미량 부등식

수학에서 힐버트 공간에는 행렬과 선형 연산자를 포함하는 많은 종류의 불평등이 있다. 이 기사는 행렬의 흔적과 관련된 중요한 운영자 불평등을 다루고 있다.^[1][2][3][4]

기본 정의

Let H는_n 은둔 매트릭스의 공간을 나타내며, H는_n⁺ 양의 반확정적인 은둔 매트릭스로 구성된 세트를 의미하며, H는_n⁺⁺ 양의 명확한 은둔 매트릭스의 집합을 의미한다. 무한히 차원 높은 Hilbert 공간에 있는 연산자의 경우, 추적 등급과 자기 적응성이 있어야 하며, 이 경우 유사한 정의가 적용되지만 단순성을 위해 행렬만 논의한다.

구간 I ⊂ ℝ에 대한 모든 실제 값 함수 f의 경우, 고유값 λ을 가진 연산자 A ∈ H에_n 대한 행렬 함수 f(A)를 정의하여 고유값 및 해당 프로젝터 P를 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle$스펙트럼 분해 A =$$${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{j}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ j $P{\displaystyle }$j . {\$displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.$$}$

오퍼레이터 모노톤

함수 f: I → ⊂ 간격 I interval if에 정의된 ℝ은 ∀n일 경우 연산자 단노톤이며, 모든 A,B ∈ H는_n i에 고유값이 I에 있으면 다음과 같이 유지된다.

${\displaystyle A\geq B\Rightarrow f(A)\geq f(B),}$

여기서 부등식 A ≥ B는 연산자 A - B ≥ 0이 양의 반확실성을 의미한다. f(A)=A는² 사실 조작자 단조로운 것이 아니라는 것을 확인할 수 있다!

오퍼레이터 볼록스

함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle I\mathbb{}}$→ R ${\$$I\rightarrow \mathb {R} }$은(는$)$ $모든{\displaystyle }$ n {\$displaystyle n}$ 및$$ I에 고유값이 모든 A,B ∈ H와_n 0< ${\displaystyle$ 0$<\lambda <1}$에 대한 경우 연산자 볼록스라고 한다$$

$\displaystyle f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B)}$

${\displaystyle \mathrm{연산자}}$ $+$ ${\displaystyle A}$+${\displaystyle }$($$${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle }$b ) B$${\$displaystyle \lambda A+(1-\lambda$ )B$$$}$은$($는) I {\$displaystyle$ $I}$에 고유값을 가지므로$$$$ 유의하십시오$.$

$함수{\displaystyle }$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은${\displaystyle }$-f ${\displaystyle -f}$이(가) 연산자 볼록한 경우, 즉, f ${\displaystyle f}$에 대해 위의 불평등이 반전된 경우$$ 연산자 오목형이다.

관절대류

${\displaystyle 함수\mathbb{}}$ $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \times }$ J${\displaystyle }$→ R ${\$$I\times J\rightarrow \mathbb {R} }$, defined on intervals ${\displaystyle I,J\subset \mathbb {R} }$ is said to be jointly convex if for all ${\displaystyle n}$ and all ${\displaystyle A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$ with eigenvalues in ${\displaystyle I}$ and all ${\displaystyle B_1}$${\displaystyle }$$,$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $B_{1},B_{2}\$$in{\displaystyle }$$\mathbf {H$$}$ $_{$n$\},$ $0{\displaystyle \mathrm{}\le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda }$ 1 ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq$ \leq \leq \leq 1$}$의 고유값이 있는$$ 경우 다음은$$ 유지된다.

${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2}\leq \lambda g(A_{1},B_{1}}+(1-\lambda )g(A_{2}, B_{2}).}$

함수 g는 -g가 공동으로 볼록하게 되면 공동으로 오목하게 된다. 즉, g에 대한 위의 불평등이 역전된다.

추적함수

함수 f: ℝ → ℝ이 주어지며, H의_n 관련 추적 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr}f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),}$

여기서 A는 고유값 λ이 있고 Tr은 연산자의 추적을 나타낸다.

추적함수의 볼록성 및 단조성

Let f: ℝ → ℝ은 연속이고 n은 임의의 정수가 되게 한다. ${\displaystyle \mathrm{그런}}$ 다음, $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle t\mapsto f(t)}$이(가) 모노톤 증가인$$ 경우, H의_n $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \mathrm{Tr}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle A)}$ ${\displaystystyle$A\$mapsto \operatorname {Tr}f(A)$도 증가한다.

