양자 상태의 충실도

양자역학, 특히 양자정보론에서 충실도는 두 양자 상태의 "밀밀도"를 측정하는 척도다.그것은 한 주가 다른 주와 동일시하기 위해 시험을 통과할 확률을 나타낸다.충실도는 밀도 행렬의 공간에 대한 메트릭이 아니라 이 공간에 대한 뷰어 메트릭을 정의하는 데 사용할 수 있다.null

Given two density operators ${\displaystyle \rho }$ and ${\displaystyle \sigma }$, the fidelity is generally defined as the quantity ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2}}$. In the special case where ${\displaystyle \rho }$ and ${\displaystyle \sigma }$ represent pure quantum states, namely, ${\displaystyle \rho = \psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho } }$ and ${\displaystyle \sigma = \psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma } }$, the definition reduces to the squared overlap between the states: ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )= \langle \psi _{\rho } \psi _{\sigma }\rangle ^{2}}$. While not obvious from the general definition, the fidelity is symmetric: ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=F(\sigma$$,\backslash$$rho )}.$

동기

Given two random variables ${\displaystyle X,Y}$ with values ${\displaystyle (1,...,n)}$ (categorical random variables) and probabilities ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})}$ and ${\displaystyle q=(q_{1},q_{2},\l$$도트,q_{n$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$의 충실도는 수량으로 정의됨$$

${\displaystyle F(X,}$ ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle {\sum \underset{}{}}^{}}$ i ${\displaystyle {\underset{}{p}}^{}}$ ${\displaystyle {\sqrt{{}_{}{}_{}}}^{}}$ ${\displaystyle {\sqrt{i_{}}}^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$$2}}.$

충실도는 랜덤 변수의 한계 분포를 다룬다.그것은 그 변수의 공동 분포에 대해 아무것도 말하지 않는다.In other words, the fidelity ${\displaystyle F(X,Y)}$ is the square of the inner product of ${\displaystyle ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{n}}})}$ and ${\displaystyle ({\sqrt {q_{1}}},\ldots ,{\sqrt {q_{n}}})}$ viewed as vectors in Euclidean space. Notice that ${\displaystyle F(X,Y)=1}$ if and only if ${\displaystyle p=q}$. In general, ${\displaystyle 0\leq F(X,Y)\leq 1}$. The measure ${\displaystyle \sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}$ is known as the Bhattacharyya coefficient.null

두 확률 분포의 구별성에 대한 고전적인 측도를 고려할 때, 다음과 같은 두 양자 상태의 구별성에 대한 측정에 동기 부여를 할 수 있다.한 실험자가 양자 상태가 두 가지 $({\displaystyle \rho}}$ 또는$$ $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma })$ 중 하나인지 여부를 확인하려고 하는 경우$,$ 해당 상태에서 취할 수 있는 가장 일반적인 측정은 POVM이며, 이는 일련의 은둔자 양성 반미완성 사업자${\displaystyle }${${\displaystyle {Fi}_{}}$ ${\displays$}에 의해 설명된다.$tyle \{F_{i}\}}$. If the state given to the experimenter is ${\displaystyle \rho }$, they will witness outcome ${\displaystyle i}$ with probability ${\displaystyle p_{i}=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$, and likewise with probability ${\displaystyle q_{i}=\opera$$\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$에 대한 $토르네임 {tr}(\sigma F_{i$$\}).$ 양자 상태 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$과 $\sigma {\displaystyle }$$${\$displaystyle \sigma }$을(가)을(가$$) 구별할 수 있는 능력은 그 다음, 고전적 $확률{\displaystyle }$ $분포$ p {\$displayp$ {\displaystategory styp$${\$displaystate$)와$$q.$q}$자연스레, 실험자는 찾을 수 있는 최고의 POVM을 선택할 것이다. 따라서 이는 양자 충실도를 가능한 모든 POVM에 대해 극단화했을 때 제곱된 Bhattacharyya 계수로 정의하는 동기를 부여한다${\displaystyle {}_{}}${${\displaystyle {Fi}_{}}$} {\$displaystyle \{F_{i}\}\}}$:

$(\displaystyle F(\rho ,\sigma ){F_{i}\}F(X,Y)=\min _{\{F_{i}\}\{sum _{i}}{\sum}{\sqrt 이름 {tr}(\rho F_{i}})\operatorname {tr}(\sigma F_{i}}}}}\right)^{2}}$

이 뚜렷한 대칭적 정의가 다음 절에 제시된 단순 비대칭 공식과 동일하다는 것을 Fuchs와 Coles가 보여주었다.^[1]null

정의

ρ과 mat의 두 가지 밀도 행렬을 주어, 충실도는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\왼쪽(\operatorname {tr}{\sqrt {{\rho }}}\sigma {\sqrt{\rho }}}}}}^{2},}$

여기서, 양의 세미데마인 $행렬{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$의 경우$,$ $M{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\${\$sqrt{M}}$은 스펙트럼 정리에 의해 주어진 고유한 양의 제곱근을 나타낸다$$.고전적 정의의 유클리드 내측 제품은 힐버트-슈미트 내측 제품으로 대체된다.null

양자 상태 충실도의 중요한 특성 중 일부는 다음과 같다.

• 대칭.${\displaystyle F}$ (${\displaystyle \rho }$ ,${\displaystyle \sigma }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \rho }$) ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=F(\sigma ,\rho$ $)\}.$
• 경계 값.모든 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$ 및$$ $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$${\displaystyle \mathrm{sigma}}$$\},$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ $(\rho,\sigma$ )$\le$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ $F$$(\rho,\rho=})$에 대해$.$
• 확률 분포 간의 충실도와 일관성.$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$ 및 $\sigma$ ${\displaystyle \sigma }$ 통근할 경우 정의는 다음과 같이 단순화된다.
  $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left[\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right]^{2}=\left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}=F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),}$$

  
  여기서 p ${\displaystyle k_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$은(는) 각각 ${\displaystyle \rho }$,$display$ {\displaystyle \$rho ,\sigma }$의 고유값이다$.$이를 보려면 [${\displaystyle \rho }$ ,${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ]}$= 0 ${\displaystyle [\rho ,\sigma ]=0}$인 경우 동일한 기준으로 대각선을 지정할 수 있음을 기억하십시오.
  $${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}i}i\langle \langle i {\\langle i {\\\langle i {\\\i}$$

  
  so that ${\displaystyle \operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}=\operatorname {tr} \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}} i\rangle \!\langle i \right)=\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}.$$}$
• 순수 상태에 대한 단순화된 표현식.If ${\displaystyle \rho }$ is pure, ${\displaystyle \rho = \psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho } }$, then ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\langle \psi _{\rho } \sigma \psi _{\rho }\rangle }$. This follows from
  $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt { \psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho } \sigma \psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho } }}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho } \sigma \psi _{\rho }\rangle \left(\operatorname {tr} {\sqrt { \psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho } }}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho } \sigma \psi_{\rho }\angle .}$$

  
  If both ${\displaystyle \rho }$ and ${\displaystyle \sigma }$ are pure, ${\displaystyle \rho = \psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho } }$ and ${\displaystyle \sigma = \psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma } }$, then ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=⟨{\psi }_{}}$${\displaystyle {}_{}\rho {}_{}{}_{}}$ ψ ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$2 {\$displaystyle$F(\$rho ,\sigma )=$ \$langle \psi$_{\$rho } \psi _${\sigma $}\$rangele $^{2$ 이는 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystystyle \rho$} 순수함을$$ 위 표현에서 바로 이어진다.

• 등가식.

• Qubit에 대한 명시적 표현식.

