두 번째 파생상품의 대칭성

수학에서 두 번째 파생상품의 대칭성(혼합부분의 동일성이라고도 함)은 함수의 부분파생상품을 취하기 위한 순서를 바꿀 수 있는 특정 조건(아래 참조)에서의 가능성을 가리킨다.

${\displaystyle f\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots,\,x_{n}\right)}$

n개의 변수의대칭은 2차 부분파생상품이 정체성을 만족시킨다는 주장이다.

${\displaystyle {\frac{\frac}{\property x_{i}}\precan\fac{\precovery f}{\precipal x_{j}}\\\\precovery f}{\precaps x_{i}}\prec}\ription f}오른쪽)$

함수의 헤시안 행렬로 알려진 n × n 대칭 행렬을 형성한다.이것은 때로 슈바르츠의 정리, 클레라우트의 정리, 영의 정리 등으로 알려져 있다.^[1][2]

부분 미분 방정식의 맥락에서 그것은 슈바르츠 통합성 조건이라고 불린다.

대칭의 공식 표현

기호에서 대칭은 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x\,\partial y}}\ =\ {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y\,\partial x}}.}$

또 다른 표기법은 다음과 같다.

${\displaystyle \cHB_{x}\f=\{y}f=\f=\f=\i1}\i1}{x}f\qquad {\text{or}}\qquad f_{yx}=f_{xy}.}$

x에_i 대해 부분파생상품을 취하는 차등사업자의 구성상_i D:

${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$

이 관계에서 D에_i 의해 생성되는 일정한 계수를 갖는 미분 연산자의 링은 역작용이지만, 이는 충분히 상이한 기능의 영역에 걸친 연산자로서만 적용된다.x의_i 다항식을 도메인으로 가져갈 수 있도록 단항형(monomials)에 적용되는 대칭을 쉽게 확인할 수 있다.사실 원활한 기능은 또 다른 유효한 영역이다.

역사

특정 조건에서 혼합된 부분파생상품의 동일성에 대한 결과는 오랜 역사를 가지고 있다.성공하지 못한 제안의 증거 목록은 이미 1721년에 베르누이가 형식적인 정당성 없이 암묵적으로 결과를 상정했음에도 불구하고 1740년에 출판된 오일러의 것으로 시작되었다.^[3][4]클레라우트도 1740년에 제안된 증거를 발표했는데, 18세기 말까지 다른 시도는 없었다.그 때부터 70년이라는 기간 동안 여러 가지 불완전한 증명서가 제안되었다.라그랑주(1797년)의 증거 코시(1823년)을 입었지만 일부 파생 상품의 존재와 연속성 2f∂ x2{\displaystyle{\tfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}∂}}을 잡은}과∂ 2f∂는 y2{\displaystyle{\tfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}.[5] 다른 시도 ma다가 좋아졌어요.드P. 블랑쉬트(1841), 두하멜(1856), 스터름(1857), 슐뢰밀치(1862), 베르트랑(1864).마침내 1867년 린델뢰프는 이전의 모든 결함 있는 증거를 체계적으로 분석하여 혼합파생상품이 동등하지 못한 특정 사례를 보여줄 수 있었다.^[6][7]

그로부터 6년 후, 슈바르츠는 첫 번째 엄격한 증거를 제시하는 데 성공했다.^[8]디니는 나중에 슈바르츠보다 더 일반적인 조건을 발견함으로써 기여했다.결국 1883년 요르단에 의해 깨끗하고 일반적인 버전이 발견되었는데, 이것은 여전히 대부분의 교과서에서 발견되는 증거다.이전 버전의 작은 변형은 Laurent (1885년), Peano (1889년 및 1893년), J. Edwards (1892년), P. Hag (1893년), J. K에 의해 출판되었다.휘트모어(1898), 비반티(1899), 피에르폰트(1905).1907년부터 1909년까지 E. W. Hobson과 W. H. Young이 슈바르츠와 디니의 그것보다 조건이 약한 증거를 발견하면서 더 많은 진전이 이루어졌다.1918년 카라테오도리는 르베그 적분을 바탕으로 다른 증거를 제시했다.^[7]