마찬가지로, $t{\displaystyle f}$f (${\displaystyle t}$ )$${\$displaystyle t\mapsto$ f$(t)}$이(가) 볼록한 경우_n, $H$에 A ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \mathrm{Tr}f}$f (${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle$ A$\mapsto \operatorname {Tr$} f$(A)$도 볼록한 경우 엄격히 볼록한 것이다.

예를 들어,^[1] 증거 및 토론을 참조하십시오.

뢰너-헤인즈 정리

$-{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$≤ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \le }$ 0 ${\displaystyle -1\leq$ p$\leq 0}$의 경우$,$ $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 연산자 모노톤이고 연산자는 오목하다$$.

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1$의 경우 함수 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= t ${\displaystyle p^{}}$ ${\$는 연산자 모노톤이고 연산자는$$ 오목하다.

$1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1\leq p\$leq p\$leq 2$의 경우 함수 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$는 연산자$$ 볼록이다. 더 나아가

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(t)=\log(t)}$은(는) 연산자 오목형이고 연산자 모노톤이다.

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(t)=t\log(t)}$은 연산자 볼록이다.

이 정리에 대한 최초의 증거는 K 때문이다. f가 조작자 단조로운이 될 수 있는 필요조건과 충분한 조건을 준 뢰너.^[5] 그 정리에 대한 기본적인 증거가 안에서 논의되고 좀 더 일반적인 버전에서 논의된다.^[6]

클라인의 부등식

모든 은둔 매트릭스 A와 B와 모든 다른 볼록함수 f: → → ℝ (파생 f '가 있는) 또는 모든 양정확한 은둔 매트릭스 A와 B에 대해, 그리고 모든 다른 볼록함수 f: (0,197) → ℝ, 다음과 같은 불평등이 유지된다.

어느 경우든, f가 엄격히 볼록한 경우, A = B일 경우에만 평등이 유지된다. 적용에서 일반적인 선택은 f(t) = t log t이다. 아래를 참조한다.

증명

$C{\displaystyle }$${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$- B ${\displaystyle C=A-B}$을(를) t ${\displaystyle \in }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle t\in (0,1$)에 대해$,$

${\displaystyle B+tC=(1-t)B+t$$A}$,

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에서 A ${\displaystyle A}$까지 다양하다$.$

정의

${\displaystyle F}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Tr}}$ ${\displaystyle }$[ f${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$+ t ${\displaystyle C}$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle F(t)=\operatorname {Tr} [f(B+tC)]}$.

추적 함수의 ${\displaystyle \mathrm{볼록도와}}$ 단조성에 의해 F${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle F(t)}$이$($가) 볼록하게$$ 되어 모든 t${\displaystyle }t{\displaystyle }$ ( 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaysty$ t\$in (0,1$)}에 대해$,$

${\displaystyle F}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle t}$(${\displaystyle 1}$) -${\displaystyle F}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle F}$ ( 0 )$$≥ F${\displaystyle }$( t ) {\$displaystyle$ F $(0)+t ($F(1$)-F (0)\geq$ F$(t$

어느 것이

${\displaystyle F}$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle \frac{0}{}}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle F\frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$t )${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{0}{}}$) t ${\$ {$F(t)-F$(0$)}{t$

그리고, 사실, 오른손은 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에서 감소하는 단모톤이다$.$

한계 $t{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t\\to 0}$ 수율을$$ 취하면

${\displaystyle F}$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$- F${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle F(1)-F(0)\geq$ F$'(0$

재배열과 대체는 클라인의 불평등이다.

${\displaystyle \mathrm {tr}[f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0}$

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f(t)}$이(가) 엄격히 볼록하고 C${\displaystyle }0{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C\neq 0$인 경우 F (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle F(t)}$이(가) 엄격히 볼록한 것이라는 점에$$ 유의하십시오. $F{\displaystyle \frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{t}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{}}$( 0${\displaystyle \frac{}{}}$) t ${\$(0$)}{t}}}}$이(가) t ${\displaysty t}$에서 모노톤이 감소하고 있다는$$ 사실에서 최종 주장은 다음과 같다$.$

골든-톰슨 부등식

1965년 S. Golden과 C.J. 톰슨은 그것을 독자적으로 발견했다.

모든 행렬 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\$에 대해$,$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{A+B}\leq \operatorname {Tr} e^{A}e^{B}.}$

이 불평등은 세 가지 연산자에 대해 일반화할 수 있다:^[9] 음성 $연산자{\displaystyle }$ A${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{\ln A-\ln B+\ln C}\leq \int_{0}^{0}^{0}{\infit }\operatorname {Tr}A(B+t)^{-1C(B+t)^{-1}\,\d} t.$

페에를-보골류보프 불평등

$R{\displaystyle }$, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \in }$ H ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 Tr e^R = 1. 정의 g = Tr Fe가^R 있다.

