; Koberda, Thomas (2019). "Algorithmic problems in right-angled Artin groups: complexity and applications". Journal of Algebra. 519: 111–129. arXiv:1802.04870. doi:10.1016/j.jalgebra.2018.10.023. MR 3874519.