경계값 문제

수학에서, 미분 방정식의 분야에서 경계 값 문제는 경계 조건이라고 불리는 추가적인 제약 조건들의 집합과 함께 미분 방정식이다.^[1] 경계값 문제에 대한 해결책은 경계 조건도 만족시키는 미분방정식에 대한 해결책이다.

경계 값 문제는 물리학의 여러 가지 분기에서 어떤 물리적인 미분 방정식이 그것들을 가질 것이기 때문에 발생한다. 정상 모드의 결정과 같은 파동 방정식과 관련된 문제는 흔히 경계 값 문제로 언급된다. 중요한 경계 값 문제의 많은 종류는 스투름-리우빌 문제들이다. 이러한 문제의 분석에는 차등 연산자의 고유 기능이 포함된다.

적용에 유용하려면 경계 값 문제가 잘 제기되어야 한다. 즉, 문제에 대한 입력을 고려할 때 입력에 지속적으로 의존하는 고유한 해결책이 존재한다는 것을 의미한다. 부분 미분방정식 분야의 많은 이론적 연구는 과학 및 공학 응용에서 발생하는 경계 가치 문제가 실제로 잘 반영되어 있다는 것을 입증하는 데 전념하고 있다.

연구해야 할 가장 초기 경계 값 문제로는 조화 함수(라플레이스의 방정식에 대한 해법)를 찾는 디리클레 문제가 있다. 해결책은 디리클레트의 원리에 의해 주어졌다.

설명

경계 값 문제는 초기 값 문제와 유사하다. 경계 값 문제는 방정식에서 독립 변수의 극한값("경계")에 명시된 조건을 가지고 있는 반면, 초기 값 문제는 독립 변수의 동일한 값으로 지정된 모든 조건을 가지고 있다(그리고 그 값이 도메인의 하위 경계에 있으므로 "초기" 값이라는 용어가 된다). 경계 값은 시스템 또는 구성요소에 대해 지정된 최소 또는 최대 입력, 내부 또는 출력 값에 해당하는 데이터 값이다.^[2]

예를 들어, 독립 변수가 도메인 [0,1]을 초과하는 시간인 경우 경계 값 문제는 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0$$}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$= $1{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $t$$=1$}에서$$ $y{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\$$displaysty$ y$($$t)}$ 및 y${\displaystyle }$$y$(t$)$의 값을 지정하는 반면$,$ 초기 값 문제는 $y{\displaystyle }$($)$의 값을 지정한다.${\displaystyle t}$) 시간 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$의 ${\displaystyle$ y$'(t$$)\}.$

한쪽 끝이 절대 0으로 유지되고 다른 한쪽 끝이 물의 동결 지점에서 유지되는 철봉의 모든 지점에서 온도를 발견하는 것은 경계값 문제가 될 것이다.

문제가 공간과 시간 모두에 의존하는 경우, 주어진 지점에서 항상 또는 모든 공간에 대해 주어진 시간에 문제의 값을 지정할 수 있다.

구체적으로는 경계값의 예(한 공간 차원)가 문제다.

${\displaystyle y"(x)+y(x)=0}$

경계 조건과 함께$$ 알 수 없는 $함수{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ y$(x)}$에 대해 해결됨

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

경계 조건 없이 이 방정식의 일반적인 해법은

$[\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

${\displaystyle \mathrm{경계}}$ 조건 $y{\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ y$(0)=0}$에서 얻음$$

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

즉, $B{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle B=0.}$ 경계 조건 $y{\displaystyle (}$ ${\displaystyle /}$ /${\displaystyle 2\mathrm{}}$) = ${\displaystyle 2}${\$displaystyle$ y$(\pi$/$2)=$2}에서 찾을 수 있음

$2=A\cdot 1}$

그리고 $A{\displaystyle }$= 2${\displaystyle A=2.}$ 경계$$ 조건을 부과하면 고유한 해결책을 결정할 수 있다고 본다. 이 경우

$[\displaystyle y(x)=2\sin(x)]}$

경계 값 문제의 유형

경계값 조건

함수 자체의 값을 지정하는 경계 조건은 디리클레 경계 조건 또는 첫 번째 유형의 경계 조건이다. 예를 들어, 철봉의 한쪽 끝이 절대 0으로 고정되어 있다면, 문제의 가치는 공간의 그 지점에서 알 수 있을 것이다.

함수의 정규 파생상품 값을 지정하는 경계조건은 네우만 경계조건 또는 두 번째 유형의 경계조건이다. 예를 들어, 철봉의 한쪽 끝에 히터가 있으면 에너지가 일정한 속도로 추가되지만 실제 온도는 알 수 없다.

경계가 정상 파생상품과 변수 자체에 값을 제공하는 곡선이나 표면의 형태를 가지고 있다면, 그것은 Cauchy 경계 조건이다.

예

경계조건으로 지정된$$ 알 수 없는$$함수의 경계조건 $,$y {\$displaystyle$ y}, ${\displaystyle {경계조건}_{}}$으로 지정된$$상수 c 0 {\$displaystyle$$c\_${$}$ 및 c 1 {\displaystyle $c_{1},$ 경계조건으로 지정된$$ 알려진 $스칼라함수{\displaystyle }$ f ${\$$displaystystyle f$$}$ $및{\displaystyle }$ g$$$}.$

이름	경계 1부 양식	경계 2부에 서식
디리클레	$(\displaystyle y=f}$
노이만	$\displaystyle {\display y \over \cHB n}=f}$
로빈	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\reason y \over \buff n}=f}$
혼합	$(\displaystyle y=f}$	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\reason y \over \buff n}=f}$
카우치	$y{\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y=f}$ 및$$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{y}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}n}{}}$= ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c_{0}{\display$y$\over \explay$ n$}=g}$

미분 연산자

경계 조건과는 별도로 경계 값 문제도 관련된 차등 연산자의 유형에 따라 분류된다. 타원 연산자의 경우 타원 경계 값 문제를 논한다. 쌍곡선 운영자의 경우 쌍곡선 경계 값 문제를 논의한다. 이러한 범주는 선형 및 다양한 비선형 유형으로 세분된다.

적용들

전자기 전위

전기 공학에서, 일반적인 문제는 주어진 지역의 전위를 설명하는 기능을 찾는 것이다. 영역에 전하가 없는 경우, 전위는 라플레이스의 방정식( 소위 조화 함수)에 대한 해결책이어야 한다. 이 경우 경계 조건은 전자기장에 대한 인터페이스 조건이다. 지역에 전류 밀도가 없는 경우 유사한 절차를 사용하여 자기 스칼라 전위를 정의할 수도 있다.

참고 항목

메모들

참조

• A. D. Polyanin과 V. F. Zaitsev, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
• A. D. Polyanin, 엔지니어 및 과학자를 위한 선형 부분 미분 방정식 핸드북, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-588-299-9

외부 링크

• "Boundary value problems in potential theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Boundary value problem, complex-variable methods", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 선형 부분 미분 방정식: EqWorld의 정확한 솔루션 및 경계 가치 문제: 수학 방정식의 세계.
• "Boundary value problem". Scholarpedia.