유한장 연산

수학에서, 유한장 산술은 유한장(유한 수의 요소를 포함하는 장)의 산술과 반대로 유리수의 장과 같은 무한 수의 요소가 있는 장에서의 산술이다.

무한히 많은 다양한 유한 필드가 있습니다.이들 요소의 수는 필연적으로 p 형식이다ⁿ.여기서 p는 소수이고 n은 양의 정수이며, 같은 크기의 두 개의 유한 필드는 동형이다.소수 p는 필드의 특성이라고 하며 양의 정수 n은 필드의 소수 p에 대한 필드의 차원이라고 합니다.

유한 필드는 BCH 코드 및 리드-솔로몬 오류 수정과 같은 선형 블록 코드의 고전 부호화 이론, Rijndael(AES) 암호화 알고리즘, 토너먼트 스케줄링 및 실험 설계에서 다양한 응용 프로그램에서 사용됩니다.

유효 다항식 표현

p 원소가 있는ⁿ 유한장은 GF(pⁿ)로 불리며, 유한장 이론의 창시자인 에바리스 갈로아에게 경의를 표하기 위해 p 순서의 갈로아ⁿ 필드라고도 불린다.여기서 p는 소수인 GF(p)는 단순히 정수 모듈로 p의 링입니다.즉, 정수에 대한 일반적인 연산을 사용하여 연산(더하기, 빼기, 곱하기)을 수행하고, 이어서 감소 모듈로 p를 사용할 수 있다.예를 들어 GF(5)에서 4 + 3 = 7은 2 모듈로 5로 감소한다.나눗셈은 확장 유클리드 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있는 역모듈로 p를 곱한 것입니다.

특별한 경우는 GF(2)입니다.여기서 덧셈은 배타적 OR(XOR)이고 곱셈은 AND입니다.반전할 수 있는 요소는 1뿐이므로 나눗셈은 아이덴티티 함수입니다.

GF(pⁿ)의 요소는 GF(p)에 대한 n보다 엄밀하게 작은 정도의 다항식으로 나타낼 수 있다.다음으로 예를 들어 다항식 장분할을 사용하여 R이 GF(p)에 대한 n차수의 환원 불가능한 다항식인 모듈로 R을 연산한다.두 개의 다항식 P와 Q의 덧셈은 평상시와 같이 수행된다. 곱셈은 다음과 같이 수행될 수 있다: W = P · Q를 평소대로 계산한 다음 나머지 모듈로 R을 계산한다.다항식 계수의 관점에서 이러한 표현을 단항 기준(일명 '다항식 기준')이라고 한다.

GF(pⁿ)의 원소에 대한 다른 표현들이 있다; 어떤 것들은 위의 다항식 표현과 동형이고 다른 것들은 상당히 다르게 보인다(예를 들어, 행렬을 사용하는 것).통상의 베이스의 사용에는, 상황에 따라서는 이점이 있는 경우가 있습니다.

소수가 2일 때, GF(p)의ⁿ 요소를 이진수로 표현하고, 다항식의 각 항의 계수는 대응하는 요소의 이진식에서 1비트로 표현됩니다.대괄호("{" 및 "}") 또는 이와 유사한 딜리미터는 일반적으로 이진수 또는 16진수 등가물에 추가되어 값이 필드의 기초 계수를 제공하므로 필드의 요소를 나타냅니다.예를 들어 특성 2 유한 필드에서의 동일한 값의 등가 표현은 다음과 같습니다.

다항식	x⁶ + x⁴ + x + 1
바이너리	{01010011}
16진수	{53}

원시 다항식

유한 필드를 생성하는 데 사용할 수 있는 많은 환원 불가능한 다항식(때로는 환원 다항식이라고도 함)이 있지만, 모두 필드를 동일하게 표현하지는 않습니다.

유한장 GF( $q$ )에 계수가 있는 $n차$ 다항식( $여기$ 서 q = $p t$ )은 그 근이 모두 GF( $q n$ )^[1]^[2]의 원시 원소일 경우 원시 다항식이라고 한다.유한 필드의 다항식 표현에서, 이것은 x가 원시 $요소임$ 을 암시한다.x가 원시 ^[3]원소인 $환원$ 불가능한 다항식이 적어도 하나 있다.즉, 원시 다항식의 경우 $x$ 의 거듭제곱은 필드에 0이 아닌 모든 값을 생성합니다.

