디헤드각

직각은 두 개의 교차 평면 또는 반평면 사이의 각이다. 화학에서는 세 원자의 두 세트를 통해 반플레인의 시계방향 각도로, 두 원자의 공통점을 가지고 있다. 고체 기하학에서는 이 선을 공통의 가장자리로 하는 선과 두 개의 반평면의 결합으로 정의된다. 더 높은 치수에서 이음각은 두 개의 하이퍼플레인 사이의 각도를 나타낸다.^[1] 비행기의 평면은 우현과 좌현 주평면이 모두 횡축으로 위쪽으로 기울었을 때 양방향 각도에 있다고 한다. 아래쪽으로 기울어졌을 때 그들은 음의 이음각이라고 한다.

수학적 배경

두 개의 교차 평면을 두 방정식으로 데카르트 좌표 단위로 설명할 때

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$

이들 사이의$$ 디헤드각(dihedral angle) $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\좌측\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{1}b_{1}+c_{1}c_{2}\right\vert }{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}}^{2}+c_{1}}^{2}}:{\sqrt {a_{2}^{2}^{2}+b_{2}}^{2}+c_{2}^{2}}}}}}$

$그리고{\displaystyle \mathrm{}}$ 0${\displaystyle \phi }$ ≤${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle /}$ / 2. ${\displaystyle$ 0$\leq \varpi \leq \pi /2$를 만족한다$.$$}$

또는_A, n과_B n이 평면에 대한 정규 벡터인 경우, 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{ \mathbf {n} _{\mathrm {A} } \mathbf {n} _{\mathrm {B} } }}}$

여기서 n_A · n은_B 벡터의 점 산물이고 n은_AB 길이의 산물이다.^[2]

한 방정식에서 모든 계수 기호를 변경하거나 한 정규 벡터를 반대 방향으로 교체할 때 평면이 변경되지 않기 때문에 위의 공식에서 절대값이 필요하다.

그러나 경계가 같은 두 개의 반평면의 이음각은 고려할 때 절대값이 될 수 있고 피해야 한다. 이 경우, 하프 평면은 교차점 P와 세 벡터 b₀, b₁₀, b로 설명할₂ 수 있는데, 이는 각각 P + b, P + b₁, P + b가₂ 교차로선, 전반부 평면, 후반부 평면에 속한다. 이 두 개의 절반 면의 직각은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1})\cdot (\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2})}{ \mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1} \mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2} }}}$$$,

그리고가 0≤φ<>이 경우 π.{\displaystyle 0\leq \varphi<>\pi.}, 두 half-planes 전환 그렇게}− b0와 b0{\displaystyle \mathbf{b}_{0}를 대신한다.{\displaystyle -\mathbf{b}_{0}는다.}화학(아래 참조)에서, 우리는 그러한은 replacin 이면각을 규정하고 있는 같은 결과를 얻을 수 있다.g${\displaystyle {\mathbf{b}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$을$({\displaystyle }$를) 사용하여 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$을(를) 사용하여 각도의 기호를$$ 변경하며 -matbf와 π 사이일 수 있다.

고분자물리학에서

폴리머 물리학과 같은 일부 과학 분야에서는 연속된 점 사이의 연결과 점의 사슬을 고려할 수 있다. 점들이 순차적으로 번호가₁ 매겨지고 r, r₂, r 등의₃ 위치에 위치한다면 본드 벡터는 u=r-r₂₁, u₁₂=r-r₃₂, u=r-r, u_i=r-r_i+1i 등으로 더 일반적으로 정의된다.^[3] 단백질 구조의 키네마틱 체인이나 아미노산이 이에 해당한다. 이 경우 연속된 3개의 점으로 정의되는 하프플레인과 두 개의 연속된 하프플레인의 이음각도에 관심을 갖는 경우가 많다. u₁, u₂, u가₃ 연속 3개의 본드 벡터인 경우, 하프플레인의 교차점이 방향화되어 구간(- (-, π)에 속하는 이음각을 정의할 수 있다. 이 이음각은 다음과^[4] 같이 정의된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\cos\varphi&={\frac{(\mathbf{너}_{1}_{2}\mathbf{너}\times)\cdot)}{\mathbf{너}_{1}\times){u}_{2}\mathbf,\mathbf{u}_{2}\times}};={\frac{\mathbf{너}_{2}\cdot((\mathbf{너}_{1}\mathbf{너}\times_{2})\times{u}_{3}\\\sin\varphi 및 \mathbf(\mathbf{u}_{2.}\times \mathbf {u} _{3}}{{2} _{2} \mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{2} \mathbf {u} _{2}\} \mathbf {u} _{3},\end{igned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

또는 atan2 함수를 사용하여,

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})), \mathbf {u} _{2} \,(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

이 이음매 각도는 체인의 방향(점을 고려하는 순서)에 따라 달라지지 않는다. 이 순서를 뒤집는 것은 각 벡터를 반대 벡터로 교체하고 지수 1과 3을 교환하는 것으로 구성된다. 두 작업 모두 코사인을 변경하지 않고 사인 부호를 변경한다. 따라서, 그들은 함께 각도를 바꾸지 않는다.

