정상기준

수학, 특히 장의 대수학 이론에서 정상적 근거는 갈루아 그룹의 단일 궤도를 형성하는 것으로 특징지어지는 유한도의 갈루아 확장에 대한 특별한 종류의 근거다.정상근거 정리에는 어떤 유한한 갈루아 확장이라도 정상근거가 있다고 명시되어 있다.대수적 수 이론에서 정상 적분 원근의 존재에 대한 보다 정제된 문제에 대한 연구는 갈루아 모듈 이론의 일부분이다.

정상기준정리

Let ${\displaystyle F\subset K}$ be a Galois extension with Galois group ${\displaystyle G}$. The classical normal basis theorem states that there is an element ${\displaystyle \beta \in K}$ such that ${\displaystyle \{g(\beta ):g\in G\}}$ forms a basis of K, considered as a vector space over F. That is, any element ${\displaystyle \alpha \in K}$ can be written uniquely as ${\textstyle \alpha =\sum _{g\in G}a_{g}\,g(\beta )}$ for some elements ${\displaystyle a_{g}\in F.}$

A normal basis contrasts with a primitive element basis of the form ${\displaystyle \{1,\beta ,\beta ^{2},\ldots ,\beta ^{n-1}\}}$, where ${\displaystyle \beta \in K}$ is an element whose minimal polynomial has degree ${\displaystyle n=[K:F]}$.

그룹 표현 관점

갈루아 그룹 G가 ${\displaystyle 있는}$ 필드 확장자 $K{\displaystyle }$/ F ${\displaystyle K/F}$는 각 자동형이 저절로 표현되는 필드 F를 통해 그룹 G의 표현으로 자연스럽게 볼 수 있다.Representations of G over the field F can be viewed as left modules for the group algebra ${\displaystyle F[G]}$. Every homomorphism of left ${\displaystyle F[G]}$-modules ${\displaystyle \phi :F[G]\rightarrow K}$ is of form ${\displaystyle \phi (r)=r\beta }$ for some ${\displaystyle \beta \in K}$${\displaystyle \beta \in K}$. Since ${\displaystyle \{1\cdot \sigma \sigma \in G\}}$ is a linear basis of ${\displaystyle F[G]}$ over F, it follows easily that ${\displaystyle \phi }$ is bijective iff ${\displaystyle \beta }$ generates a normal basis of K over F.따라서 정상적인 기준 정리는 $K{\displaystyle /F}$ ${\displaystyle K/F}$이(가) 유한 갈루아 확장인$$ 경우, $K{\displaystyle f}$ F${\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$]$${\$displaystyle K\cong F[$G]} -module로$$$$ $왼쪽{\displaystyle }$ F${\displaystyle }$[${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystystyle F[G]}$ -modules.F에 대한 G의 표현으로 볼 때, 이것은 K가 정규 표현에 대해 이형성이라는 것을 의미한다.

유한장의 경우

유한 분야의 경우 다음과 같이 말할 수 있다.^[1]Let ${\displaystyle F=\mathrm {GF} (q)=\mathbb {F} _{q}}$ denote the field of q elements, where q = p^m is a prime power, and let ${\displaystyle K=\mathrm {GF} (q^{n})=\mathbb {F} _{q^{n}}}$ denote its extension field of degree n ≥ 1.Here the Galois group is ${\displaystyle G={\text{Gal}}(K/F)=\{1,\Phi ,\Phi ^{2},\ldots ,\Phi ^{n-1}\}}$ with ${\displaystyle \Phi ^{n}=1,}$ a cyclic group generated by the q-power Frobenius automorphism ${\displaystyle \Phi (\alpha )=$$\alpha ^{q},$ \${\displaystyle n^{}}$= ${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \Phi ^{n}=1=\mathrm {Id} _{K}}}$ 그러면$$$$ 다음과 같은 원소 β ∈ K가 존재한다.

K over F의 기본이다.

유한분야 증명

Galois 그룹이 위와 같이 주기적인 경우,$$${\displaystyle {\phi n}^{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\$$displaystyle$ \$Phi }$에 의해 생성되며, φn = 1, {\$displaystyle \Phi ^{n}=1,}$ Normal$$ Basis Organization은 두 가지 기본적인 사실에서 다음과 같다.The first is the linear independence of characters: a multiplicative character is a mapping χ from a group H to a field K satisfying ${\displaystyle \chi (h_{1}h_{2})=\chi (h_{1})\chi (h_{2})}$; then any distinct characters ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldo$$ts }$은(는) 매핑의 K-벡터 공간에서 선형적으로 독립적이다$$.이것을 갈루아 그룹 자동화 isms ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle \phi }$ i${\displaystyle {}^{}}$: K${\displaystyle }$→ ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \chi _{i}=\Phi ^{i}:$$K\to K,}$ thought of as mappings from the multiplicative group ${\displaystyle H=K^{\times }}$. Now ${\displaystyle K\cong F^{n}}$as an F-vector space, so we may consider ${\displaystyle \Phi :F^{n}\to F^{n}}$ as an element of the matrix algebra ${\displaystyle M$$_{n}(F);}$ since its powers ${\displaystyle 1,\Phi ,\ldots ,\Phi ^{n-1}}$ are linearly independent (over K and a fortiori over F), its minimal polynomial must have degree at least n, i.e. it must be ${\displaystyle X^{n}-1}$.

