순수하게 불가분의 연장

대수학에서, 순수하게 분리할 수 없는 장의 확장은 특성 p > 0의 필드의 k k K로, K의 모든 요소는 p와 a in k의 힘을 가진 x^q = a 형식의 방정식의 근원이 된다.순수하게 분리할 수 없는 확장을 때로는 래디컬 익스텐션이라고 부르기도 하는데, 이것은 비슷하게 들리지만 더 일반적인 급진적 익스텐션의 개념과 혼동해서는 안 된다.

순수하게 분리할 수 없는 확장

대수적 확장자 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$이$($가)^[1] 모든 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \in }$ E ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle F}$ ${\$$displaystyle \$$alpha$ $\in$ $E\setminus F$$}$에 대해 최소 다항식이 F에 대해 분리 가능한 다항식이 아닌 경우에만 순수하게 분리 가능한 확장이다.F가 어떤 분야라면, 사소한 확장 $F{\displaystyle }${ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle$F\$supseteq F}$은 순수하게 분리할 수 없는 것이다$$. 필드 F가 비종교적인 순수하게 분리할 수 없는 확장을 가지려면 위 절에서 설명한 대로 불완전해야 한다.

순수하게 불가분의 확장이라는 개념에 대한 몇 가지 동등하고 보다 구체적인 정의가 알려져 있다.$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$이(가) 주요 특성 p를 갖는 대수적 확장인$$ 경우, 다음과 같다.^[2]

1. E는 F에 대해 순전히 불가분의 관계에 있다.

2. 각 원소 $\alpha {\displaystyle }$ α${\displaystyle }$α ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$에 대해$,$ $\alpha {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {p{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {n^{}}^{}}$ n ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle$$\alpha$ ^{p$^{n}\in F}$와 같은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystystyle$n\gq $0}$이 존재한다$.$

3. E의 각 요소는 일부 정수 $n{\displaystyle }$≥ ${\displaystyle n\geq 0}$에 대한$$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle }$${\displaystyle {p{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {n^{}}^{}}$ -${\$$displaystyle X$$^{p$$^{n}-$$a}$ 형식의 $F$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ 최소 다항식을 갖는다$.$

그것은 위의 당량 characterizations에서 만약 E=F[α]{E=F[\alpha]\displaystyle}(F를 위해 가장 특징의 밭)가α pn∈ F{\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\in F}일부 정수 n에 0{\displaystyle n\geq 0}, E순수하게 F.[3]에 이것을 보(기 위해 불가분이다 ≥, 다음은 s(of all x such that ${\displaystyle x^{p^{n}}\in F}$ for some ${\displaystyle n\geq 0}$ forms a field; since this field contains both ${\displaystyle \alpha }$ and F, it must be E, and by condition 2 above, ${\displaystyle E\supseteq F}$ must be purely inseparable.)

F가 주요 특성 p의 불완전한 필드인 경우, a가 F에서 pth 전력이 아닌 ${\displaystyle \in }$ F ${\displaystyle a\in F}$를 선택하고 f(X) = X - a로^p 두십시오.Then f has no root in F, and so if E is a splitting field for f over F, it is possible to choose ${\displaystyle \alpha }$ with ${\displaystyle f(\alpha )=0}$. In particular, ${\displaystyle \alpha ^{p}=a}$ and by the property stated in the paragraph directly above, it follows that ${\di$$splaystyle F[\alpha ]\supseteq F}$은(사실상 $E{\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$[${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle E=F[\alpha$ $]\})$이며 따라서 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$은 자동으로$$ 분리 불가분의 확장이다.^[4]

순수하게 분리할 수 없는 확장은 자연적으로 발생한다. 예를 들어, 그것들은 주요한 특징의 분야에 걸쳐 대수 기하학에서 발생한다.K가 특성 p의 분야이고, V가 0보다 큰 차원의 K에 대한 대수적 품종이라면, 함수 필드 K(V)는 p번째 힘의 하위 필드 K(V)^p에 대한 순수하게 불가분의 확장이다(이것은 위의 조건 2에서 따른다).그러한 확장은 유한한 특성 p의 장에 걸쳐 타원곡선에서 p에 의한 곱셈의 맥락에서 발생한다.

특성.

