최소 위상

제어 이론과 신호 처리에서, 시스템과 그 역이 인과적이고 안정적인 경우, 선형 시간 변이 시스템은 최소 위상이라고 한다.^[1][2]

가장 일반적인 원인 LTI 전송 기능은 일련의 올패스 및 최소 위상 시스템에 고유하게 고려될 수 있다. 그러면 시스템 기능은 두 파트의 산물이 되며, 시간 영역에서는 시스템의 반응이 두 파트의 응답의 경합이다. 최소 위상과 일반 전달 함수의 차이는 최소 위상 시스템이 s-평면 표현 왼쪽 절반(각각 z-평면의 단위 원 내부에 이산 시간)에 전송 함수의 모든 극과 영을 가지고 있다는 것이다. 시스템 기능을 뒤집으면 극이 0으로, 그 반대 방향으로 회전하게 되고, 복잡한 평면의 오른쪽(s-plane viction line) 또는 외부(z-plane unit circle)에 있는 극이 불안정한 시스템으로 이어지기 때문에 최소 위상 시스템의 등급만 거꾸로 닫힌다. 직관적으로 일반 인과계의 최소 위상 부분은 최소 그룹 지연으로 진폭 응답을 구현하는 반면, 그 모든 통과 부분은 원래의 시스템 기능과 일치하도록 위상 응답을 단독으로 수정한다.

극과 영의 측면에서 분석하는 것은 다항식의 비율로 표현할 수 있는 전달함수의 경우에만 정확하다. 연속적인 시간 사례에서, 그러한 시스템은 기존의 이상화된 LCR 네트워크의 네트워크로 변환된다. 이산 시간에는 덧셈, 곱셈, 단위 지연을 이용하여 그 근사치로 편리하게 번역한다. 두 경우 모두 순서가 증가하는 합리적 형태의 시스템 기능을 다른 시스템 기능에 효율적으로 근사하게 사용할 수 있다는 것을 보여줄 수 있다. 따라서 합리적인 형태가 결여된 시스템 기능도 실제로 다른 기능만큼 효율적으로 구현될 수 있다.

인과적이고 안정적인 시스템의 맥락에서, 우리는 이론상으로는 폐쇄 조건이 문제가 되지 않는다면 시스템 기능의 0이 안정적인 범위(우측 또는 외부) 밖에 있는지 여부를 자유롭게 선택할 수 있을 것이다. 그러나 이론적으로 완벽한 인수합병(Cf. 스펙트럼 대칭/대칭 분해)이 다른 중요한 예로서 예를 들어 힐버트 변환 기법으로 이끄는 것과 마찬가지로, 역전은 매우 실제적으로 중요하다. 또한 많은 물리적 시스템들은 자연적으로 최소 위상 응답 쪽으로 경향이 있으며, 때로는 동일한 제약을 준수하는 다른 물리적 시스템을 사용하여 반전되어야 한다.

왜 이 시스템을 최소 단계라고 하는지, 그리고 시스템 기능을 실행할 수 있는 합리적인 형태로 주조할 수 없는데도 기본 아이디어가 적용되는지에 대한 통찰력은 아래에 제시되어 있다.

역계

$시스템{\displaystyle \mathbb{}}$ H {\$displaystyle \mathb$ {$H}$}은$($는) 출력에서 시스템 입력을 고유하게 결정할 수 있으면 변환할 수 없다$$$.$ I.e., we can find a system ${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}$ such that if we apply ${\displaystyle \mathbb {H} }$ followed by ${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}$, we obtain the identity system ${\displaystyle \mathbb {I} }$. (See Inverse matrix for a finite-dimensional analog). 즉,

${\displaystyle \mathb {H} _{inv}\,\mathb {H} =\mathb {I}}}$

$x{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$이$($가) $시스템{\displaystyle \mathbb{}}$ H ${\$에 입력되고 출력$$$$ $y{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\${$y}}$을$($를) 제공한다고 가정합시다.

