미첼의 임베딩 정리

프리드-미첼 정리 또는 완전 내장 정리라고도 알려진 미첼의 내장 정리는 아벨의 범주에 관한 결과로서, 본질적으로 이러한 범주는 다소 추상적으로 정의되기는 하지만 사실상 모듈의 구체적인 범주라고 기술하고 있다.이를 통해 이러한 범주에서 요소별 도표를 추적할 수 있다.그 정리는 배리 미첼과 피터 프레이드의 이름을 따서 지어졌다.

세부 사항

정확한 문장은 다음과 같다:A가 작은 아벨 범주인 경우, 링 R(1과 함께, 반드시 일치하지는 않음)과 완전하고 충실하며 정확한 펑터 F: A → R-Mod(후자가 모든 왼쪽 R-모듈의 범주를 나타냄)가 존재한다.

Functor F는 A에서 계산된 커널과 코커넬이 R-Mod에서 계산된 일반 커널과 코커넬에 대응하는 방식으로 A와 R-Mod의 전체 하위 카테고리 사이에 동등성을 산출한다.그와 같은 등가성은 반드시 첨가된다.따라서 정리는 본질적으로 A의 대상을 R-모듈로 생각할 수 있고, 형태는 R-선형 지도로 생각할 수 있으며, 커널, 코커넬, 정확한 순서 및 합계가 모듈의 경우처럼 결정된다.단, A의 투사형 및 주입형 물체는 투사형 및 주입형 R-모듈과 반드시 일치하는 것은 아니다.

증거의 스케치

Let ${\displaystyle {\mathcal {L}}\subset \operatorname {Fun} ({\mathcal {A}},Ab)}$ be the category of left exact functors from the abelian category ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ to the category of abelian groups ${\displaystyle Ab}$. First we construct a contravariant embedding ${\displaystyle H:}$${\displaystyle H:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {L}}}$ by ${\displaystyle H(A)=h^{A}}$ for all ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, where ${\displaystyle h^{A}}$ is the covariant hom-functor, ${\displaystyle h^{A}(X)=\operatorname {Hom}$$_{\mathcal{A}(A,X$ 요네다 림마에는 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $H$$}$가 완전히 충실하며$$, H ${\$ h$^{A}$가 이미 정확하게$$ 남아 있기 때문에 $H{\displaystyle }$ ${\displaystystyle H}$의 왼쪽 정확성을 매우$$ 쉽게 얻을 수 있다고 되어 있다.$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 정확한 정확성에 대한 증거는 더 어려우며$$ 수학 76의 스완, 강의 노트에서 읽을 수 있다.

그 후 국산화 이론(Swan)을 사용하여 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 아벨 범주임을 증명한다.이것이 그 증거의 어려운 부분이다.

It is easy to check that the abelian category ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is an AB5 category with a generator ${\displaystyle \bigoplus _{A\in {\mathcal {A}}}h^{A}}$. In other words it is a Grothendieck category and therefore has an injective cogenerator ${\displaystyle I}$.

내형성 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle :={Home\mathcal{}}_{}}$ L${\displaystyle {}_{}(}$ (${\displaystyle I}$,${\displaystyle }$I ) ${\displaystyle R:=\operatorname {Hom} _{\mathcal{L}(I,I)}}}$는 R-modules 범주에 필요한 링이다.

By ${\displaystyle G(B)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(B,I)}$ we get another contravariant, exact and fully faithful embedding ${\displaystyle G:{\mathcal {L}}\to R\operatorname {-Mod} .}$ The composition ${\displaystyle GH:{\mathcal {A}}\to$$R\operatorname {-Mod} }$은(는) 원하는 공변량 정확하고 완전하게 임베딩된 것이다$$.

정확한 범주에 대한 가브리엘-퀼렌 임베딩 정리의 증거는 거의 동일하다는 점에 유의한다.

참조