• 필드 F의 특성이 (제로가 아닌) 소수 p이고, $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ F ${\displaystyle E\supseteq F}$이(가) 순수하게 분리할 수 없는 확장이라면, $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F\subseteq K\subseteq E$ E}, K는 순수하게 분리할 수 없는 확장이다.더욱이 [E : F]가 유한하면, F의 특징인 p의 힘이다.^[5]
• 반대로 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \subseteq }$ E ${\displaystyle F\subseteq K\subseteq E}$이(가)^[6] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \subseteq }$ K ${\displaystyle F\subseteq K}$ 및 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystysty K\subseteq$ E$}$이(가$$) 순수하게 분리 불가분의 확장인 경우, E가 된다.
• An algebraic extension ${\displaystyle E\supseteq F}$ is an inseparable extension if and only if there is some ${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$ such that the minimal polynomial of ${\displaystyle \alpha }$ over F is not a separable polynomial (i.e., an algebraic extension is inseparable if and only if it그러나, 분리할 수 없는 확장은 순수하게 분리할 수 없는 확장과 같은 것이 아니라는 점에 유의한다.$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$이(가) 유한도 비삼각적 분리 불가 확장이라면$$, [E : F]는 반드시 F의 특성으로 분할된다.^[7]
• E ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$이(가) 유한도 정상 확장이고$$, $K{\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{Fix}}$(${\displaystyle E/F}$)${\displaysty K={\mbox{Gal}(E/F$이(가) {\$mbox{$^[8]Gal}}}, E는 F를 통해 순수하게 분리할 수 있다.

순수하게 불가분의 확장에 대한 갈루아 통신

제이콥슨(1937년, 1944년)은 갈루아 이론의 갈루아 집단이 제한된 리 알제브라(Lie Algebras)의 파생어로 대체되는 순수하게 불가분의 지수 1의 확장을 위해 갈루아 이론의 변형을 도입했다.가장 간단한 경우는 최대 1에서 지수의 순수하게 분리할 수 없는 확장 K kL에 대한 것이다(L의 모든 요소의 p번째 힘이 K에 있다는 것을 의미한다).이 경우 L의 K-deivation의 Lie 대수학은 L에 대한 차원 n의 벡터 공간이기도 한 제한된 Lie 대수학이며, 여기서 [L:K] = pⁿ, K를 포함하는 L의 중간 장은 L에 대한 벡터 공간인 이 Lie 대수학의 제한된 Lie 하위 대수학에 해당한다.파생의 리 대수는 L에 대한 벡터 공간이지만, 일반적으로 L에 대한 리 대수는 아니지만, 차원 n[L:K] = np의ⁿ K에 대한 리 대수다.

순수하게 분리할 수 없는 확장은 단순한 확장의 텐서(tensor) 제품이라면 모듈형 확장이라고 부르기 때문에, 특히 지수 1의 모든 확장은 모듈형이지만 지수 2의 비모듈형 확장(Weisfeld 1965)이 있다(Weisfeld 1965스위들러(1968년)와 게르스텐하버 & 자롬프(1970년)는 모듈형 순수하게 분리할 수 없는 확장에 갈루아 통신의 연장을 주었고, 여기서 파생은 더 높은 파생으로 대체된다.

참고 항목

• 제이콥슨-부르바키 정리

참조

• Gerstenhaber, Murray; Zaromp, Avigdor (1970), "On the Galois theory of purely inseparable field extensions", Bulletin of the American Mathematical Society, 76: 1011–1014, doi:10.1090/S0002-9904-1970-12535-6, ISSN 0002-9904, MR 0266904
• Isaacs, I. Martin (1993), Algebra, a graduate course (1st ed.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, Nathan (1937), "Abstract Derivation and Lie Algebras", Transactions of the American Mathematical Society, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 42 (2): 206–224, doi:10.2307/1989656, ISSN 0002-9947, JSTOR 1989656
• Jacobson, Nathan (1944), "Galois theory of purely inseparable fields of exponent one", American Journal of Mathematics, 66: 645–648, doi:10.2307/2371772, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371772, MR 0011079
• Sweedler, Moss Eisenberg (1968), "Structure of inseparable extensions", Annals of Mathematics, Second Series, 87: 401–410, doi:10.2307/1970711, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970711, MR 0223343
• Weisfeld, Morris (1965), "Purely inseparable extensions and higher derivations", Transactions of the American Mathematical Society, 116: 435–449, doi:10.2307/1994126, ISSN 0002-9947, JSTOR 1994126, MR 0191895