다음 예제에서는 x의 $의미$ 가 예제 간에 변경되므로 다항식 표현을 사용하지 않는 것이 가장 좋습니다.GF(2)에 대한 단일 불가축 $다항식 8$ x + $x 4 3$ + $x$ + $1$ 은 원시적이지 않다. $θ$ 를 이 다항식의 근(다항식 표현에서 이것은 x일 $것$ 이다), 즉 $θ 8$ + $θ 4 3$ + $θ$ + 1 = $0$ 이라고 하자. 이제 $θ$ 는⁵¹ GF(2⁸)의 원시 원소가 아니므로 ^[4] $θ$ 는 51차 곱셈 부분군을 생성한다.필드 요소 $θ$ + $1$ 을 고려합니다(다항식 $표현$ 에서는 x + 1이 $됩니다$ ). $이제 (++1) 84$ + $(++1) 3$ + (++1 $) 2$ + $(++1)$ + $1$ =+ + $λ 843$ + + + $1$ + $1$ = 0이다. 이 원시 다항식의 모든 근은 원시 원소이므로, $is$ + 1은⁸ $GF$ (2 $) 255$ = 1의 원시 원소이며 더 작은 검정력은 없다.GF(2⁸)에는 128개의 제너레이터가 있습니다(원시 요소의 수 참조).유한 필드의 생성자로 x를 갖는 $것$ 은 많은 계산 수학 연산에 도움이 됩니다.

덧셈과 뺄셈

이들 다항식 중 두 개를 합산 또는 감산하고 특성에서 결과 모듈화를 줄임으로써 가감산한다.

특성 2를 갖는 유한장에서는 가산모듈로 2, 감산모듈로 2, XOR가 동일하다.따라서,

다항식	(x⁶⁴ + x + x + 1) + (x⁷⁶ + x³ + x + x) = x⁷ + x⁴ + 1³
바이너리	{01010011} + {11001010} = {10011001}
16진수	{53) + {CA} = {99}

다항식을 규칙적으로 더하면 합계는 2x⁶ 항을 포함할 것이다.이 용어는 0x가⁶ 되며, 응답이 modulo 2로 축소되면 폐기됩니다.

다음은 몇 가지 다항식의 정규 대수합과 특성 2 유한 필드합을 모두 포함하는 표입니다.

p₁	p₂	p₁ + p₂ 아래...
p₁	p₂	K[x]	GF(2ⁿ)
x³ + x + 1	x³ + x²	2x³ + x² + x + 1	x² + x + 1
x⁴ + x²	x⁶ + x²	x⁶ + x⁴ + 2x²	x⁶ + x⁴
x + 1	x² + 1	x² + x + 2	x² + x
x³ + x	x² + 1	x³ + x² + x + 1	x³ + x² + x + 1
x² + x	x² + x	2배² + 2배	0

컴퓨터 사이언스 어플리케이션에서는 GFⁿ(2) Galois 필드라고도 불리는 특성2의 유한 필드에 대해 연산이 간소화되어 이러한 필드는 어플리케이션에서 특히 인기 있는 선택지가 됩니다.

곱셈

유한장에서의 곱셈은 유한장을 정의하는 데 사용되는 환원 불가능한 환원 다항식인 곱셈 모듈로, 즉, 환원 다항식을 제수로 사용하는 곱셈 뒤에 나눗셈을 하는 것이다. 나머지는 곱이다.기호 "•"는 유한 필드에서의 곱셈을 나타내기 위해 사용될 수 있다.

리엔다엘(AES) 유한장

Rijndael(AES로 표준화)은 256개의 요소를 가진 특성 2 유한 필드를 사용합니다.이것은 갈로아 필드 GF(2)라고도⁸ 불립니다.곱셈에는 다음과 같은 환원 다항식을 사용합니다.

x⁸ + x⁴ + x³ + x + 1 입니다.

예를 들어 Rijndael 필드의 {53) • {CA} = {01}은(는) 다음과 같습니다.