The second basic fact is the classification of finitely generated modules over a PID such as ${\displaystyle F[X]}$. Every such module M can be represented as ${\textstyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {F[X]}{(f_{i}(X))$$}}}$, where ${\displaystyle f_{i}(X)}$ may be chosen so that they are monic polynomials or zero and ${\displaystyle f_{i+1}(X)}$ is a multiple of ${\displaystyle f_{i}(X)}$. ${\displaystyle f_{k}(X)}$ is the monic polynomial of smallest degree annihilating the moduli 또는 0이 아닌 다항식이 없는 경우 0.In the first case ${\textstyle \dim _{F}M=\sum _{i=1}^{k}\deg f_{i}}$, in the second case ${\displaystyle \dim _{F}M=\infty }$. In our case of cyclic G of size n generated by ${\displaystyle \Phi }$ we have an F-algebra isomorphism $F[G]\cong \frac{F[X]}{(X^{}}$${\textstyle F[G]\cong {\frac {F[X]}{(X^{n}-1)}}}$ where X corresponds to ${\displaystyle 1\cdot \Phi }$, so every ${\displaystyle F[G]}$-module may be viewed as an ${\displaystyle F[X]}$-module with multiplication by X being multiplication by ${\displaystyle 1\cdot \Phi }$. In caseof K this means ${\displaystyle X\alpha =\Phi (\alpha )}$, so the monic polynomial of smallest degree annihilating K is the minimal polynomial of ${\displaystyle \Phi }$. Since K is a finite dimensional F-space, the representation above is possible with ${\displaystyle f_{k}(X)=X^{n}-1}$$$. Since ${\displaystyle \dim _{F}(K)=n,}$ we can only have ${\displaystyle k=1}$, and ${\textstyle K\cong {\frac {F[X]}{(X^{n}{-}\,1)}}}$ as ${\displaystyle F[X]}$-modules.(참고 이것은 F-선형 공간의 이형성이지만, 고리나 F-알게브라는 아니다!)This gives isomorphism of ${\displaystyle F[G]}$-modules ${\displaystyle K\cong F[G]}$ that we talked about above, and under it the basis ${\displaystyle \{1,X,X^{2},\ldots ,X^{n-1}\}}$ on the right side corresponds to a normal basis ${\displaystyle \{\beta ,\mathrm{\Phi }(\beta ),{\mathrm{\Phi }}^2(\beta ),\dots ,}$${\displaystyle {\mathrm{\phi }}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle \beta }$ )${\displaystyle }$}$${\$displaystyle \{\beta$,\$Phi$(\$beta ),\Phi$^{$2}(\beta ),\ldots$,\$Phi$^{$n-1}(\beta )\}$K.

이 증거는 주기적인 쿠머 연장의 경우에도 적용된다.

예

Consider the field ${\displaystyle K=\mathrm {GF} (2^{3})=\mathbb {F} _{8}}$ over ${\displaystyle F=\mathrm {GF} (2)=\mathbb {F} _{2}}$, with Frobenius automorphism ${\displaystyle \Phi (\alpha )=\alpha ^{2}}$.위의 증거는 G (또는 F[G]-모듈의 표현으로서 K의 구조 측면에서 정상 베이스의 선택을 명확히 한다.돌이킬 수 없는 요소화

${\displaystyle X^{n}-1\ =\ X^{3}-1\\ (X{+}1)(X^{2}{+}X{+}1)\\in \ F[X]}}$

즉, F[G]-modules의 직접적인 합을 갖는다(중국의 나머지 정리).