${\displaystyle \mathb {H} \,{\tilde {x}={\tilde {y}}}$

$역계{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $H{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{in}}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ {\$displaystyle \mathb{H} _{inv}}$를 y${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$에 적용하면 다음과 같은 결과가$$ 나온다.

${\displaystyle \mathb {H} _{inv}\,{\tilde {y}=\mathb {H} _{inv}\,\mathb {H} \,{\tilde {x}=\mathb {I} \,{\tilde {x}}={\tilde {x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

따라서 역 시스템 ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle v_{}}$ ${\$을(를) 통해 출력 $y{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$에서 입력 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$}을$($를) 고유하게 결정할 수 있음을 알 수 있다$.$

이산 시간 예제

시스템 $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) Z에서 n에 대한$$ 임펄스 응답 $h{\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle h(n)}$에 의해 설명되는 이산 시간, 선형, 시간 변동성(LTI) 시스템이라고$$ 가정합시다. 또한 $H{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{in}}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$에 충동 응답 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ n ${\displaystyle v_{}}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle h_{inv}(n)$이 있다고 가정해 보십시오$.$ 두 개의 LTI 시스템의 계단식 배열은 하나의 경련이다. 이 경우 위의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle (h_{h}*h)=(h*h_{h)=(n)=\sum_{k=-\infit }^{{h(k)\,h_{n-k(n-k)=\n)}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \delta (n)}$은(는) 개별 시간 사례의 Kronecker 델타 또는 ID 시스템이다$$. ($h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ n v ${\$ 및$$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$의 순서 변경은 콘볼루션 작업의 동시성으로 인해 허용됨$$) 이 역 시스템 $Hi{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$ {$H} _{inv}}$은(는) 고유할 필요가 없다는$$ 점에 유의하십시오.

최소상계

인과성과 안정성의 제약조건을 부과할 때 역계통은 고유하며, 시스템 $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$과 역 H $i{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$ {$H} _{inv}$를 최소 위상이라고 한다$$. 이산 시간 사례의 인과성 및 안정성 제약조건은 다음과 같다(h가 시스템의 충동 반응인 시간 변화 시스템의 경우).

인과성

$\\displaystyle h(n)=0\,\,\all \,n<0}$

그리고

${\displaystyle h_{nu}(n)=0\,\,\forall \,n<0}$

안정성

${\displaystyle \sum _{n=-\nft }^{\nft }{\왼쪽 h(n)\오른쪽 }=\h\{1}{1}}$

그리고

${\displaystyle \sum _{n=-\nft }^{\nft }{nft h_{ft}(n)\right }=\ h_{ft}\{1}{nft}\{1}$

연속 시간 사례의 유사 조건에 대한 안정성 기사를 참조하십시오.

주파수 분석

이산 시간 주파수 분석

이산 시간 사례에 대한 주파수 분석을 수행하면 어느 정도 통찰력을 얻을 수 있을 것이다. 시간 영역 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle (h*h_{pair})(n)=\,\!\pair(n)}$

Z-변환기를 적용하면 z-도메인에서 다음과 같은 관계가 된다.

${\displaystyle H(z)\,H_{inv}(z)=1}$

이러한 관계로부터 우리는 다음과 같은 사실을 깨닫는다.

${\displaystyle H_{inv}(z)={\frac {1}{H(z)}}}$

단순성을 위해 합리적인 전송함수 H(z)의 경우만을 고려한다. 인과도와 안정성은 H(z)의 모든 극이 반드시 단위 원 안에 있어야 함을 의미한다(안정성 참조). 가정하다

${\displaystyle H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}}}}$

여기서 A(z)와 D(z)는 다항식(z)이다. 인과도와 안정성은 극(D)의 뿌리인 D(z)가 단위 원 안에 있어야 함을 의미한다. 우리도 알고 있다.