	(x⁶⁴ + x + x + 1) (x⁷⁶ + x³ + x + x )
=	(x¹³ + x¹² + x⁹ + x⁷) + (x¹¹ + x¹⁰ + x⁷ + x⁵) + (x⁸ + x⁷ + x⁴ + x²) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x)
=	x¹³ + x¹² + x⁹ + x¹¹ + x¹⁰ + x⁵ + x⁸ + x⁴ + x² + x⁶ + x³ + x
=	x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x

그리고.

	x¹³¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + x mod⁸ x + x⁴ + x³¹ + 1
=	(111111011110 mod 100011011)
=	{3F7E mod 11B} = {01}
=	1 (표준)

후자는 긴 나눗셈을 통해 나타낼 수 있습니다(이치 표기는 작업에 적합하기 때문에 이진 표기를 사용하여 표시).예에서는 초등학교 긴 나눗셈에서 사용할 수 있는 산술 뺄셈이 아닌 배타적 OR이 적용됩니다.

            111111011110 (mod) 100011011 ^100011 011100011110110110110110110110110110110001

({53) 및 {CA} 요소는 곱셈이 1이므로 서로 역수입니다.)

이 특정 유한 필드의 곱셈은 수정된 버전의 "농어 알고리즘"을 사용하여 수행될 수도 있습니다.각 다항식은 위와 같은 이진법 표기를 사용하여 표현됩니다.각 (축소된) 다항식의 관점에서 0 ~ 7도만 가능하므로 8비트로 충분합니다.

이 알고리즘은 3개의 변수(컴퓨터 프로그래밍의 의미)를 사용합니다.각 변수는 8비트 표현을 가지고 있습니다.a와 b는 곱셈수로 초기화됩니다.p는 곱을 누적하여 0으로 초기화해야 합니다.

알고리즘의 시작과 끝, 그리고 각 반복의 시작과 끝에서는 이 불변성이 참입니다.a b + p는 곱입니다.알고리즘이 기동했을 때는, 이것은 분명히 들어맞습니다.알고리즘이 종료되면 a 또는 b가 0이 되므로 p에는 곱이 포함됩니다.

다음 루프를 8회(비트당 1회) 실행합니다.반복 전에 a 또는 b가 0일 때 정지해도 됩니다.
1. b의 최우측 비트가 설정되어 있는 경우는, 곱 p를 a의 값으로 배타적 또는 배타적 또는 배타적한다.이것은 다항식 덧셈입니다.
2. b를 오른쪽으로 1비트를 이동시켜 맨 오른쪽 비트를 폐기하고 맨 왼쪽 비트의 값을 0으로 합니다.다항식을 x로 나누면 x항이⁰ 삭제됩니다.
3. 의 왼쪽 끝 비트가 1로 설정되어 있는지 여부를 추적하고 이 값을 carry라고 부릅니다.
4. 왼쪽으로 1비트를 이동시켜 맨 왼쪽 비트를 삭제하고 새 맨 오른쪽 비트를 0으로 만듭니다.이것은 다항식에 x를 곱하지만, 우리는 여전히 x의⁷ 계수를 나타내는 자리올림을 고려할 필요가 있다.
5. carry 값이 1, 배타적 또는 16진수의 a인 경우0x1b(00011011(바이너리). 0x1b는 높은 항이 제거된 환원 불가능한 다항식에 해당합니다.개념적으로, 환원 불가능한 다항식 및 자리올림 가산 모듈로 2 to 0의 높은 항.
p는 현재 제품을 가지고 있다.

이 알고리즘은 특성 2의 다른 필드에 대한 곱셈으로 쉽게 일반화되며 a, b, p의 길이와 값을 변경합니다.0x1b적당하게.

곱셈 역

「Itoh-Tsujii 반전 알고리즘」도 참조해 주세요.

유한 필드의 요소 a에 대한 곱셈 역수는 여러 가지 방법으로 계산할 수 있습니다.

a에 필드 내의 모든 숫자를 곱하여 곱한 값이 1이 될 때까지 구합니다.이건 무차별적인 수색이야
GF(pⁿ)의 0이 아닌 원소들은 곱셈에 관해 유한군을 형성하기 때문에, a^pⁿ−1 = 1 (θ 0의 경우), 따라서 a의 역수는 a이다^pⁿ−2.
확장된 유클리드 알고리즘을 사용하여.
유한 필드에 대한 로그 및 지수 표를 만들고 p-1에서ⁿ 로그를 빼서 결과를 지수화합니다.
유한 필드에 대한 모듈러 곱셈 역테이블을 만들고 룩업을 한다.
반전이 더 간단한 복합 필드에 매핑하고 다시 매핑합니다.
특수 정수(소수의 유한 필드인 경우) 또는 특수 다항식(비소수의 유한 필드인 경우)을 구성하고 ^[5]a로 나눈다.