${\displaystyle K\ \cong \ {\frac {F[X]}{(X^{3}{-}\,1)}}\ \cong \ {\frac {F[X]}{(X{+}1)}}\oplus {\frac {F[X]}{(X^{2}{+}X{+}1)}}.}$

The first component is just ${\displaystyle F\subset K}$, while the second is isomorphic as an F[G]-module to ${\displaystyle \mathbb {F} _{2^{2}}\cong \mathbb {F} _{2}[X]/(X^{2}{+}X{+}1)}$ under the action ${\displaystyle \Phi \cdot X^{$$i}=X^{i+1}.$ $$(Thus $K{\displaystyle }$≅ F ${\displaystyle {}_{}}$⊕ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\$는 F[G]-modules로 지정되지만$$ F-algebras는 지정되지 않음)

The elements ${\displaystyle \beta \in K}$ which can be used for a normal basis are precisely those outside either of the submodules, so that ${\displaystyle (\Phi {+}1)(\beta )\neq 0}$ and ${\displaystyle (\Phi ^{2}{+}\Phi {+}1)(\beta )\neq 0}$. In terms of the G-orbitK의 s는, 다음과 같은 불가해한 요인에 해당한다.

the elements of ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{2}}$ are the roots of ${\displaystyle t(t{+}1)}$, the nonzero elements of the submodule ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$ are the roots of ${\displaystyle t^{3}+t+1}$, while the normal basis, which in this case is unique,나머지 인자 $t{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}{}^{}}$+ 1 ${\displaystyle t^{3}{+}t^{2}{+}1}$의 루트에 의해 주어진다$.$

대조적으로$$ $확장{\displaystyle }$ 필드 L${\displaystyle }$= ${\displaystyle G\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{F}}$( ${\displaystyle {}^{}{4\mathrm{}}^{}}$) = F ${\displaystyle {16}_{}}${\$displaystyle$ L$=\mathrm$ {$GF}(2^{4})=\mathb {F} _{$16$}$에 대해 n = 4를 p = 2로 나눌 수 없는 F[G]-module 이형성이 있다.

Here the operator ${\displaystyle \Phi \cong X}$ is not diagonalizable, the module L has nested submodules given by generalized eigenspaces of ${\displaystyle \Phi }$, and the normal basis elements β are those outside the largest proper generalized eigenspace, the elements with ${\displaystyle ($$\Phi {+}1}^{3}(\beta )\neq$ 0$}$.

암호화에 대한 응용 프로그램

정상 기준을 사용한 산술은 일반적으로 다른 베이스를 사용하는 것보다 연산 효율성이 높기 때문에 타원 곡선 암호법과 같은 이산 로그 문제에 기초한 암호 애플리케이션에 자주 사용된다.

예를 들어 위의$$ $K{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{G}}$ F${\displaystyle }$( ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ K$=\mathrmat {GF}(2^{3})=\mathb {F} _{8}$ 필드에서 다음과 같이 요소를 비트 스트링으로 나타낼 수 있다.

where the coefficients are bits ${\displaystyle a_{i}\in \mathrm {GF} (2)=\{0,1\}.}$ Now we can square elements by doing a left circular shift, ${\displaystyle \alpha ^{2}=\Phi (a_{2},a_{1},a_{0})=(a_{1},a_{0},a_{2})}$, since squaring β는⁴ β⁸ = β를 부여한다.이것은 빈번한 스쿼링을 이용하는 암호 시스템의 일반적인 기초를 특히 매력적으로 만든다.

무한 확장 필드의 사례에 대한 증거

$K{\displaystyle }$/ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K/F}$이(가) 무한 필드 F의 유한한 갈루아 확장이라고 가정해 보십시오.Let${\displaystyle }$[${\displaystyle K}$: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ]}$= n ${\displaystyle [K:F]=n$ ${\displaystyle \mathrm{Gal}(K}$/ F${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= G${\displaystyle }$= {${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$. . .$}$ {\$displaystyle$ {\$text{Gal}(K/F)=$로 한다.$G=\{\sigma _{1}...$$\sigma _{n$ 여기서 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \text{ID}}$ ${\$$Id}}}$. By the primitive element theorem there exists ${\displaystyle \alpha \in K}$ such that ${\displaystyle K=F[\alpha ]}$. Let f be the minimal monic polynomial of ${\displaystyle \alpha }$. Then f is an irreducible monic polynomial of degree n over F.$\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= α$$ ${\displaystyle {}_{}}$ α$$\$displaystyle \alpha _{i}=\sigma$ $_$${i}\$$neq \alpha$ $\}\}.$ f는 $도{\displaystyle }$ n이기 때문에${\displaystyle }$${\displaystyle {\alpha }_{}}$ i$$ ${\displaystyle {}_{}}$ α ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$displaysty$ $\$$neq \j$