동일한 이음각의 간단한 공식은 다음과 같다(증거가 아래에 제시됨).

${\displaystyle{\begin{정렬}\cos\varphi&={\frac{(\mathbf{너}_{1}_{2}\mathbf{너}\times)\cdot)}{\mathbf{너}_{1}\times){u}_{2}\mathbf,\mathbf{u}_{2}\times}};={\frac{\mathbf{너}_{2}\,\mathbf{u}_{1}\cdot(\mathbf{너}_{2}_{3}\mathbf{너}\times)}{년{u}_{3}\\\sin\varphi 및 \mathbf.mathbf{u} _{1}\mathbf {u} _{2} \mathbf {u} _{2}\mathbf {u} _{3}},\ended{aigned}}}}}}}$

또는 동등하게

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} ( \mathbf {u} _{2} \,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}),(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

이는 벡터 쿼드러플 제품 공식으로 이전 공식에서 추론할 수 있으며, 스칼라 트리플 제품이 동일한 벡터를 두 배 포함하면 0이라는 사실에서 추론할 수 있다.

${\displaystyle (\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}-[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{2}]\mathbf {u} _{1}=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}}$

교차 생산물의 정의로 볼 때, $이$는 { ${\displaystyle \varphi }$이(가) 두 번째 원자에서 세 번째 원자로 축을 내려다보며 첫 번째 원자에 비해 네 번째 원자의 시계 방향의 각도라는 것을$$ 의미한다. 특별한 경우(일반적인 경우라고 말할 수 있음)는 φ${\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$ = $\displaystyle \varphi =\pi },$$\phi {\displaystyle }$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \pi \mathrm{}}$/ 3 ${\displaysty \varphi =+\$$pi /3}$이며, $\phi {\displaystyle }$= -$$/ 3 {\$displaystysty \$varphi⁺ $=-}$이다⁻$.$

입체화학

입체화학에서 토션 각은 화학 결합으로 결합된 분자의 두 부분의 기하학적 관계를 기술하면서 이음각의 특별한 예로서 정의된다.^[5][6] 분자의 세 개의 비색깔 원자는 모두 반평면을 정의한다. 위에서 설명했듯이, 그러한 두 개의 반플레인이 교차할 때(즉 연속적으로 결합된 네 개의 원자의 집합) 그 사이의 각도는 이음각이다. 분자 순응을 지정하기 위해 분자 각도를 사용한다.^[7] 0°와 ±90° 사이의 각도에 해당하는 입체화학 배열은 syn(s), ±90°와 180° 반(a) 사이의 각도에 해당하는 것을 syn(s)이라고 한다. 마찬가지로 30°와 150° 사이 또는 -30°와 -150° 사이의 각도에 해당하는 배열을 클리날(c)이라 하고, 0°와 ±30° 사이 또는 ±150°와 180° 사이의 배열을 페리플라나(p)라고 한다.

두 가지 유형의 용어는 4가지 각도 범위를 정의하기 위해 결합될 수 있다. 즉, 0° ~ ±30°의 동기 평면라(sp), 30° ~ 90° 및 -30° ~ -90°의 동기 편차(sc), 90° ~ 150° 및 -90°의 반동편차(ac), ±150° ~ 180°의 각도(ap)이다. 싱페리플래너 순응은 동기화 또는 시스 컴플라이언스, 안티페리플래너(anti-periplanar) 또는 트랜스(trans)로, 싱클리널(synclinal)은 거슈 또는 스큐(skewche)로 알려져 있다.

예를 들어, n-부탄으로 두 개의 평면을 두 개의 중심 탄소 원자와 메틸 탄소 원자의 관점에서 지정할 수 있다. 위와 같은 동기적합은 60°의 이음각과 180°의 이음각의 반적합성에 비해 안정성이 떨어진다.

고분자 사용의 경우 기호 T, C, G, G⁺⁻, A⁺, A가⁻ 권장된다(각각 ap, sp, +sc, -sc, +ac, -ac).