대체 정의

일부 저자는 대체 정의 ${\displaystyle F\sqrt{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle :=}$ F ${\$를 사용하며$$ 이 수량을 충실도라고 부른다.^[4]$그러나$ F ${\displaystyle F}$의 정의는 더 일반적이다.^[5][6][7]$혼란$을 피하기 위해 F${\displaystyle {}^{}}$′ ${\$을(를) "제곱근 충실도"라고 부를 수 있다$$.어떤 경우든 충실도를 사용할 때마다 채택된 정의를 명확히 하는 것이 바람직하다.null

기타 속성

유니터리 비협

직접적 계산은 그 충실성이 단일 진화 즉, 단일한 진화에 의해 보존된다는 것을 보여준다.

$\\displaystyle \;F(\rho ,\sigma )=F(U\rho \;;U^{*},U\sigma U^{*}}}$

모든 단일 운영자 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에 대해$.$

울만의 정리

우리는 두 개의 순수한 상태의 경우, 그들의 충실도가 겹치는 것과 일치한다는 것을 보았다.Uhlmann의 정리는^[8] 혼합된 상태들에 대해 다음과 같은 청산의 관점에서 이 진술을 일반화한다.

정리 렛과 렛은 C에ⁿ 작용하는 밀도 행렬이 된다.ρ.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄2이 되uniq자.ρ의 Ue 긍정적인 제곱 근.

ρ의 정화(therefore${\displaystyle }${ e ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$가 되면 다음과 같은 평등이 유지된다.

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\max _{\psi _{\sigma }\langle \langle \psi _{\rho } \psi _{\sigma ^{2}}:$

여기서 ${\displaystyle \psi {}_{}}$ ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \psi_{\sigma }\rangele }$은(는) σ의 정화다$$.따라서 일반적으로 충실도는 정화 사이의 최대 중복이다.null

증거 스케치

간단한 증거는 다음과 같이 스케치할 수 있다.${\displaystyle \Omega \mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\$이(가) 벡터를 나타내도록$$ 하십시오.

${\displaystyle \Oomega \rangele =\sum _{i=1}^{n} e_{i}\rangele \otimes e_{i}\rangele }}$

그리고 σ은^1⁄2 σ의 고유한 양의 제곱근이다.우리는 사각근원 인자화에서의 단일화된 자유, 정형근거의 선택으로 인해 arbitrary의 임의적인 정화가 형태라고 본다.

${\displaystyle \psi _{\sigma _}\rangele =(\sigma ^{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2}) \Oomega \rangele }$

여기서_i V는 단일 운영자야이제 우리는 직접 계산한다.

${\displaystyle \langle \psi _{\rho } \psi _{\sigma }\rangle ^{2}= \langle \Omega (\rho ^{{1}/{2}}\otimes I)(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2}) \Omega \rangle ^{2}= \operatorname {tr} (\rho ^{{1}/{2}}\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}V_{2}^{T}) ^{2}.}$

그러나 일반적으로 모든 사각 행렬 A와 단일 행렬 U에 대해 tr(AU) ≤ tr(AA^*)은 사실이다.^1⁄2나아가 U가^* A의 극분해에서 단일 연산자라면 평등이 이루어진다.이로부터 울만의 정리를 직접 따른다.null

명시적 분해로 입증

우리는 여기서 Uhlmann의 정리를 증명할 수 있는 대안적이고 노골적인 방법을 제공할 것이다.null

${\displaystyle {\psi }_{}}$ {\$displaystyle \psi _{\rho }\rangle$ ${\displaystyle {}_{}}$과(와) ${\displaystyle {\psi }_{}}$ ${\displaystyle \psi$\{\$sigma }}을($를) $각각{\displaystyle }$ {$${\$displaysty \rho$}과 {$${\$displaystystystytype \sigma }$의 청결정으로 한다$$$.$먼저 ⟨${\displaystyle }$⟨ ${\displaystyle {\psi }_{}}$ ${\displaystyle {tr}_{}}$ tr${\displaystyle {}_{}}$tr tr${\displaystyle tr\sqrt{}}$ ${\displaystyle \{}$ { { { { { { { ${$ \$langle$ \$langle \psi _{\rho }\\$langle $\leq \operatorname {tr}{\sqrt{\rho}{\sqrt{\sigma$