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{F}e^{R}\geq \operatorname {Tr} e^{F+R}\geq e^{g}.}$

이러한 불평등의 증거는 클라인의 불평등과 결합한 위에서 비롯된다. f(x) = exp(x), A=R + F, B = R + gI를 취한다.^[10]

깁스변동원리

${\displaystyle H^{}}$ ${\$$displaystyle H}$을${\displaystyle {(}^{}}$를$)$ 추적 등급이 되도록 자가 승인$$ 연산자가$$ 되도록 한다. 그런 다음 ${\displaystyle \mathrm{Tr}}$tr${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ = 1,${\$$displaystyle$\$gamma \geq$ 0$}($Tr}$\gamma$ =1,})을$$(를) 사용하는 모든 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ \ \ $\$$displaysty \operatorname {Tr$} \gamma =1$,},}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma H+\operatorname {Tr} \gamma \ln \geq -\ln \operatorname {Tr} e^{-H}}}$

$\gamma {\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- H${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{Tr}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle H}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \gamma =\exp(-H)/\operatorname {Tr} \exp(-H$)${\displaystyle 이}$ 같은 경우에만 동일하다$.$$}$

리브의 결속성 정리

다음 정리는 E. H. Lieb in에 의해 증명되었다.^[9] E. P. 위그너, M. M. 야나세, F. J. 다이슨의 추측을 증명하고 일반화한다.^[11] 6년 후 T에 의해 다른 증거들이 주어졌다. 안도와 B. 사이먼,^[3] 그리고 그 뒤로 몇 개가 더 주어졌다.

For all ${\displaystyle m\times n}$ matrices ${\displaystyle K}$, and all ${\displaystyle q}$ and ${\displaystyle r}$ such that ${\displaystyle 0\leq q\leq 1}$ and ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$, with ${\displaystyle q+r\leq 1}$ the real valued map on ${\displaystyle {\mathbf{H}}_m^{}}$${\displaystyle {+}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\$이(가) 제공됨$$

${\displaystyle F(A,B,K)=\operatorname {Tr}(K^{*}A^{q}KB^{r})}$

• $({\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$) ${\디스플레이$ 스타일$(A,B)}$에서 공동으로 오목함
• $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 볼록함입니다$.$

여기서 $∗{\$는 $K{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ K$.}$의 부선 연산자를 의미한다.

리브의 정리

고정된 은둔자 행렬 L${\displaystyle }l{\displaystyle }$ H ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 경우 함수

${\displaystyle f(A)=\operatorname {Tr} \exp\{L+\ln A\}}$

${\displaystyle {}_{}^{}}$+${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\$에 오목하다$.$

그 정리와 증명은 E. H. Lieb,^[9] Thm 6에 기인하며, 그곳에서 그는 이 정리를 Lieb의 콩쿠르 정리(Concivity Organism)의 코롤러리로 얻는다. 가장 직접적인 증거는 H. Epstein 때문이다;^[13] M.B. Ruskai 문서를 참조하라.^[14][15]

안도의 볼록 정리

T. 리브의 결속성 정리를 증명하는 안도에게는 다음과 같은 유의미한 보완이 이어졌다.

For all ${\displaystyle m\times n}$ matrices ${\displaystyle K}$, and all ${\displaystyle 1\leq q\leq 2}$ and ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ with ${\displaystyle q-r\geq 1}$, the real valued map on ${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{++}\times$$\mathbf {H} _{n}^{+}}$이(가) 제공됨

${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {T}(K^{*}A^{q}KB^{-r})}$

볼록하다.

상대 엔트로피의 접합 볼록도

두 연산자 $A$에 대해${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$+ ${\$은(는) 다음 지도를 정의한다$$.

$[\displaystyle R(A\병렬 B):=\Operatorname {Tr}(A\log A)-\Operatorname {Tr}(A\log B)}$

For density matrices ${\displaystyle \rho }$ and ${\displaystyle \sigma }$, the map ${\displaystyle R(\rho \parallel \sigma )=S(\rho \parallel \sigma )}$ is the Umegaki's quantum relative entropy.

$R{\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \parallel }$ $){\displaystyle R (A\parallel$ B$)}$의 비부정성은 klein의${\displaystyle }f{\displaystyle }$ (${\displaystyle t}$) = ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \log t}$ t ${\displaystyle f(t)=t\log$ t$}$와의 불평등에서 비롯된다는$$ 점에 유의하십시오$.$

성명서

지도 $R{\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \parallel }$ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}^{}}$+${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}^{}}$+${\displaystyle {}_{}^{}}$→ R$$($A\parallel B):\mathbf {H} _{n}^{$n}\$time \mathbf {H} _{$n}{$n^}{+}\rightar \mathbf {R}}}}}$은 공동 볼록이다.