슈바르츠 정리

수학적 분석에서, 슈바르츠의 정리(혼합 partials의 평등에 클레로의 정리.)[9]알렉시스 AlexisClaude와 헤르만 슈바르츠의 이름을 딴, 만약 p가 f:Ω → R{\displaystyle f\colon \Omega\to \mathbb{R}}는 기능에 대한 집합 Ω에}, ⊂ Rn{\displaystyle \Omega \subset \mathbb{R}^{n}정의된 ∈ R이라고 말한다 n${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}$ is a point such that some neighborhood of ${\displaystyle \mathbf {p} }$ is contained in ${\displaystyle \Omega }$ and ${\displaystyle f}$ has continuous second partial derivatives at the point ${\displaystyle \mathbf {p} }$, then ${\displaystyle \mathrm{\forall }i,j\in \{1,2,\dots }$${\displaystyle \all$

${\displaystyle {\frac {\mathbf{{i}\,\mathbf{p}}f(\mathbf {p})={\frac {\mathbf{p}}}={\mathb}f}f(\mathbf {p}).}$

이 기능의 부분파생상품은 그 시점에 통용된다.

일반적으로 결과를 쉽게 수반하는 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n=2$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$= 1 ${\displaystyle i=$1$\},$${\displaystyle \mathrm{j}}$ = 2$${\$displaystyle j=2$의 경우) 이 정리를 설정하는 한 가지 쉬운 방법은 $f{\displaystyle }$. ${\displaystyle f$의 구배에 그린의 정리를 적용하는 것이다$.$$}$

비행기의 오픈 서브셋 기능에 대한 기본적인 증거는 다음과 같다(단순히 줄임으로써 슈바르츠 정리에 대한 일반적인 경우는 평면 케이스로 분명히 감소한다).^[10]Let ${\displaystyle f}$ be a differentiable function on an open rectangle containing ${\displaystyle (a,b)}$ and suppose that ${\displaystyle df}$ is continuous with ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$ and ${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$ both연속의정의

${\displaystyle {\begin{aligned}u\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right),\\v\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a,\,b+k\right),\\w\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right)-f\left(a,\,b+k\right)+f\left(a,\,b\right).\end{정렬}}}$

이러한 기능은 h, k<>ε{\displaystyle \left, \varepsilonk\right<>,\,\left h\right},ε 을, 0{\displaystyle \varepsilon>0}과[한 − ε,+ε]×⊂ Ω{\displaystyle \left[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon \right]\times \left는 경우에는 b-\varepsilon ,\,b+\varepsi[b− ε, b+ε]정의되어 있다.오랜 \right])$하위$ 집합 $\Oomega }$.

평균값 정리로는 중간값 $\theta {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \theta {}^{}\varphi }$, ${\displaystyle \varphi {}^{}}$, ${\displaystyle {\backslash ,\mathrm{}}^{}}$ \, \$displaystyle$$prime$$}$에서${\displaystyle }$($0$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystylem)$을 찾을 수 있다$$$.$

$왼쪽(h,\,\,k\오른쪽)&=u\좌(h,\,k\우)-좌(우, 0,\,k\우)=h,\,\i1_{x}u\좌(\theta h,\,k\우)\\&=h\,\왼쪽[오른쪽] \{x}f\왼쪽(a+\theta h,\b+k\오른쪽)-\{x}f\왼쪽(a+\thea h,\b\오른쪽)\오른쪽]\\&=hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)\\w\left(h,\,k\right)&=v\left(h,\,k\right)-v\left(h,\,0\right)=k\,\partial _{y}v\left(h,\,\phi k\right)\\&=k\left[\lift] \{y}f\left(a+h,\,b+\phi k\right)-\i1\{y}f\left(a,\,b+\phi k\right)\right]\right].\&=hk\,\cHB _{x}\i1\{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\b+\phi k\right)\end{정렬}}}$

${\displaystyle \mathrm{h}}$, ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ne }$ 0 ${\displaystyle h,\,k\neq 0}$ 이후$,$ 아래의 첫 번째 동일성은 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle hk}$로 나눌 수 있다$.$

${\displaystyle {\premise}hk\,\ft_{x}f\left(a+\theta h,\b+\theta ^{\prime }k\right)&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right),\\\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{정렬}}}$

$h{\displaystyle }$, ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h,\,k}$이(가) 마지막 동등에서 영(0)이 되는 경향이$$ 있으므로,${\displaystyle {\mathrm{}}_y}$ y $∂$ ${\displaystyle {}_{}}$ f$$\$partial _{y}\partial _{$${\displaystyle {}_{}}$$}f$$}$ 및${\displaystyle {\mathrm{}}_{}{x}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ y f ${\partial \partial _{y}f}$에 대한 연속성 가정은 이제$$ 이를 암시한다.