국가 청산의 일반적인 형태는 다음과 같다.

were ${\displaystyle \lambda _{k}\rangle , \mu _{k}\rangle }$ are the eigenvectors of ${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$, and ${\displaystyle \{u_{k}\}_{k},\{v_{k}\}_{k}}$ are arbitrary orthonormal bases.그 정화들 사이의 중복은는 어디에 단위 행렬 U{U\displaystyle}로 정의된다.결론은 지금 것은 불평등 tr의 사용을 통해서 ⁡(AU){tr}}:≤ tr ⁡(A† A)≡ tr ⁡{\displaystyle \operatorname{tr}(AU)\leq\operatorname{tr}({\sqrt{A^{\dagger}한}})\equiv \operatorname에 도달한 것이다.이 불평등은 삼각 부등식 매트릭스의 단수 값에 적용됩니다.제네릭 매트릭스에 대한 사실, A≡ ∑ jsj(A) j⟩ ⟨ bj{\displaystyle A\equiv \sum_{j}(A)a_{j}\rangle\!\langle b_{j}}과 단일 U)∑ jbj⟩ ⟨ wj{\displaystyle U=\sum_{j}b_{j}\rangle\!\langle w_{j}}, 해 주고 있습니다.어디 sj(A)≥ 0{\displaystyle s_{j}(A)\geq 0}일 경우는(항상non-negative 진짜) 값의{A\displaystyle}에 단수 값 분해하는 것입니다.그 불평등괄 때⟨ wj k⟨ 때 U)∑ kbk⟩,{\displaystyle U=\sum_{k}b_{k}\rangle\!\langle a_{k},}, 따라서 AU-1j⟩=1{\displaystyle\langle w_{j}a_{j}\rangle =1}, 즉 A† ≡{\displaystyle AU={\sqrt{AA^{\dagger이 되는 평등 포화 상태입니다.}}}한}. 위의를 ⟨ ψ ρ ψ σ ⟩ = tr ⁡ ρ σ{\displaystyle \langle \psi_{\rho}\psi _{\sigma}\rangle=\operatorname{tr}{\sqrt{\rho}}{\sqrt{\sigma}}}이 purificationsρ ⟩{\displaystyle \psi_{\rho}\rangle ψ}과ψσ ⟩{\displaystyle \p \equiv.왜냐하면 이 선택 관계 없이 미국 가능한 것이죠 네 _{\sigma}\rangle} 이러한은 ρσ U)ρ σ{\displaystyle{\sqrt{\rho}}{\sqrt{\sigma}}U={\sqrt{\rho}}{\sqrt{\sigma}}}., 우리는 마침내 그 맺을 수 있습니다.

결과들

Uhlmann의 정리가 가져올 즉각적인 결과들은

• 충실도는 그 주장에서 대칭이다. 즉, F( (, σ) = F(σ, ρ)이다.이것은 원래 정의에서 명확하지 않다는 점에 유의하십시오.
• F (1998년, )는 [0,1년]에 있으며, Cauchy-Schwarz 불평등에 의해 이루어진다.
• F_ρ (ρ, σ) = ρ = σ이면 1이며, = = σ을_σ 의미하기 때문에 since = σ = σ.

그래서 우리는 충실함이 거의 미터법처럼 작용한다는 것을 알 수 있다.이것을 공식화하고 정의함으로써 유용하게 만들 수 있다.