${\displaystyle H_{inv}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}}}}$

따라서 ${\displaystyle {Hi}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle H_{inv}(z)}$에 대한 인과성과 안정성은 극(극)인 A(z)의 뿌리가 단위 원 안에 있어야 함을 의미한다$$. 이 두 가지 제약조건은 최소 위상 시스템의 0과 극이 모두 단위 원 안에 있어야 함을 의미한다.

연속시간주파수

연속 시간 사례에 대한 분석은 우리가 주파수 분석에 Laplace 변환을 사용하는 것을 제외하고 유사한 방식으로 진행된다. 시간 영역 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle(h*h_{filename})(t)=\,\!\pair(t)}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \delta (t)}$은 Dirac 델타 함수다. Dirac 델타 함수는 신호 x(t)를 가진 시프팅 특성 때문에 연속 시간 사례에서 ID 연산자다.

${\displaystyle (\displaystyle *x)(t)=\int _{-\infit }^{\infit }\property (t-\tau )x(\tau )d\tau =x(t)}$

라플라스 변환을 적용하면 s-평면에서 다음과 같은 관계가 된다.

${\displaystyle H(s)\,H_{inv}=1}$

이러한 관계로부터 우리는 다음과 같은 사실을 깨닫는다.

${\displaystyle H_{inv}={\frac {1}{H}}}}$

다시, 단순성을 위해 합리적인 전달 함수 H의 사례만을 고려한다. 인과도와 안정성은 H의 모든 극이 왼쪽 1/2 s 평면에 엄격히 들어가야 함을 의미한다(안정성 참조). 가정하다

${\displaystyle H(s)={\frac {A}{D}}}}$

여기서 A와 D는 s 단위의 다항식이다. 인과도와 안정성은 극(D)의 뿌리가 왼쪽 절반 s-평면 안에 있어야 함을 의미한다. 우리도 알고 있다.

${\displaystyle H_{inv}={\frac {D}{A}}}}$

따라서 ${\displaystyle {Hi}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ v${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle s}$) ${\displaystyle H_{inv}s}$에 대한 인과성과 안정성은 극(들)이 A의 뿌리인 왼쪽 s-평면 안에 반드시 있어야 함을 의미한다$$. 이 두 제약조건은 최소 위상 시스템의 0과 극이 모두 왼쪽 절반 s-평면 안에 있어야 함을 의미한다.

위상 반응에 대한 규모 반응의 관계

최소 위상 시스템은 이산 시간이든 연속 시간이든 주파수 응답의 크기(dB에 비례하는 족벌로 측정한 "게인")의 자연 로그가 힐버트 변환에 의한 주파수 응답(라디안으로 측정한)의 위상 각도와 관련이 있다는 추가적인 유용한 속성을 가지고 있다. 즉, 연속 시간 사례에서는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle H(j\omega)\\\\\\stackrel {def}{=}}\{}\Big }_{s=j\omega }\}}}}$

시스템 H의 복잡한 주파수 응답이다. 그 다음, 최소상계에서만 H의 위상반응은 다음의 이득과 관련된다.

$\displaystyle \arg \왼쪽[왼쪽]H(j\omega )\right]=-{\mathcal {H}\lbrace \log(H(j\omega ) \right)\rbrace \}$

여기서 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) Hilbert 변환을 의미하며$$, 반대로

${\$$왼쪽]$$H(j\omega )\right]\rbrace \$

좀 더 간결하게 말하자.

$\displaystyle H(j\omega )=H(j\omega) e^{j\arg \left[왼쪽]H(j\omega )\right]\\\\\\stackrel {def}}{=}}\e^{j\pha(\omega )e^{j\phi(\omega )}=e^{\alpha(\omega )+j\phi(\omega )}\ }}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$ (${\displaystyle \Omega }$ )$${\$displaystyle$\ ( (\$omega )}$ $및$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle \Omega }$)$${\$displaystyle \phi (\omega )}$은 실제 변수의 실제 함수다$$. 그러면

${\displaystyle \phi(\omega )=-{\mathcal {H}\lbrace \alpha(\omega)\rbrace \}$

그리고

${\displaystyle \alpha }$ (${\displaystyle \Omega }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \alpha }$ (${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ )${\displaystyle }$+ ${\displaystyle H\mathcal{}}$ {${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (\Omega )\}\}}$ ${\$

Hilbert 변환 연산자는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}\lbrace x(t)\rbrace \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\widehat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau \ }$ .