${\displaystyle {\frac {\property ^{2}}:{\pa x\pair y}f\left(a,\,b\right)={\frac {\pa,pa,pa,b\right)={\pa,pa,pa.}$

이 설명은 버킬, 아포톨, 루딘과 같은 많은 교과서에서 찾아볼 수 있는 간단한 고전적인 방법이다.^[11][12]

위의 파생이 기초적이긴 하지만, 그 결과가 더욱 분명해 질 수 있도록 접근법도 좀 더 개념적인 관점에서 볼 수 있다.^{[13][14][15][16][17]}Indeed the difference operators ${\displaystyle \Delta _{x}^{t},\,\,\Delta _{y}^{t}}$ commute and ${\displaystyle \Delta _{x}^{t}f,\,\,\Delta _{y}^{t}f}$ tend to ${\displaystyle \partial _{x}f,\,\,\partial _{y}f}$ as ${\displaystyle t}$ tends에서 0까지, 2차 주문 연산자에 대해서도 유사한 문구를 사용한다.^[a]여기서 $평면{\displaystyle }$ 내의 벡터 ${\displaystyle z}$과 방향$$ 벡터 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에 대해 차이 연산자는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Delta _{u}^{t(z)={f(z+tu)-f(z) \over t}.}$

${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle C^{1}$ 함수$$ f {\$displaystyle$ $I}$에 대한 미적분학의 기본 정리에 의해 $(.{\displaystyle b}$ )${\displaystyle i}$ I ${\displaystyle$ I}과$(.b)\subset I}$이(가) 있는 개방 간격 $I{\displaystyle }$ {\displaystystyleyle I} f$}$에 $대해{\displaystyle }$ f} ${\$colume f}이 된다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f^{\premy }(x)\,dx=f(b)-f(a).}$

그러므로

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$(${\displaystyle b}$- a${\displaystyle }$) ${\displaystyle \underset{}{supp}}$ ${\displaystyle \underset{}{c}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{(,b}}$ ) ${\displaystyle f\underset{}{}{}^{}}$ ′ (, ${\displaystyle b\underset{}{}}$) f ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle }$) $displaystyle f(b)-f(a)\leq$ ($b-a)\,\sup _{$c\$in (a,b)}$ f$^{\primium$

이것은 평균값 정리의 일반화된 버전이다.실제 가치 함수에 대한 maxima 또는 minima에 대한 기본적인 논의는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$f}$이$({\displaystyle }$가) [$a,b]$에서 연속적이고$$$$ ${\displaystyle (,}$${\displaystyle }$${\displaystyle b}$) ${\displaystyle$($a,b$$)\}$에 서로 다른 $경우{\displaystyle }$, ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$)에$$c {\$displaystystyle$$c}$이 있다는$$ 것을 의미한다는 것을 기억하십시오$.$t

${\displaystyle {f(b)-f(a) \over b-a}=f^{\premy }(c).}$

$유한{\displaystyle }$ 차원 규범 공간인 V {\$displaystyle$ $V}$을(를$)$ 가진 벡터 값 함수의 경우, 위의 동등성의 아날로그가 없으며, 실제로 실패한다.그러나 ${\displaystyle inf}$ ${\displaystyle {}^{}}$f f ${\displaystyle {}^{}(}$c${\displaystyle }$) ${\displaystyle supp}$ f${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ f$^{\premy }\leq f^{}(c)\leq \sup$ f$^{\premy }}}}}}$이(가) 있으므로 위의 불평등은 유용한 대체품이다$.$또한 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 이중 표준과$$ 쌍을 사용하면 다음과 같은 불평등이 발생한다.

${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$(${\displaystyle b}$- ${\displaystyle a}$) ${\displaystyle \underset{}{supp}}$ ${\displaystyle \underset{}{c}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$( ${\displaystyle \underset{}{a}}$ ,${\displaystyle \underset{}{}b\underset{}{}}$) f ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ b ) ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ′ ( )${\displaystyle }${ (c ) $\\displaystyle \f(b)-f(a)\leq (b-a)\,\sup _${$c\in$ ($b)\f^{{}(c$)\c)\c$)\backslash$c$)\$c\c\c)\c)\c}.