증명

모든 < ${\displaystyle 0{p<1}$,${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$, B${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \mathrm{Tr}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle p^{}}$ A ${\displaystyle p^{}}$) ${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr}(B^{1-p}A^{$p}}}{$p}}}}}}})$에 대해 리브의 일치 정리하여 공동으로 오목하게 된다$$.

${\displaystyle (A,B)\mapsto {\frac {1}{p-1}(\operatorname {Tr})(B^{1-p^{p}-\operatorname {Tr}A)}$

볼록하다. 그렇지만

${\displaystyle \lim_{p\오른쪽 화살표 1}{\frac {1}{p-1}(\operatorname {Tr})(B^{1-p^{p}-\operatorname {Tr}A)=R(A\병렬 B),}}$

그리고 볼록함은 한계에 보존되어 있다.

그 증거는 G. 린드블라드 덕분이다.^[16]

젠슨의 연산자 및 불평등 추적

옌센의 불평등의 연산자 버전은 C 때문이다. 데이비스^[17]

$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ 간격의$$ 연속적인 실제 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$이(가) Jensen의 연산자 불평등을 만족하는$$ 경우

$왼쪽(\\displaystyle f\left(\sum _{k})A_{k}^{*}X_{k}A_{k}\오른쪽)\leq \sum _{k}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k}}$

${\displaystyle {연산자}_{}}$${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ k ${\$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}{k}_{}}$ = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \sum_{k}$$A_{$$k$}^{*}^{*}A_${k$$$$}=$1} 및 I ${\displaystyle$I$}$에 $스펙트럼$이 있는 자가 승인 ${\displaystyle {연산자}_{}}{\displaystyle }${${\displaystyle X_{}}$ $}$ k ${\$$\}\}\}\}\}.$

다음의 두 가지 이론의 증거를 위해 보라.^[17][18]

젠센의 미량 불평등

f는 구간 I에 정의된 연속 함수가 되고 m과 n은 자연수가 되도록 한다. 만약 f가 볼록하면, 우리는 불평등을 가진다.

${\displaystyle \operatorname {Tr} {\bigl (}f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n_{k}^{*}X_{k}}}}A_{k}{\Bigr )}{\Bigr )}\leq \operatorname {Tr} {\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*f(X_{k})A_{k}{\Bigr )}}$

모든 (X₁, ... , X_n) 자체 적응 m x m 행렬에 대하여, I에 포함된 스펙트럼과 m × m 행렬의 모든 (A₁, ... , A_n)에 대하여

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}$

반대로 위의 불평등이 n > 1인 일부 n과 m에 대해 충족되면 f는 볼록해진다.

젠센의 연산자 불평등

간격 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 정의된$$ 연속 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 경우 다음$$ 조건은 동일하다.

• ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) 연산자 볼록스다.
• 각 자연수 $n{\displaystyle }${\$displaystyle n}$에 대해 우리는$$ 불평등을 가진다.

${\displaystyle f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}}A_{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k=1}^{n_{k}^{*f(X_{k})A_{k}}$

for all ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ bounded, self-adjoint operators on an arbitrary Hilbert space ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ with spectra contained in ${\displaystyle I}$ and all ${\displaystyle (A_{1},\ldots ,A_{n})}$ on ${\displaystyle$$$$\sum {\displaystyle \underset{k}{\overset{}{}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ A ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ a ${\displaystyle k_{}}$= 1${\displaystyle$$\sum \{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1$.$}$

• ${\displaystyle f({}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ f${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(V^{*}XV)\leq V^{*f(X)V}}$ 무한$$$$ 차원 Hilbert 공간 $H$ ${\$ 및 ${\displaystystystyle$ $}$

$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 스펙트럼이 있는$$ 모든 자가 승인 $연산자{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$\}$

• ${\displaystyle Pf$$P\leq Pf(X)P}$ for each projection ${\displaystyle P}$ on an infinite-dimensional Hilbert space ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, every self-adjoint operator ${\displaystyle X}$ with spectrum in ${\displaystyle I}$ and every ${\displaystyle \lambda }$ in ${\displaystyle I}$.