구현 요령

제너레이터 기반 테이블

작은 갈로아 필드에서 갈로아 필드 계산을 위한 알고리즘을 개발할 때 일반적인 성능 최적화 접근방식은 발생기 g를 찾아 항등식을 사용하는 것이다.

ab=g^{\log _{g}(ab)}=g^{\log _{g}(a)+\log _{g}(b)}

로그_g(a) 및 g^y 함수에 대한 일련의 테이블 룩업 및 정수 덧셈 연산으로 곱셈을 구현한다.그러면 모든 유한 필드에 생성기가 포함되어 있는 속성이 이용됩니다.Rijndael 필드 예제에서는 다항식 x + 1(또는 {03)이 이러한 생성자 중 하나입니다.다항식이 생성자가 되기 위해 필요하지만 충분하지 않은 조건은 환원할 수 없다.

구현에서는 a 또는 b가 0인 특수한 경우를 테스트해야 합니다.곱도 0이 되기 때문입니다.

다음과 같은 전략을 사용하여 등식과의 곱셈 역수를 결정할 수 있습니다.

\displaystyle a^{-1}=g^{\log _{g}\left(a^{-1}\right)}=g^{-\log _{g}(a)}=g^{g -\log _{g}(a)}}}

여기서 제너레이터의 순서 g는 필드의 0이 아닌 요소의 수입니다.GF(2⁸)의 경우 이는 2 - 1 = 255입니다⁸.즉, Rijndael의 예에서는 (x + ²⁵⁵1) = 1. 따라서 두 개의 조회 테이블과 하나의 정수 빼기로 수행할 수 있습니다.이 아이디어를 지수에 사용하면 다음과 같은 이점도 얻을 수 있습니다.

\displaystyle a^{n}=g^{\log _{g}\left(a^{n}\right)}=g^{n\log _{g}(a){\pmod {g}}}}

여기에는 정수 곱셈과 정수 모듈로 연산의 두 가지 테이블 룩업이 필요합니다.다시 한 번 특수한 경우 a = 0에 대한 검정을 수행해야 합니다.

그러나, 암호화 실장에서는, 많은 마이크로프로세서의 캐시 아키텍처에 의해서 메모리 액세스의 타이밍이 변화하기 때문에, 그러한 실장에는 주의가 필요합니다.이로 인해 타이밍 공격에 취약한 구현이 발생할 수 있습니다.

캐리어리스 곱셈

바이너리 필드 GFⁿ(2)의 경우 필드 곱셈은 cLMUL 명령 집합과 같은 캐리어리스 곱셈을 사용하여 구현할 수 있으며, 이는 n 64 64에 적합합니다.곱셈은 하나의 캐리어리스 곱셈을 사용하여 곱(최대 2n-1비트)을 생성하고, 또 다른 캐리어리스 곱셈은 필드 다항식의 사전 역수를 사용하여 몫 = "product / (field 다항식)"을 생성하고, 다음으로 xor: 결과 = product = product (field 다항식) δ (field 다항식) δ / (field 다항식)ial). 마지막 3단계(pclmulqdq, pclmulqdq, xor)는 x86 pclmulqdq ^[6]명령을 사용하여 CRC를 빠르게 계산하기 위해 Barrett 감소 단계에서 사용됩니다.

