원시 요소(마인릿 필드)

장 이론에서 유한장 GF(q)의 원시 원소는 장의 승수집단의 발생원이다.즉, α α α GF(q)는 GF(q)에서 단결의 원시적(q - 1) 뿌리라면 원시적 원소라고 불리는데, 이는 GF(q)의 각 0이 아닌 원소는 일부 정수 i에 대해 α로ⁱ 표기할 수 있다는 것을 의미한다.

q가 소수일 경우, GF(q)의 요소는 정수 modulo q로 식별할 수 있다.이 경우 원시적 원소를 원시적 뿌리모듈로 q라고도 한다.

예를 들어, 2는 필드 GF(3)와 GF(5)의 원시 요소지만, 순서 3의 주기적 하위 그룹 {2, 4, 1}을(를) 생성하므로 GF(7)의 원시 요소는 아니다. 그러나 3은 GF(7)의 원시 요소다.원시 원소의 최소 다항식은 원시 다항식이다.

특성.

원시 원소 수

유한장 GF(q)의 원시 원소의 수는 φ(q - 1)이며, 여기서 φ은 상대적으로 m에 프라임인 m보다 작거나 같은 원소의 수를 계산하는 오일러의 토텐 함수다.이는 유한장 GF(q)의 곱셈군이 순서 q - 1의 주기적이라는 정리와, 순서 m의 유한 주기 그룹이 φ(m) 생성자를 포함하고 있다는 사실을 정리로 증명할 수 있다.

참고 항목

• 단순연장
• 원시요소정리
• 제크의 로그

참조

• Lidl, Rudolf; Harald Niederreiter (1997). Finite Fields (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-39231-4.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Primitive Polynomial". MathWorld.