진드 수학 파피루스 2/n 표

고대 이집트 수학 작품인 Rind Mathematical ^[1]^[2]Papyrus는 2/n 형식의 유리수를 이집트 분수로 변환하기 위한 수학 표를 포함하고 있는데, 이는 이집트인들이 소수들을 쓸 때 사용했던 형태이다.이 텍스트는 50개의 유리수의 표현을 설명하고 있습니다.그것은 이름이 알려진 최초의 수학 작가인 아흐메스에 의해 이집트 제2중간기 (약 1650–^[3]1550 BC)에 쓰여졌다.문서의 일부는 알려지지 않은 기원전 1850년 텍스트에서 복사되었을 수 있습니다.

테이블

다음 표는 파피루스에 나열된 확장을 보여줍니다.

**진드 수학 파피루스의 2/n 표**
2/3 = 1/2 + 1/6	2/5 = 1/3 + 1/15	2/7 = 1/4 + 1/28
2/9 = 1/6 + 1/18	2/11 = 1/6 + 1/66	2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
2/15 = 1/10 + 1/30	2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68	2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
2/21 = 1/14 + 1/42	2/23 = 1/12 + 1/276	2/25 = 1/15 + 1/75
2/27 = 1/18 + 1/54	2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/1/420 + 1/232	2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
2/33 = 1/22 + 1/66	2/35 = 1/30 + 1/42	2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
2/39 = 1/26 + 1/78	2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328	2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
2/45 = 1/30 + 1/90	2/47 = 1/30 + 1/1 슬롯 + 1/1 슬롯	2/49 = 1/28 + 1/196
2/51 = 1/34 + 1/102	2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795	2/55 = 1/30 + 1/330
2/57 = 1/38 + 1/114	2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531	2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/63 = 1/42 + 1/126	2/65 = 1/39 + 1/162	2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/69 = 1/46 + 1/138	2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710	2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/75 = 1/50 + 1/150	2/77 = 1/44 + 1/308	2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/81 = 1/54 + 1/162	2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498	2/85 = 1/51 + 1/255
2/87 = 1/58 + 1/174	2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890	2/91 = 1/70 + 1/130
2/93 = 1/62 + 1/186	2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570	2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/99 = 1/66 + 1/198	2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

진드 수학 파피루스의 이 부분은 9장의 파피루스에 ^[4]걸쳐져 있었다.

설명

어떤 유리수라도 단위분수의 합으로서 무한히 많은 가능한 팽창을 가지고 있으며, 린드 수학 파피루스 수학자들이 발견된 이후 고대 이집트인들이 이 표에 나타난 특정 팽창을 어떻게 계산했는지 이해하기 위해 애써왔다.

Gillings의 제안에는 5가지 다른 기술이 포함되어 있습니다.진드 수학 파피루스의 문제 61은 한 가지 공식을 제시합니다.

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

{\frac {2}{n}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}

3

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

+

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

6

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

({

displaystyle

{

frac { 2

n }

=

1

{\frac {2}{n}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}

{\frac {2}{n}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}

{\frac {2}{n}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}

{\frac {2}{n}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}

n +

{\frac {2}{n}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}

{\frac {2}{n}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}

1

n

}

= frac

{ 1

n

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

} =

frac

{ 1 n } { 1 n }

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

^[5]=

frac

{ 1 n } { 1 n } } =

frac

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

{

1

n { 1 n } { 1 n } } } {

{\frac {2}{n}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}

n } } } 。

기타 가능한 공식은 다음과 같습니다.^[6]

\,{\frac {2}{n}}\;=\;{\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}

n

\,{\frac {2}{n}}\;=\;{\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}

\,{\frac {2}{n}}\;=\;{\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}

\,{\frac {2}{n}}\;=\;{\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}

1

\,{\frac {2}{n}}\;=\;{\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}

+

\,{\frac {2}{n}}\;=\;{\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}

\,{\frac {2}{n}}\;=\;{\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}

\,{\frac {2}{n}}\;=\;{\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}

n {

displaystyle }, {\frac

{2}

{n}

\ ; = \ ;

{\frac

{1} {

3}

+

{\frac

{5}

{\frac

{1} {

n}}

{\frac {1} {n}} {\

frac

{{n}}}}}

\,{\frac {2}{n}}\;=\;{\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}

(n은 5로 나누어짐

)

\!{\frac {2}{mn}}\!={\frac {1}{m}}\!{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{n}}{\frac {1}{k}}

=paramfrac {1}{m}}\!

{\frac {1}

{

k}}+{\frac

{1}{

n}}{\frac {1}{k}}(

여기서 k는 m과 n의 평균)

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

n

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

n +

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

n +

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

n +

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

6

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

{

displaystyle

}, {\

frac

{2}

{n}

\ ; = , { \

frac { 1

} { 2 n } + { \

frac

{

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

1

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

} { 3 n } + { \

frac {

6 n

}

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

이 공식은 표의 n = 101에 대한 분해를 산출합니다.