평균가치가 높은 정리의 이러한 버전은 루딘, ö르만데르, 그 외 다른 곳에서 논의된다.^[19][20]

For ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle C^{2}}$ function on an open set in the plane, define ${\displaystyle D_{1}=\partial _{x}}$ and ${\displaystyle D_{2}=\partial _{y}}$. Furthermore for ${\displaystyle t\neq 0}$ set

${\displaystyle \Delta _{1}^{t}f(x,y)=[f(x+t,y)-f(x,y)]/t,\,\,\,\,\,\,\Delta _{2}^{t}f(x,y)=[f(x,y+t)-f(x,y)]/t}$.

그런 다음 오픈 세트의${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (x_{0},y_{0}}}$에 대해 일반화된 평균값 정리를 두 번 적용할 수 있다.

${\displaystyle \left \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right \leq \sup _{0\leq s\leq 1}\left \Delta _{1}^{t}D_{2}f(x_{0},y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right \leq \sup _{0\leq r,s\leq 1}\left D_{1}D_{2}f(x_{0}+tr,y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right .}$

Thus ${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})}$ tends to ${\displaystyle D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})}$ as ${\displaystyle t}$ tends to 0.The same argument shows that ${\displaystyle \Delta _{2}^{t}\Delta _{1}^{t}f(x_{0},y_{0})}$ tends to ${\displaystyle D_{2}D_{1}f(x_{0},y_{0})}$. Hence, since the difference operators commute, so do the partial differential operators ${\$$displaystyle D_{1}$및$$ ${\displaystyle {d2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 요청된 대로 표시하십시오.^{[21][22][23][24][25]}

비고. 고전적 평균값 정리의 두 가지 적용에 의해,

${\displaystyle \Delta \{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0}}}=D_{1}D_{2}f(x_{0}+t\ta,y_{0}+t\ta ^{\premium }}}$

일부 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$ 및$$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}\theta {\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle ^{\prime }$의 경우 $({\displaystyle 0}$, $){\displaystyle (0,1).$ 따라서 첫 번째 기본적인 증명은 차이 연산자를 사용하여 재해석할 수 있다$.$반대로 두 번째 교정쇄에서 일반화된 평균값 정리를 사용하는 대신에 고전적인 평균값 정리를 사용할 수 있었다.

반복된 통합을 사용한 Clairaut의 정리 증명

콤팩트한 사각형[a,b] × [c,d]에서 연속함수 F의 반복된 리만 통합의 특성은 쉽게 확립된다.^[26]The uniform continuity of F implies immediately that the functions ${\displaystyle g(x)=\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy}$ and ${\displaystyle h(y)=\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx}$ are continuous.^[27]그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx\,dy}$;

또한 F가 양이면 반복된 적분이 양성이라는 것은 즉시이다.^[28]위의 평등은 푸비니의 정리의 단순한 사례로, 척도 이론이 개입되지 않는다.티치마르슈(1939년)는 직사각형을 작은 직사각형으로 세분화하는 것에 해당하는 리만 근사합계를 사용하여 직설적으로 증명한다.

Clairaut의 정리를 증명하기 위해, f는 혼합된 두 번째 부분파생상품 f와_yx f가_xy 존재하고 연속적인 오픈 세트 U에서 차별화할 수 있는 함수라고 가정한다.미적분학의 기본 정리를 두 번 사용하여,

${\displaystyle \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f_{yx}(x,y)\,dx\,dy=\int _{c}^{d}f_{y}(b,y)-f_{y}(a,y)\,dy=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}$

유사하게

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f_{xy}(x,y)\,dy\,dx=\int _{a}^{b}f_{x}(x,d)-f_{x}(x,c)\,dx=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}$

따라서 두 개의 반복된 통합은 동일하다.반면에 f_xy(x,y)는 연속적이기 때문에, 두 번째 반복 적분은 먼저 x에 대해 통합한 후 y에 대해 통합함으로써 수행될 수 있다.그러나 [a,b] × [c,d]에서 f_yx - f의_xy 반복된 적분은 사라져야 한다.그러나 연속 기능 F의 반복된 적분이 모든 직사각형에 대해 사라지면 F는 동일하게 0이어야 한다. 그렇지 않으면 F 또는 -F는 어느 시점에서는 엄격히 양성이므로 직사각형의 연속성에 의해 가능하지 않다.따라서 f_yx - f는_xy 모든 곳에서_yx f = f로_xy 동일하게 사라져야 한다.^{[29][30][31][32][33]}