바꾸어 말하면, 환언하면Note that ${\displaystyle g(\alpha )=1}$ and ${\displaystyle g_{i}(\alpha )=0}$ for ${\displaystyle i\neq 1}$. Next, define an ${\displaystyle n\times n}$ matrix A of polynomials over K and a polynomial D byObserve that ${\displaystyle A_{ij}(X)=g_{k}(X)}$, where k is determined by ${\displaystyle \sigma _{k}=\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}}$; in particular ${\displaystyle k=1}$ iff ${\displaystyle \sigma _{i}=\sigma _{j}^{-1}}$. It followsthat ${\displaystyle A(\alpha )}$ is the permutation matrix corresponding to the permutation of G which sends each ${\displaystyle \sigma _{i}}$ to ${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$. (We denote by ${\displaystyle A(\alpha )}$ the matrix obtained by evaluating ${\displaystyl$$e{\displaystyle }$ $A(X)}$ x$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle$ x$=\alpha })$ 그러므로 $D{\displaystyle (\alpha }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle A(\alpha }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$± 1 ${\displaystyle$ D$(\alpha )=\det$ A$(\alpha )=\pm 1$ 우리는 D가 0이 아닌 $다항식$이고 따라서 뿌리가 유한하다는 것을 알 수 있다.F가 무한하다고 가정했기 때문에, $우리$는 D${\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ ( ) ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle D(a)\neq$ 0$}$과 같은 ${\displaystyle \in }$ F ${\displaystyle a\in$ F$}$를 $찾을{\displaystyle }$ 수 있다$.$ 정의하라.우리는 {${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\beta _{1},\ldots,\beta _{n}\}}}$이(가) 정상적인 기준이라고$$ 주장한다.We only have to show that ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}$ are linearly independent over F, so suppose ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}x_{j}\beta _{j}=0}$ for some ${\displaystyle x_{1}...$$x_{n}\in F$ 자동형성 ${\displaystyle i_{}}$ i${\$}을 $\underset{}{\overset{}{적용}}$하면$\underset{=}{\overset{}{}}$ j = ${1n}_{}$ $x_{}$ j ${}_{}{}_{}$($g$ j$$)$$= $0$ ${\textstyle \sum \{j=1}x_{j}\sigma$ _${i}(g})(a)=0}}}}}}}}}}}}.$In other words, ${\displaystyle A(a)\cdot {\overline {x}}={\overline {0}}}$. Since ${\displaystyle \det A(a)=D(a)\neq 0}$, we conclude that ${\displaystyle {\overline {x}}={\overline {0}}}$, which completes the proof.

It is tempting to take ${\displaystyle a=\alpha }$ because ${\displaystyle D(\alpha )\neq 0}$. But this is impermissible because we used the fact that ${\displaystyle a\in F}$ to conclude that for any F-automorphism ${\displaystyle \sigma }$ and polynomial ${\displaystyle h(X)}$ over $$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a}$에서 다항식${\displaystyle }$poly ( h ( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \sigma (h(a)}$의 값이$$ $\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle h)\}}$과 같다$$$.$

원시정상기초

유한장 E/F 확장의 원시적 정상기준은 E의 원시적 요소에 의해 생성되는 E/F에 대한 정상기준으로, 이는 $승법군{\displaystyle {}^{}}$ K ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$ K$^{\time$ $\}\}\}\}.$ (이는 일반적 정상B 뒤에 언급된 것보다 더 제한적인 원시적 요소의 정의라는 점에 유의한다.asis 정리: 원소의 힘을 요구하여 K의 모든 0이 아닌 원소를 만들도록 하는 것이지 단순한 근거가 아니다.)Lenstra와 Schoof(1987)는 F가 해롤드 데이븐포트에 의해 정착된 프라임 필드인 경우, 모든 유한 필드 확장이 원시적인 정상 기반을 가지고 있음을 증명했다.

자유요소

K/F가 Galois 확장자이고 E에서 x가 F에 대해 정상적인 기준을 생성하는 경우, x는 K/F에서 자유롭다.x가 갈루아 그룹 G의 모든 부분군 H에 대해 고정된 필드 K와^H 함께 x가 K/K에^H 대해 무료인 속성을 가지고 있다면, x는 K/F에서 완전히 무료라고 한다.모든 갈루아의 확장에는 완전히 자유로운 요소가 있다.^[2]

참고 항목

• 필드 확장의 이중 기반
• 다항식 기준
• 제크의 로그

참조

• Cohen, S.; Niederreiter, H., eds. (1996). Finite Fields and Applications. Proceedings of the 3rd international conference, Glasgow, UK, July 11–14, 1995. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 233. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56736-7. Zbl 0851.00052.
• Lenstra, H.W., jr; Schoof, R.J. (1987). "Primitive normal bases for finite fields". Mathematics of Computation. 48 (177): 217–231. doi:10.2307/2007886. JSTOR 2007886. Zbl 0615.12023.
• Menezes, Alfred J., ed. (1993). Applications of finite fields. The Kluwer International Series in Engineering and Computer Science. Vol. 199. Boston: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0792392828. Zbl 0779.11059.