복합 필드

k가 합성수일 때, 이진수 필드 GF(2)에서^k 하위 필드 중 하나의 확장 필드, 즉 k = m n인 GF(2)ⁿ까지^m 동형상이 존재할 것이다.이러한 동형 중 하나를 활용하면 요소가 더 큰 서브필드에 ^[7]걸쳐 표현되는 트레이드오프와 함께 확장의 정도가 더 작기 때문에 수학적 고려를 단순화할 수 있다.하드웨어 구현의 게이트카운트를 줄이기 위해 프로세스에는 GF(2⁸)에서 GF(2)²²^[8]로의² 매핑 등 여러 네스팅이 필요할 수 있습니다.구현 제약이 있으며, 두 표현에서의 연산은 호환성이 있어야 하므로, 동형의 명시적 사용이 필요하다.보다 정확하게는, 이형성은 지도에 의해 표시될 것이다. 지도(a + b) = 지도(a) + 지도(b) 및 지도(b) = 지도(a) = 지도(b)를 만족시키는, GF^k^k(2)와 지도에서 왼쪽의 연산이 일어나기 전에 지도(a)의 요소를 GF(2)ⁿ에^m 매핑하는 바이젝션이다.동형사상은 보통 k행 x k비트 행렬을 사용하여 구현되며, K행 x 1비트 행렬로 취급되는 GF^k(2) 요소의 GF(2) 상에서 행렬 곱셈을 수행하는데 사용됩니다.α를 GF(2^k)의 원시 원소로, β를 GF(2)ⁿ의^m 원시 원소로 정의한다.그런^j 다음 β = map(α^j) 및^j α = map⁻¹(β^j)이다.α와 β의 값은 매핑 행렬과 그 역행렬을 결정한다.실제 수학은 GF(2)ⁿ에서^m 수행되기 때문에 GF(2^m)ⁿ에 대한 환원 다항식은 보통 원시이고 GF(2)ⁿ에서^m β = x이다.덧셈과 곱셈의 호환성 제약을 만족시키기 위해, 그 제약을 만족시키는 GF^k(2)의 임의의 원시 요소α를 선택하기 위한 검색이 이루어진다.GF(2^k)에 대한 환원 다항식이 원시적인 경우 대체 매핑 방법이 가능하다. 즉, GF^k(2)에 대한 환원 다항식의 1비트 계수는 GF^m(2)에 대한 m비트 요소 0 또는 1로 해석되며, 이들 중 어느 것이든 GF(2)ⁿ에^m 대한 환원 다항식으로 사용할 수 있는 n의 원시 계수가 m개 있게 된다.복합필드에 대한 매핑은 GF(p^k)를 임의의 prime에 대해 GF(p^m)ⁿ 등의 복합필드에 매핑하도록 일반화할 수 있다.

프로그램 예시

C 프로그래밍 예시

러시아 농민 곱셈 알고리즘을 사용하여 예를 들어 Rijndael 알고리즘이나 Reed-Solomon에 의해 사용되는 순서⁸ 2의 특징적인 유한 필드에 숫자를 추가하고 곱하는 C 코드를 다음에 나타냅니다.

/* GF(2^8) 유한 필드에 2개의 숫자를 추가합니다*/ uint8_t 추가(uint8_t a, uint8_t b) {  돌아가다 a ^ b; }  /* 정의된 GF(2^8) 유한 필드에 두 숫자를 곱합니다. * 모듈로 다항식 관계 x^8 + x^4 + x^3 + x + 1 = 0 * (또 다른 방법은 캐리어리스 곱셈을 한 후 모듈식 축소를 하는 것입니다) */ uint8_t gmul(uint8_t a, uint8_t b) {  uint8_t p = 0; 곱셈 곱셈용 /* 어큐뮬레이터 */  하는 동안에 (a != 0 & & b != 0) {         한다면 (b & 1) /* b에 대한 다항식의 항이 상수이면 해당 a를 p */에 추가합니다.             p ^= a; /* GF(2^m)의 덧셈은 다항식 계수의 XOR */          한다면 (a & 0x80) /* GF modulo:a의 항이 0이 아닌 x^7일 경우 x^8 */이 될 때 감소해야 합니다.             a = (a << > 1) ^ 0x11b; /* 원시 다항식 x^8 + x^4 + x^3 + x + 1 (0b1_0001_1011)을 빼기(XOR) – 변경할 수 있지만 축소할 수 없는 */         또 다른             a <<=> 1; /*는 a*x*/에 상당합니다.         b >>= 1;  }  돌아가다 p; }

이 예에서는 캐시, 타이밍 및 분기 예측 사이드 채널누설이 있어 암호화에는 적합하지 않습니다.

D 프로그래밍 예시

이 D 프로그램은 Rijndael의 유한 필드에 숫자를 곱하여 PGM 이미지를 생성합니다.