${\displaystyle \cos ^{2}\theta _{\rho \sigma }=F(\rho ,\sigma )\,}$

As the angle between the states ${\displaystyle \rho }$ and ${\displaystyle \sigma }$. It follows from the above properties that ${\displaystyle \theta _{\rho \sigma }}$ is non-negative, symmetric in its inputs, and is equal to zero if and only if ${\displaystyle \rho =\sigma }$. Furthermore, it can be pr삼각형 불평등에 따랐기 때문에,^[4] 이 각도는 주 공간에 대한 미터법인 푸비니-스터디 미터법이다.^[9]null

해당 확률 분포 간의 충실도와 관계

Let ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$ be an arbitrary positive operator-valued measure (POVM); that is, a set of operators ${\displaystyle E_{k}}$ satisfying ${\displaystyle \sum _{k}E_{k}=I}$. It also can be an arbitrary projective measurement (PVM) meaning it is a POVM that also satisfies $E{\displaystyle {}_{}}$ j ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$E_{j}}$ 및$$ E $k{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= E ${\displaystyle k_{}}$ ${\$그런 다음, $({\displaystyle \rho$})와 상태$({\displaystyle \sigma })$ 중 어떤 쌍에 대해서도 다음을 수행하십시오$.$

여기서 우리가 p ${\displaystyle k_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ , ${\displaystyle \text{q}}$ k ${\$${\displaystyle \{}$$k},q_$${$$k$$}}}$ POVM${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ $k$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$$rho ,\\\\$$sigma$ $\}\}$을(를$)$ 측정하여 얻은 확률$$ 분포.

이것은 두 양자 상태 사이의 충실도의 제곱근은 가능한 모든 POVM에서 해당 확률 분포 사이의 Bhattacharyya 계수에 의해 상한으로 되어 있음을 보여준다.실제로, 보다 일반적으로 는 사실이다.

여기서 $F{\displaystyle (p\mathit{}}$ ,${\displaystyle q\mathit{}}$ ) ${\displaystyle \equiv {}^{}}$( ${\displaystyle {\sum \underset{}{}}^{}}$ k ${\displaystyle {\underset{}{}\sqrt{{}_{}}}^{}}$ ${\displaystyle {\sqrt{k_{}}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ k${\displaystyle {\sqrt{{}_{}}}^{}}$) 2 ${\$(\sum$_{k}{p_{k}q_{k}}}}}}}}}}}\rig)^2$}}, 최소값이 모든 POVM보다 선택된다$.$

부등식 증명

As was previously shown, the square root of the fidelity can be written as ${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }} ,}$which is equivalent to the existence of a unitary operator ${\displaystyle U}$ such that

$\sum {\displaystyle \underset{k}{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \sum _{k}E_{k}=$라는 것을 기억함$I}$은(는) 모든 POVM에 대해 유효하며, 그러면 우리는 쓸 수 있다.where in the last step we used Cauchy-Schwarz inequality as in ${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{\dagger }B) ^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{\dagger }A)\operatorname {tr} (B^{\dagger }B)}$.

양자 연산 하에서의 동작

비선택적 양자 연산 $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 다음 상태에 적용하면 두 상태 간의 충실도가 절대 감소하지 않는 것으로 나타날 수 있다.^[10]

추적 보존 완전 양성 ${\displaystyle \mathcal{}}$ E ${\$

추적 거리와의 관계

우리는 두 행렬 A와 B 사이의 추적 거리를 다음과 같이 추적 규범 관점에서 정의할 수 있다.

${\displaystyle D(A,B)={\frac {1}{1}:{2}}\A-B\ _{\rm {tr}\,}$

A와 B가 모두 밀도 연산자인 경우, 이는 통계 거리의 양자 일반화다.이는 미량 거리가 Fuchs-van de Graaf 불평등에 의해 정량화된 충실도에 대한 상한과 하한을 제공하기 때문에 관련이 있다.^[11]

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq D(\rho ,\sigma )\leq {1-F(\rho ,\sigma )}},.}$

종종 추적 거리는 충실도보다 계산하거나 구속하기 쉬우므로 이러한 관계는 상당히 유용하다.적어도 하나 이상의 상태가 순수 상태 Ⅱ인 경우에는 하한을 조일 수 있다.null

$1-F(\psi ,\rho )\leq D(\psi ,\rho )\,}$

참조

• 콴티키:피델리티