비너 디콘볼루션

수학에서 Wiener deconvolution은 Deconvolution에 내재된 소음 문제에 Wiener 필터를 적용한 것이다.주파수 영역에서는 신호 대 잡음 비율이 낮은 주파수에서 디콘볼루션 노이즈의 영향을 최소화하려고 시도한다.

Wiener deconvolution 방법은 대부분의 시각적 영상의 주파수 스펙트럼이 상당히 잘 행동하고 쉽게 추정될 수 있기 때문에 이미지 디콘볼루션 애플리케이션에서 널리 사용된다.

Wiener deconvolution은 Norbert Wiener의 이름을 따서 명명되었다.

정의

시스템 지정:

${\displaystyle \ y(t)=(h*x)(t)+n(t)}$

여기서 $\ast {\displaystyle }$ ${\displaystyle *}$은(는) 콘볼루션을 나타내며$$:

• ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$\$x(t)}$은(는)$$시간 t {\$displaystyle$ \$t}$에 있는 일부 원본 신호(파형)이다$.$
• ${\displaystyle h}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$\$h(t)}$은(는) 선형 시간 변이 시스템의 알려진 충격 응답이다.
• ${\displaystyle n}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$\$n(t)}$은(는) ${\displaystyle x}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle$\$x(t)}$과(와) 독립적으로 알 수 없는 일부 추가 노이즈입니다.
• ${\displaystyle y}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle$\$y(t)}$이(가) 관찰된 신호임

우리의 목표는 ${\displaystyle 다음}$과 같이$$ ${\displaystyle x}$(${\displaystyle t}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle$\$g(t)}$을(를) 추정할 수 있도록$$ g${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle$\$x(t)}$을(를) 찾는 것이다.

${\displaystyle \{x}(t)=(g*y)(t)}$

여기서 ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \{x}}(t)$은 평균 제곱 오차를$$ 최소화하는 x (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$\ x $(t)}$의 추정치임

${\displaystyle ϵ}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle E^{}}$ ${\displaystyle x\mathbb{}{}^{}}$( t${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$( t${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ ${\$E$} \왼쪽$ x$(t)-{\hat{x}(t)\right ^{2$

${\displaystyle E\mathbb{}}$ ${\$\$\mathb {E}이($가) 기대치를 나타낸다.Wiener deconvolution 필터는 이러한 ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$\$g(t)}$을(를) 제공한다$.$필터는 주파수 영역에 가장 쉽게 설명된다.

${\displaystyle \ G(f)={\frac {H^{*(f)S(f)}{H(f)}{{2}S(f)+N(f)}}}}}}$

여기서:

• ${\displaystyle G}$(${\displaystyle f}$) ${\displaystyle$\$G(f)}$ 및$$ ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle$\$H(f)}$은 ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ \$g(t)}$ 및 h$$$(t$의 푸리에 변환이다$.$
• ${\displaystyle S}$( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ X${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$) 2 ${\$\$S(f)=\mathb${${\displaystyle E}$$} X(f) ^{2}}$는 원래 신호 ${\displaystyle x}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle$\$x(t)}$의 평균 전력 스펙트럼 밀도 입니다$.$
• ${\displaystyle N}$( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle V\mathbb{}}$( ${\displaystyle f}$) 2 ${\$\ N$(f)=\mathb {E}V(f) ^{2}}$는 노이즈 ${\displaystyle n}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaysty$\$n(t)}$의 평균 전력 스펙트럼 밀도 입니다$.$
• ${\displaystyle X(f)}$, ${\displaystyle Y(f)}$, and ${\displaystyle V(f)}$ are the Fourier transforms of ${\displaystyle x(t)}$, and ${\displaystyle y(t)}$, and ${\displaystyle n(t)}$, respectively,
• 위첨자 $∗{\$은 복잡한 결합을 나타낸다$$.

필터링 작업은 위와 같이 시간 영역 또는 주파수 영역에서 수행될 수 있다.

${\displaystyle \{\x}(f)=G(f)Y(f)}$

${\displaystyle X\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^(}f}$ )$displaystyle \{\hat{X$}(f$)}$에 역 푸리에 ${\displaystyle 변환}$을 수행하여${\displaystyle \stackrel{}{}}$x${\displaystyle ^(t}$) {\$displaystyle \{\x}(t)$를 구하십시오$.$

이미지의 경우 위의$$ 인수 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle$\$t}$ 및 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle$\$f}$이(가) 2차원적이 되지만 결과는 동일하다는 점에 유의하십시오.

해석

위 필터 방정식을 다시 작성하면 Wiener 필터의 작동이 명백해진다.