이산 시간 최소 위상 시스템에도 동등한 해당 관계가 적용된다.

시간 영역의 최소 위상

동일한 크기 반응을 가지는 모든 인과적이고 안정적인 시스템에 대해 최소 위상 시스템은 그 에너지가 충동 반응의 시작 부근에 집중된다. 즉, 충동 반응에서 에너지의 지연으로 생각할 수 있는 다음과 같은 기능을 최소화한다.

${\displaystyle \sum \{n=m}^{n=m}^}\왼쪽 h(n)\오른쪽 ^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,all \,m\in \mattheb {Z}^{+}}}}}}}}$

최소 그룹 지연으로 최소 위상 설정

동일한 크기 응답을 갖는 모든 인과적이고 안정적인 시스템에 대해 최소 위상 시스템은 최소 그룹 지연을 가진다. 다음 증거는 최소 그룹 지연에 대한 아이디어를 예시한다.

1 $0$을${\displaystyle }$전송 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$H ($$z ) {\$displaystyle H($z$$)}의 ${\displaystyle a}$이라고 가정합시다$.$ 이 0을 단위 원 안에$$ ${\displaystyle$ a ${\displaystyle \left a\right <1$로 두고 그룹 지연이 어떤 영향을 받는지 봅시다.

${\displaystyle a=\오른쪽 e^{i\theta _{a}\,{\mbox{where},\theta _{a}={\mbox{Arg}(a)}}$

0 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$이(가) ${\displaystyle {}^{}}$ 1 -${\displaystyle }$z${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ 전송 함수에 기여하므로$$$$, 이 용어에 의해 기여되는 단계는 다음과 같다.

${\displaystyle \phi _{a}\왼쪽(\omega \오른쪽)={\mbox{Arg}\왼쪽(1-ae^{-i\omega }\오른쪽)}$

${\displaystyle ={\mbox{Arg}\왼쪽(1-\왼쪽 a\오른쪽 e^{i\theta_{a}e^{-i\omega}\오른쪽)}$

${\displaystyle ={\mbox{Arg}\왼쪽(1-\왼쪽) e^{-i(\omega -\theta _{a}\오른쪽)}$

${\displaystyle ={\mbox{Arg}\왼쪽(\왼쪽\{1-\왼쪽) a\right cos(\omega -\theta _{a}\right\\\\\\\\\오른쪽)}$

${\displaystyle ={\mbox{Arg}\좌측(\왼쪽) ^{-1-\cos(\omega -\theta _{a}\우측) ^{-1-\cos(\omega -\\i\\cHB)\sin(\omega -_{a}오른쪽)}$

${\displaystyle {\varphi }_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$(${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle \phi _{a}(\omega )}$은(는) 그룹 지연에 다음과 같은 기여를$$ 한다.

${\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left a\right ^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left a\right ^{-2}-2\left a\right ^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}}$

${\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}}{d\omega }}{d\open a\right -\cos(\omega -\theta _{a}}}}}}{\put a\right ^{1}-2\open ^{a}}}}}}}}}}$

분모와 $\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$는 단위 원 외부에$$ $0{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$을${\displaystyle {(-}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle {}^{}{}^{\ast }}$ ${\$로 대체하는 것과 같이 불변하지만$$, 단위 원 외부에$$ ${\displaystystyle$ a$}$을(으)로 반영함으로써 우리는 다음과 같다.${\$의 크기를 분자에 완화하십시오$$. 따라서 단위 원 안에$$ ${\$$displaystyle$ $a}$을(를) 두면 ${\displaystyle {}^{}}$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle z{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$$^{-1}$에 의한 그룹 지연을 최소화할 수 있다$.$ $이{\displaystyle \mathrm{}}$ 결과를 형식${\displaystyle 1_{}}$ -${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{z}}^{}}$- $1$의 곱셈인자 단계부터 일반 사례 0 이상까지 확대할 수 있다$.$${}$은(는) 가법이다. 즉, $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 0의 전송 함수에 대해,