2배의 차별성의 충분성

대칭을 보장하기에 충분한 두 번째 부분파생상품(후자가 암시하는 것)의 연속성보다 약한 조건은 모든 부분파생상품 자체가 서로 다르다는 것이다.^[34]순열혼합부분의 존재를 주장하는 또 다른 정리의 강화는 1890년 짧은 Matectures에 대한 짧은 노트에서 Peano에 의해 제공되었다.

${\displaystyle f\mathbb{}}$: E${\displaystyle }$→ R ${\$$E\to \mathbb {R} }$ is defined on an open set ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{2}}$; ${\displaystyle \partial _{1}f(x,\,y)}$ and ${\displaystyle \partial _{2,1}f(x,\,y)}$ exist everywhere on ${\displaystyle E}$; ${\displaystyle \partial _$${2,1}f}$ is continuous at ${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)\in E}$, and if ${\displaystyle \partial _{2}f(x,\,y_{0})}$ exists in a neighborhood of ${\displaystyle x=x_{0}}$, then ${\displaystyle \partial _{1,2}f}$ exists at ${\displaystyle (}$${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)}$ and ${\displaystyle \partial _{1,2}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)=\partial _{2,1}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)}$.^[35]

분포이론제정

분포 이론(일반화된 함수)은 대칭성의 분석적 문제를 제거한다.통합형 함수의 파생상품은 항상 분포로 정의될 수 있으며, 혼합형 부분파생상품의 대칭성은 항상 분포의 동일성으로 유지된다.분포의 분화를 정의하기 위해 부품에 의한 형식 통합의 사용은 대칭 문제를 다시 시험 함수에 올려놓는데, 이것은 부드럽고 확실히 이 대칭을 충족시킨다.자세한 내용(여기서 f는 분포, 시험 함수에 대한 연산자로 기록, φ은 시험 함수)

${\displaystyle \left(D_{1}D_{2}f\right)[\phi ]=-\left(D_{2}f\right)\left[D_{1}\phi \right]=f\left[D_{2}D_{1}\phi \right]=f\left[D_{1}D_{2}\phi \right]=-\left(D_{1}f\right)\left[D_{2}\phi \right]=\left(D_{2}D_{1}f\right)[\phi ].}$

기능의 푸리에 변환을 정의하는 또 다른 접근방식은 그러한 변환에서 부분파생상품은 훨씬 더 명확하게 통근하는 곱셈 연산자가 된다는 점에 주목하는 것이다.^[a]

연속성 요건

함수가 서로 다른 부분파생물을 가지지 못하면 대칭이 깨질 수 있는데, 이는 클레라우트의 정리가 충족되지 않으면 가능하다(두 번째 부분파생물은 연속적이지 않다).

비대칭성의 예는 (페아노로 인한)^[36][37] 함수다.

${\displaystyle f(x,\,y)={\frac {xy\좌(x^{2}-y^{2}\우)}{x^{2}+y^{2}}}}&{\mbox{{}}}}}}}}}}}}{{x,\,0),\0&{\mbox{{{}{{}}}}}}}}}}}}(x,\,y)=(0,\,0).\end{case}}}$

(1)

This can be visualized by the polar form ${\displaystyle f(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))={\frac {r^{2}\sin(4\theta )}{4}}}$; it is everywhere continuous, but its derivatives at (0, 0) cannot be computed algebraically.Rather, the limit of difference quotients shows that ${\displaystyle f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0}$, so the graph ${\displaystyle z=f(x,y)}$ has a horizontal tangent plane at (0, 0), and the partial derivatives ${\displaystyle f_{x},f_{y}}$ exist and are every연속해서그러나 두 번째 부분파생상품은 (0, 0)으로 연속되지 않고 대칭이 실패한다.실제로 x축을 따라 y-변위자는 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y_{}}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle f_{y}(x,0)=x}$등이며, 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f_{y}(\varepsilon ,0)-f_{y}}{\varepsilon }}{barepsilon}}}}}}}=1.}$

In contrast, along the y-axis the x-derivative ${\displaystyle f_{x}(0,y)=-y}$, and so ${\displaystyle f_{xy}(0,0)=-1}$. That is, ${\displaystyle f_{yx}\neq f_{xy}}$ at (0, 0), although the mixed partial derivatives do exist, and at every other point the symme노력해도 소용없다.