${\displaystyle {\begin}G(f)&={\frac {1}{H(f)}}}\왼쪽[{\frac {1}{1+1/(H(f) ^{2}\mathrmat {SNR}(f)}}}\오른쪽]\끝{정렬}}$

Here, ${\displaystyle \ 1/H(f)}$ is the inverse of the original system, ${\displaystyle \ \mathrm {SNR} (f)=S(f)/N(f)}$ is the signal-to-noise ratio, and ${\displaystyle \ H(f) ^{2}\mathrm {SNR} (f)}$ is the ratio of the pure filtered sign알-소음 스펙트럼 밀도.노이즈가 0일 때(즉, 무한 신호 대 잡음) 대괄호 안의 항은 1과 같으며, 이는 우리가 예상할 수 있는 것처럼 Wiener 필터가 단순히 시스템의 역이라는 것을 의미한다.그러나 특정 주파수에서의 잡음이 증가하면 신호 대 잡음 비율이 떨어지기 때문에 대괄호 안의 용어도 떨어진다.이는 Wiener 필터가 필터링된 신호 대 잡음 비에 따라 주파수를 감쇠한다는 것을 의미한다.

위의 Wiener 필터 방정식은 일반적인 이미지의 스펙트럼 함량과 노이즈의 스펙트럼 함량을 알아야 한다.종종 우리는 이러한 정확한 수량에 접근하지 못하지만, 좋은 견적이 나올 수 있는 상황에 처할 수도 있다.예를 들어 사진 이미지의 경우 신호(원래 이미지)는 일반적으로 강한 저주파와 약한 고주파를 가지고 있는 반면, 많은 경우 노이즈 함량은 주파수와 함께 상대적으로 평탄하다.

파생

위에서 언급한 바와 같이 평균 제곱 오차를 최소화하는 원래 신호의 추정치를 생성하고자 하며, 이 추정치는 다음과 같다.

${\displaystyle ϵ}$( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle E^{}}$ X${\displaystyle {}^{}}$( f${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {X\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$( ${\displaystyle f^{\mathrm{}}}$) 2 ${\$E$} \왼쪽 X(f)-{\X}(f)\오른쪽$ $$$^{2}}.$

${\displaystyle \epsilon$ $\}$의 이전 정의에 대한 동등성은 푸리에 변환에 대한 Planchel 정리 또는 파르세발의 정리를 사용하여 도출할 수 있다.

${\displaystyle X\stackrel{}{}^(f}$) ${\displaystyle \{\hat {X}(f)}$을(를) 표현으로 대체하면 위와 같이 다시 배열할 수 있다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon (f)&=\mathbb {E} \left X(f)-G(f)Y(f)\right ^{2}\\&=\mathbb {E} \left X(f)-G(f)\left[H(f)X(f)+V(f)\right]\right ^{2}\\&=\mathbb {E} {\big }\left[1-G(f)H(f)\right]X(f)-G(f)V(f){\big }^{2}\end{aligned}}}$

2차 범위를 확장하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon (f)&={\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}{\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}\,\mathbb {E} X(f) ^{2}\\&{}-{\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}G^{*}(f)\,\mathbb {E} {\Big \{}X(f)V^{*}(f){\Big \}}\\&{}-G(f){\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}\,\mathbb {E} {\Big \{}V(f)X^{*}(f){\Big \}}\\&{}+G(f)G^{*}(f)\,\mathb {E}V(f) ^{2}\end{정렬}}}}$

그러나, 우리는 소음이 신호와 무관하다고 가정하고 있으며, 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle \mathb {E} {\Big \{}X(f)V^{*(f){}{\Big \}=\Big \{}V(f)X^{*(f){\Big \}=0}$

전력 스펙트럼 밀도 ${\displaystyle S(f}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$\$S(f)}$ 및$$ N${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle$\$N(f)}$을(를) 대체하면 다음과 같다$.$

${\displaystyle \epsilon (f)={\Big [}1-G(f)H(f)(f){\Big ]}{{1}-G(f){*S(f)+G^{*(f){*(f)N(f)}$

최소 오차 값을 찾기 위해 ${\displaystyle G}$(${\displaystyle f}$) ${\displaystyle$\$G(f)}$에 대한 Weatinger 파생 모델을 계산하여$$ 0으로 설정한다.

${\dplaystyle \{\frac {d\epsilon (f)}{dG(f)}}}}}=G^{*(f)-N(f)-H(f){\Big [}^{*S(f)=0}$

이 최종 평등을 Wiener 필터로 재배열할 수 있다.

참고 항목

• 정보장 이론
• 디콘볼루션
• 위너 필터
• 점 스프레드 함수
• 블라인드 디콘볼루션
• 푸리에 변환

Wikimedia Commons에는 모션 블러드 이미지(및 MATLAB/GNU 옥타브의 소스 코드)에 대한 Wiener deconvolution의 예와 관련된 미디어가 있다.

참조

• 라파엘 곤잘레스, 리처드 우즈, 스티븐 에드딘스.Matlab을 사용한 디지털 이미지 처리.프렌티스 홀, 2003년

외부 링크

• 여러 디콘볼루션 방법의 비교.
• Wiener 필터를 사용한 디콘볼루션