단백질

라마찬드란 플롯(라마찬드란 도표 또는 [φ,ψ] 플롯이라고도 함)은 원래 G. N. 라마찬드란, C. 라마크리슈난, V에 의해 1963년에 개발되었다. 사시세크하란 단백질 구조에서 아미노산 잔류물 against에 대해 백본 디헤드랄 각 ψ에 대해 정력적으로 허용되는 부위를 시각화하는 방법이다.^[8] 단백질 사슬에서 세 개의 다이헤드 각도가 정의된다.

• Ω(오메가)은 체인 C^α - C' - N^α - C,
• φ (phi)는 체인 C' - N^α - C - C'에 있는 각이다.
• ψ (psi)는^α 체인 N - C - C' - N(라마찬드란으로 φ′이라 함)에 있는 각이다.

오른쪽 그림은 각 각 각도의 위치를 나타낸다(그러나 각 각도가 정의되는 방식을 올바르게 보여주지는 않는다).^[9]

펩타이드 결합의 평면성은 일반적으로 Ω을 180°(일반적인 트랜스 케이스) 또는 0°(희귀 시스 케이스)로 제한한다. 트랜스포머와 시스 이소머의 C^α 원자 사이의 거리는 각각 약 3.8 and과 2.9 å이다. 프로라인의 질소에 대한 펩타이드 결합은 다른 아미노산 쌍에 비해 시스의 유병률이 증가하지만 단백질 내 펩타이드 결합의 대부분은 트랜스이다.^[10]

사이드 체인 다이드랄 각도는 χ_n(chi-n)으로 지정된다.^[11] 이들은 180도, 60도, -60도 가까이 군집하는 경향이 있는데, 이를 트랜스, 거슈⁺, 거슈⁻ 순응이라고 한다. 특정 사이드체인 이음각의 안정성은 φ과 ψ의 값에 의해 영향을 받는다.^[12] 예를 들어, ψ이 -60°에 가까울 때 거슈⁺ 로타머에 있는 사이드 체인의 C next과 다음 잔류물의 백본 질소 사이에는 직접 강직 상호작용이 있다.^[13] 이것은 백본 의존형 로타머 라이브러리의 통계적 분포에서 명백하다.

체인의 치골각에서 데카르트 좌표로 변환

중합체 등뼈, 특히 단백질을 내부 좌표로 나타내는 것이 일반적이다. 즉 연속 이음각과 결합 길이의 목록이다. 그러나 계산 화학의 일부 유형은 대신 데카르트 좌표를 사용한다. 컴퓨터 구조 최적화에 있어, 일부 프로그램들은 반복하는 동안 이러한 표현들 사이를 왔다 갔다 할 필요가 있다. 이 일은 계산 시간을 좌우할 수 있다. 반복이 많거나 체인이 긴 공정의 경우, 누적 수치 정확도를 초래할 수 있다. 모든 변환 알고리즘은 수학적으로 동일한 결과를 내지만 속도와 수치 정확도가 다르다.^{[14][non-primary source needed]}

기하학

모든 다면체는 그 가장자리를 공유하는 두 얼굴의 관계를 묘사하는 모든 가장자리에 이면각이 있다. 얼굴 각도라고도 불리는 이 이음각은 다면체에 대한 내각으로 측정된다. 0°의 각도는 정상적인 벡터가 반경락이고 얼굴이 서로 겹치는 것을 의미하며, 이는 퇴행성 다면체의 일부임을 의미한다. 180°의 각도는 면들이 타일링에서와 같이 평행하다는 것을 의미한다. 다면체의 오목한 부분에 180° 이상의 각도가 존재한다.

가장자리-변환성 다면체의 모든 이면각은 동일한 값을 갖는다. 여기에는 플라토닉 고형분 5개, 카탈로니아 고형분 13개, 케플러-푸인소트 다면체 4개, 퀘이레곤 고형분 2개, 퀘이레곤 이중 고형분 2개가 포함된다.

공통 꼭지점 P에서 만나 가장자리 AP, BP 및 CP가 있는 다면체의 3개 면을 고려할 때, APC와 BPC를 포함하는 면 사이의 이면 각도의 코사인:^[15]

${\displaystyle \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB})-\cos(\angle \mathrm {APC})\cos(\angle \mathrm {BPC})}{\sin(각 \mathrmathrmetpc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}).$

참고 항목

• 아트로피소머

참조

외부 링크

• Tips에서 목공예에 있어서 강직각.에프엠
• 5개의 정규 다면체의 분석은 이러한 정확한 값의 단계별 파생을 제공한다.