아라키-리브–고른 부등식

E. H. Lib와 W. E. Cirring은 1976년에 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같은 불평등을 증명했다:$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle A\geq 0$ ${\displaystyle \mathrm{B}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle B\geq 0}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{r<img\; alt="B\backslash geq\; 0\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/db83a396bf5ff2d5b36198835c75b7b74b4f3ace"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:6.025ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="342">}}$ ${\displaystyle \ge }$ 1${\displaystyle }$, ${\displaysty r\geq 1,}$

${\displaystyle \operatorname {Tr}((BAB)^{r})\leq \operatorname {Tr}(B^{r}A^{r}B^{r})}$

1990년 H. 아라키는 위의 불평등을 다음과 같은 불평등으로 일반화했다. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A\geq$ 0$\},$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ 및$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle q\geq$ 0$,}$에 대해

${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{rq})\leq \operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q}),}$ for ${\displaystyle r\geq 1,}$

그리고

${\displaystyle \operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q})\leq \operatorname {Tr} ((BAB)^{rq}),}$ for ${\displaystyle 0\leq r\leq 1.}$

렙-에 가까운 몇 가지 다른 불평등이 있다.다음과 같은 부등식:^[21] ${\displaystyle \mathrm{A}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle A\geq$0$\},$ $B{\displaystyle 0}$ 0$${\$displaystyle$B\$geq$0} $및$ α ${\displaystyle [}$ [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1],}${\$displaystyle \alpha \in [0,1],},},}$

${\displaystyle \operatorname {Tr}(BA^{\alpha }B){1-\alpha }B)\leq \operatorname {Tr}(B^{2})AB^{2}),}$

${\displaystyle \mathrm{그리고}}$ 더 일반적으로 ^[22]A ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\$$displaystyle$ $A\$$geq 0},$ $B{\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B\geq$0$\},$ $r{\displaystyle 1}$1 / 2$$${\displaystyle \{}$ { { $r$$style$$$$style$ ${$ { { { { { ${$ { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { {$${ { { { {

${\displaystyle \operatorname {Tr}((BAB^{2c}AB)^{r}\leq \operatorname {Tr}((B^{c+1})A^{2}B^{c+1}^{r}).}$

The above inequality generalizes the previous one, as can be seen by exchanging ${\displaystyle A}$ by ${\displaystyle B^{2}}$ and ${\displaystyle B}$ by ${\displaystyle A^{(1-\alpha )/2}}$ with ${\displaystyle \alpha =2c/(2c+2)}$ and using the cyclicity of the 추적, 로 이어지는 추적하다

${\displaystyle \operatorname {Tr}((BA^{\alpha }}){1-\alpha }B)^{r}\leq \operatorname {Tr}(B^{2})AB^{2}^{r}).}$

에프로스의 정리 및 확장

E. 에프로스는 다음과 같은 정리를 증명했다.

If ${\displaystyle f(x)}$ is an operator convex function, and ${\displaystyle L}$ and ${\displaystyle R}$ are commuting bounded linear operators, i.e. the commutator ${\displaystyle [L,R]=LR-RL=0}$, the perspective

${\displaystyle g(L,R):=f(LR^{-1}R}$

공동 볼록함, $즉{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}{L\mathrm{}}_{}1}$ +${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle {if\mathrm{}}_{}}$ ) L$$2 {\$displaystyle$L=\$lambda L_{1}+(1-\lambda$)$L_{2}}$ and ${\displaystyle R=\lambda R_{1}+(1-\lambda )R_{2}}$ with ${\displaystyle [L_{i},R_{i}]=0}$ (i=1,2), ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$,

${\displaystyle g(L,R)\leq \lambda g(L_{1},R_{1}+(1-\lambda )g(L_{2},R_{2})).}$

Ebadian 등은 나중에 L ${\displaystyle L}$과 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 통근하지 않는$$ 경우로 불평등을 확대했다.^[24]

폰 노이만의 미량 불평등과 관련 결과

Von Neumann's trace inequality, named after its originator John von Neumann, states that for any n × n complex matrices A, B with singular values ${\displaystyle \alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{n}}$ and ${\displaystyle \beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdot$$s$ $\geq \beta _{n}},$^[25]

${\displaystyle \left \operatorname {Tr}(AB)\right \leq \sum _{i=1}^{n}\알파 _{i}\beta _{i}\,}$

이에 대한 간단한 결론은 다음과 같다.^[26] For hermitian n × n positive semidefinite complex matrices A, B where now the eigenvalues are sorted decreasingly (${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$ and ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}$, respectively),

${\displaystyle \sum \sum _{i=1}^{n}a_{n}b_{n-i+1}\leq \operatorname {Tr}(AB)\leq \sum _{i=1}a_{i}b_{i}\}\,}\,}$

참고 항목

• 폰 노이만 엔트로피
• 리브-서링 불평등
• 슈르-혼 정리

참조

• Scholarpedia 1차 소스.