/** 정의된 GF(2^8) 유한 필드에 두 숫자를 곱합니다. x^8 + x^4 + x^3 + x + 1로 계산한다. */ u바이트 gmul(u바이트 a, u바이트 b) 순수하다 행하지 않다 {     u바이트 p = 0;      앞지르다 (불변의 u바이트 계산대; 0 .. 8) {         p ^= -(b & 1) & a;         자동 마스크 = -((a >> 7) & 1);         // 0b1_0001_1011은 x^8 + x^4 + x^3 + x + 1 입니다.         a = 출연자들(u바이트)((a << > 1) ^ (0b1_0001_1011 & 마스크));         b >>= 1;     }      돌아가다 p; }  무효 주된() {     수입품 표준.스태디오, 표준.컨벤트;     열거하다 폭 = u바이트.맥스. + 1, 높이 = 폭;      자동 f = 파일("rijndael_field_multipliation.pgm", "실패");     f.기입하다("P5\n%d %d\n255", 폭, 높이);     앞지르다 (불변의 y; 0 .. 높이)         앞지르다 (불변의 x; 0 .. 폭) {             불변의 차 c = gmul(x.로.!u바이트, y.로.!u바이트);             f.쓰다(c);         } }

이 예에서는 사이드 채널을 피하기 위해 브랜치 또는 테이블룩업을 사용하지 않기 때문에 암호화에 적합합니다.

「」를 참조해 주세요.

제크 로그

레퍼런스

^ 이러한 다항식의 근은 반드시 $GF$ (q)의 확장 필드에 있어야 한다. 왜냐하면 다항식은 환원 불가능하기 때문에 GF( $q$ )에 근이 없기 때문이다.
^ Mullen & Panario 2013, 17페이지
^ Design and Analysis of Experiments. John Wiley & Sons, Ltd. August 8, 2005. pp. 716–720. doi:10.1002/0471709948.app1.
^ Lidl & Niederreiter 1983, 553페이지
^ Grošek, O.; Fabšič, T. (2018), "Computing multiplicative inverses in finite fields by long division" (PDF), Journal of Electrical Engineering, 69 (5): 400–402, doi:10.2478/jee-2018-0059, S2CID 115440420
^ "Fast CRC Computation for Generic Polynomials Using PCLMULQDQ Instruction" (PDF). www.intel.com. 2009. Retrieved 2020-08-08.
^ "Efficient Software Implementations of Large FiniteFieldsGF(2n) for Secure Storage Applications" (PDF). www.ccs.neu.edu. Retrieved 2020-08-08.
^ "bpdegnan/aes". GitHub.
^ [1]^{[데드링크]}

원천

Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1983), Finite Fields, Addison-Wesley, ISBN 0-201-13519-1 (1984년 케임브리지 대학 출판부 ISBN 0-521-30240-4에 의해 재발행됨).
Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Handbook of Finite Fields, CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6

외부 링크

Gordon, G. (1976). "Very simple method to find the minimum polynomial of an arbitrary nonzero element of a finite field". Electronics Letters. 12 (25): 663–664. doi:10.1049/el:19760508.
da Rocha, V. C.; Markarian, G. (2006). "Simple method to find trace of arbitrary element of a finite field". Electronics Letters. 42 (7): 423–325. doi:10.1049/el:20060473.
Trenholme, Sam. "AE's Galois field".
Planck, James S. (2007). "Fast Galois Field Arithmetic Library in C/C++".
Wiki 다양성:코더용 리드-솔로몬– 유한 필드 산술

[1] 이러한 다항식의 근은 반드시 $GF$ (q)의 확장 필드에 있어야 한다. 왜냐하면 다항식은 환원 불가능하기 때문에 GF( $q$ )에 근이 없기 때문이다.

[2] Mullen & Panario 2013, 17페이지

[3] Design and Analysis of Experiments. John Wiley & Sons, Ltd. August 8, 2005. pp. 716–720. doi:10.1002/0471709948.app1.

[LN-4] Lidl & Niederreiter 1983, 553페이지

[5] Grošek, O.; Fabšič, T. (2018), "Computing multiplicative inverses in finite fields by long division" (PDF), Journal of Electrical Engineering, 69 (5): 400–402, doi:10.2478/jee-2018-0059, S2CID 115440420

[6] "Fast CRC Computation for Generic Polynomials Using PCLMULQDQ Instruction" (PDF). www.intel.com. 2009. Retrieved 2020-08-08.

[7] "Efficient Software Implementations of Large FiniteFieldsGF(2n) for Secure Storage Applications" (PDF). www.ccs.neu.edu. Retrieved 2020-08-08.

[8] "bpdegnan/aes". GitHub.

[9] [1]^{[데드링크]}

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