아흐메스는 2/p(여기서 p는 소수)를 2가지 방법과 2/pq 합성 ^[6]분모를 변환하는 3가지 방법으로 변환하는 것이 제안되었다.다른 이들은 Ahmes가 최소공배수와 유사한 승수를 사용한 한 가지 방법만 사용했다고 제안했다.

다른 표 텍스트와의 비교

더 오래된 고대 이집트 파피루스는 비슷한 이집트 분율 표를 가지고 있었다; 기원전 1850년경에 쓰여진 라훈 수학 파피루스는 진드 파피루스의 알려지지 않은 출처에 관한 것이다.Kahun 2/n 분율은 Rind Papyrus의 2/n ^[7]표에서 주어진 분율 분해와 동일했다.

이집트 수학 가죽 롤(EMLR)은 기원전 1900년경에 1/n 형태의 분율을 다른 단위 분율로 분해한 것을 나열합니다.표는 다른 유리수의 ^[8]합계로 작성된 1/n 형식의 26개의 단위 분율 급수로 구성되었다.

아크밈 목판은 1/n 형태의 분수를 헤캣 유리수, 1/3, 1/7, 1/10, 1/11, 1/13의 합으로 적었습니다.이 문서에서는 2부분의 분수를 호러스 분율의 눈(Eye of Horus fractions)으로 작성했다.1/2^k 및 잔여물은 ro라는 단위로 표현됩니다.첫 번째 제수에 제안된 솔루션을 곱하여 답을 확인했습니다.그리고 결과 답이 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 5 ro, 즉 ^[9]1과 같음을 확인했습니다.

레퍼런스

^ Chace, Arnold Buffum (1927–1929), The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations (2 vols.), Classics in Mathematics Education, vol. 8, Oberlin: Mathematical Association of America.재인쇄, 레스턴:전미 수학 교사 협의회, 1979년, ISBN0-87353-133-7.
^ 를 클릭합니다Robins, Gay; Shute, Charles (1987), The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text, London: British Museum Press.
^ Imhausen, Annette (2016), Mathematics in Ancient Egypt: A Contextual History, Princeton University Press, p. 65, ISBN 9780691209074
^ 를 클릭합니다Spalinger, Anthony (1990), "The Rhind Mathematical Papyrus as a Historical Document", Studien zur Altägyptischen Kultur, 17: 295–337, JSTOR 25150159.
^ 를 클릭합니다Clagett, Marshall (1999), Ancient Egyptian Science, A Source Book. Volume Three: Ancient Egyptian Mathematics, Memoirs of the American Philosophical Society, American Philosophical Society, ISBN 978-0-87169-232-0.
^ ^a ^b ^c 를 클릭합니다Burton, David M. (2003), History of Mathematics: An Introduction, Boston: Wm. C. Brown.
^ Imhausen, A. (2002), "UC 32159", Lahun Papyri: table texts, University College London
^ Imhausen, Annette (2007), "Egyptian mathematics", in Katz, Victor J. (ed.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 1–56. 특히 21~22페이지를 참조해 주세요.
^ 를 클릭합니다Vymazalova, H. (2002), "The wooden tablets from Cairo: The use of the grain unit HK3T in ancient Egypt", Archiv Orientální, Charles U., Prague, 70 (1): 27–42.

[1] Chace, Arnold Buffum (1927–1929), The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations (2 vols.), Classics in Mathematics Education, vol. 8, Oberlin: Mathematical Association of America.재인쇄, 레스턴:전미 수학 교사 협의회, 1979년, ISBN0-87353-133-7.

[2] 를 클릭합니다Robins, Gay; Shute, Charles (1987), The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text, London: British Museum Press.

[3] Imhausen, Annette (2016), Mathematics in Ancient Egypt: A Contextual History, Princeton University Press, p. 65, ISBN 9780691209074

[4] 를 클릭합니다Spalinger, Anthony (1990), "The Rhind Mathematical Papyrus as a Historical Document", Studien zur Altägyptischen Kultur, 17: 295–337, JSTOR 25150159.

[Clagett-5] 를 클릭합니다Clagett, Marshall (1999), Ancient Egyptian Science, A Source Book. Volume Three: Ancient Egyptian Mathematics, Memoirs of the American Philosophical Society, American Philosophical Society, ISBN 978-0-87169-232-0.

[Burton-6] 를 클릭합니다Burton, David M. (2003), History of Mathematics: An Introduction, Boston: Wm. C. Brown.

[7] Imhausen, A. (2002), "UC 32159", Lahun Papyri: table texts, University College London

[8] Imhausen, Annette (2007), "Egyptian mathematics", in Katz, Victor J. (ed.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 1–56. 특히 21~22페이지를 참조해 주세요.

[9] 를 클릭합니다Vymazalova, H. (2002), "The wooden tablets from Cairo: The use of the grain unit HK3T in ancient Egypt", Archiv Orientální, Charles U., Prague, 70 (1): 27–42.

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