원통형 좌표계로 표기된 위의 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle f(r,\,\theta )={\frac {r^{2}\sin{4\theta}}{4}},}$

원점을 포함하는 임의의 작은 루프를 한 바퀴 돌 때 함수가 네 번 진동한다는 것을 보여준다.따라서 직관적으로 (0, 0)에서 함수의 국소적 행동은 2차적 형태라고 설명할 수 없으며, 따라서 헤시안 행렬은 대칭성이 되지 못한다.

일반적으로 제한운행의 교체가 통근할 필요는 없다.(0, 0)에 가까운 두 변수와 (0, 0)에 대한 두 개의 제한 프로세스 지정

${\displaystyle f(h,\,k)-f(h,\,0)-f(0,\,k)+f(0,\,0)}$

h → 0을 먼저 만들고 k → 0을 먼저 만드는 것에 대응한다.먼저 적용되는 1차 약관을 보면 문제가 될 수 있다.이는 두 번째 파생상품이 비대칭인 병리학적 예제의 구축으로 이어진다.이러한 종류의 예는 함수의 점적 가치가 중요한 실제 분석 이론에 속한다.분포로 볼 때 두 번째 부분파생상품의 값은 임의의 포인트 집합에서 변경될 수 있다. 단, Lebesgue의 측정치가 0인 경우.예에서 헤시안은 (0, 0)을 제외한 모든 곳에 대칭적이기 때문에 슈워츠 분포로 보는 헤시안이 대칭적이라는 사실과 모순되지 않는다.

인리 이론

1차 차등 연산자 D를_i 유클리드 공간의 최소 연산자로 간주한다.즉, 어떤 의미에서 D는_i X축에_i 평행한 하나의 파라미터의 번역 그룹을 생성한다.이 그룹들은 서로 통근하고, 따라서 소수 발전기들 또한 통근한다; 거짓말 괄호

[D_i, D_j] = 0

이 재산의 반영이야즉, 한 좌표에 대한 다른 좌표에 대한 Lie 파생상품은 0이다.

차등 형식에 적용

The Clairaut-Schwarz theorem is the key fact needed to prove that for every ${\displaystyle C^{\infty }}$ (or at least twice differentiable) differential form ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$, the second exterior derivative vanishes: ${\displaystyle d^{2}\omega :=d(d\o$$mega )=0}$. This implies that every differentiable exact form (i.e., a form ${\displaystyle \alpha }$ such that ${\displaystyle \alpha =d\omega }$ for some form ${\displaystyle \omega }$) is closed (i.e., ${\displaystyle d\alpha =0}$), since ${\displaystyle d\alpha =d(d\omega )=$$0}$.^[38]

18세기 중반, 차등형식의 이론은 먼저 평면 내에서 ${\displaystyle 가장}$ 단순한 ${\displaystyle \mathrm{1-형태}}$의 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ 즉, $A{\displaystyle }$ ${\\$$dplaystyle A\,dx+B\,dy}$에서 연구되었는데$,$ 여기서 $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A}$과 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가)의$$ 기능이다.1형식과 기능의 차이에 대한 연구는 1739년과 1740년 클레라우트의 논문에서 시작되었다.그 단계에서 그의 조사는 일반적인 미분 방정식을 푸는 방법으로 해석되었다.Formally Clairaut showed that a 1-form ${\displaystyle \omega =A\,dx+B\,dy}$ on an open rectangle is closed, i.e. ${\displaystyle d\omega =0}$, if and only ${\displaystyle \omega }$ has the form ${\displaystyle df}$ for some function ${\displaystyle f}$ in the disk.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대한 솔루션은 Cauchy의 통합 공식으로 작성할 수 있다$$.

${\displaystyle f(x,y)=\int _{x_{0}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{0}^{0}B(x,y)\,dy;}$

while if ${\displaystyle \omega =df}$, the closed property ${\displaystyle d\omega =0}$ is the identity ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f}$. (In modern language this is one version of the Poincaré lemma.)^[39]

메모들

참조

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추가 읽기

• "Partial derivative", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]