${\displaystyle {\mbox{Arg}\왼쪽(\prod _{i=1}^{{n}z^{-1}\오른쪽)=\sum _{i=1}^{n}{n}{n1}{Arg}}\{i}z^{-1}\rig}\rig}오른쪽)}$

따라서 단위 원 안에 0이 모두 있는 최소 위상 시스템은 각 개별 0의 그룹 지연을 최소화하기 때문에 그룹 지연을 최소화한다.

최소 위상이 아님

인과적이고 안정적인 시스템을 인과적이고 불안정한 시스템을 최소 위상 시스템이라고 한다. 주어진 최소 위상 시스템은 등가 규모 응답을 가진 최소 위상 시스템보다 위상 기여도가 더 클 것이다.

최대 위상

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. (2014년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

최대 위상 시스템은 최소 위상 시스템과 반대다. 인과적이고 안정적인 LTI 시스템은 그 역이 인과적이고 불안정하다면 최대 위상 시스템이다.^{[dubious – discuss]} 그것은

• 이산 시간 시스템의 0은 단위 원 외부에 있다.
• 연속시간계통의 0은 복합면 우측에 있다.

이와 같은 시스템을 최대상계라고 하는 것은 동일한 규모 응답의 시스템 집합의 최대 그룹 지연을 가지고 있기 때문이다. 이 일련의 동일 규모 응답 시스템에서 최대 위상 시스템은 최대 에너지 지연을 가진다.

예를 들어, 전송 기능에 의해 설명되는 두 개의 연속 시간 LTI 시스템

${\displaystyle {\frac {s+10}{s+5}\qquad {\text{and}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}}}}}$

등가 규모의 반응을 가지지만, 두 번째 시스템은 위상 변화에 훨씬 더 큰 기여를 한다. 따라서 이 세트에서 제2계통은 최대상계통이고 제1계통은 최소상계통이다. 이러한 시스템은 제어 시 많은 안정성 문제를 제기하는 최소 위상 시스템이 아닌 것으로도 알려져 있다. 이러한 시스템에 대한 최근 해결책은 PFCD 방법을 사용하여 RHP 0을 LHP로 이동하는 것이다.^[3]

혼합 위상

혼합 위상 시스템은 0의 일부가 단위 원 안에 있고 다른 0은 단위 원 외부에 있다. 따라서 그룹 지연은 최소 또는 최대가 아니라 최소 및 최대 위상 등가 시스템의 그룹 지연 사이에 있다.

예를 들어, 전송 기능으로 기술된 연속 시간 LTI 시스템

${\displaystyle {\frac {\s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}}$

안정적이고 인과적인 면이 있지만 복잡한 평면의 왼쪽과 오른쪽 양쪽에 모두 0이 있다. 따라서, 그것은 혼합상 시스템이다. 이러한 시스템을 포함하는 전송 기능을 제어하기 위해 내부 모델 컨트롤러(^[4]IMC), 일반화된 스미스의 예측 변수(GSP),^[5] 파생 모델과 병렬 피드포워드 제어(PFCD)^[6]와 같은 몇 가지 방법이 제안된다.

선형상

선형 위상 시스템은 일정한 그룹 지연을 가진다. 비선형 선형상 또는 거의 선형상 시스템도 혼합상이다.

참고 항목

• 올패스 필터 – 최소 위상이 아닌 특수 케이스.
• Kramers-Kronig 관계 – 물리학의 최소 위상 시스템

참조

추가 읽기