필드 확장의 이중 기반

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수학에서는 필드 추적을 이용하여 유한확장 L/K의 맥락에서 이중근거의 선형대수 개념을 적용할 수 있다.이를 위해서는 필드 트레이스_L/K Tr이 K에 걸쳐 비감소 2차 형태를 제공하는 특성이 필요하다.이는 연장이 분리 가능한 경우 보장할 수 있으며, K가 완벽한 필드인 경우, 따라서 K가 유한한 경우 또는 특성 0인 경우 자동으로 적용된다.

이중 기준()은 다항식 기준이나 정상 기준과 같은 구체적인 기준이 아니라, 계산에 제2의 기준을 사용하는 방법을 제공한다.

유한 분야의 원소에 대한 두 가지 기준, GF(p^m):

${\displaystyle B_{1}={\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots,\alpha _{m-1}}$

그리고

${\displaystyle B_{2}={\gamma _{0},\gamma _{1},\ldots,\gamma _{m-1}}$

그러면 B는₂ 제공된 B의₁ 이중 기준으로 간주될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Tr}(\alpha _{i}\cdot \gamma _{j}=\{\begin{matrix}0,&\operatorname {if} \neq j\1,&\operatorname {otherwise} \end{matrix}).}$

여기서 GF(p^m)의 값의 추적을 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Tr}(\beta )=\sum _{i=0}^{m-1}\beta ^{p^{i}}}}}$

이중 베이스를 사용하면 베이스 공식 변경으로 베이스 간을 명시적으로 변환할 필요 없이 다른 베이스를 사용하는 기기 간에 쉽게 통신할 수 있는 방법을 제공할 수 있다.또한, 이중 기준을 구현하는 경우, 원래 기반에 있는 요소에서 이중 기반으로의 변환은 곱셈을 통해 이루어질 수 있다(보통 1).

참조

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1994). Introduction to finite fields and their applications. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9781139172769. ISBN 9781139172769., 정의 2.30, 페이지 54.