크레이머스-크로니그 관계

크레이머스-크로니그 관계는 양방향 수학적 관계로서 상부 반면에서 분석되는 모든 복잡한 함수의 실제와 가상의 부분을 연결한다.안정적인 시스템의 경우 인과관계는 분석성의 상태를 내포하고, 반대로 분석성은 그에 상응하는 안정된 물리적 시스템의 인과관계를 내포하기 때문에 물리적 시스템의 반응함수의 가상 부분(또는 그 반대)에서 실제 부분을 계산하는 데 종종 사용된다.^[1]그 관계는 랄프 크로닉과 한스 크레이머스를 기리기 위해 명명되었다.^[2][3]수학에서 이러한 관계는 속호츠키-플멜지 정리, 힐베르트의 변형이라는 이름으로 알려져 있다.

공식화

Let ${\displaystyle \chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )}$ be a complex function of the complex variable ${\displaystyle \omega }$, where ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ and ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$ are real.이 기능이 $\Omega {\displaystyle }${\$displaystyle \omega}$의 닫힌 상부 하프 평면에서 분석적이며 1${\displaystyle /}\Omega$ $displaystyle$1$/ \omega$}보다 빠르게 ${\displaystyle \Omega }$으로 소멸된다고 가정하면 →${\displaystyle \mathrm{}}${ ${\displaystyle \omega \rightarrow \inftft$ 약간 약한 조건도 가능하다.크레이머스-크로니그 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}\!\!\!\int \institute _{-\institute _}^{\\institute }{\chi _{2}(\omega') \over \omega '-\\,d\omega'}}$

그리고

${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}\!\!\!\int \institute _{-\institute _}^{\institute }{\chi _{1}(\omega') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',}}$

여기서 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) Cauchy 기본값을 나타낸다$$.그래서 그러한 함수의 실제와 상상의 부분은 독립적이지 않으며, 전체 함수는 그 부분 중 하나만을 주어 재구성될 수 있다.

파생

그 증거는 복잡한 통합을 위한 코치의 잔여 정리의 적용에서 시작된다.Given any analytic function ${\displaystyle \chi }$ in the closed upper half plane, the function ${\displaystyle \omega '\rightarrow \chi (\omega ')/(\omega '-\omega )}$ where ${\displaystyle \omega }$ is real will also be analytic in the upper half of the plane.잔여정리는 결과적으로 다음과 같이 기술한다.

$\displaystyle \point {\chi(\omega ') \over \omega '-\omega'\,d\omega '=0}$

이 영역 내의 닫힌 윤곽선실제 축을 추적하기 위해 등고선을 선택한다.${\displaystyle {}^{}}\Omega {\displaystyle {}^{}}$= Ω = ${\displaystyle \Omega }$으로 폴 위에 있는 혹은$$\$displaystyle \omega '=\omega }$이고$,$ 위쪽 절반 면에는 큰 반원형을 선택한다.그런 다음 이 세 가지 등고선 세그먼트를 따라 적분된 부분을 기여도로 분해하고 한계로 전달한다.반원형 세그먼트의 길이는 ${\displaystyle \Omega {}^{}}$ $displaystyle \omega '}$에 비례하여 증가하지만$,$ 그 위에 있는 적분은 한계에서 사라지는데, 그 이유는 $\chi {\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaysty \chi (\omega')$가 ${\displaystyle 1{}^{}/}$Ω ${\displaystyle {\{}^{}}${\$displaysty식$ 1$/\omega '}$보다 빨리$$ 사라지기 때문이다$.$ 우리는 실제를 따라 세그먼트를 남겨두고 있다.장대 둘레에 있는 xis와 반쪽짜리반원형의 크기를 0으로 넘겨서 얻는다.

$\displaystyle 0=\point {\chi(\omega') \over \omega '-\omega}\,d\omega '={\mathcal {P}\!\!\!\int \cHB _{-\infit _}^{\\infit }{\chi(\omega') \over \omega '-\omega'\,d\\omega '-\i\pi \chi(\omega)'.}$

마지막 표현에서 두 번째 용어는 잔여물 이론,^[4] 더 구체적으로는 속호츠키-플멜지 정리를 사용하여 얻는다.재정비하면 크레이머-크로니그 관계의 압축된 형태에 도달하고

${\displaystyle \chi(\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal{P}\!\!\!\int \institute _{-\institute _}^{\\institute }{\chi(\omega') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.}}$

분모에 $있는{\displaystyle }$ 단일$$i {\$displaystyle i}$는 실제 구성 요소와 가상 구성 요소 간의 연결을 효과시킨다.마지막으로 $\chi {\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle \chi (\omega )}$과 방정식을 실제 부분과 가상 부분으로 나누어 위에 인용한 형식을 구한다.

물리적 해석 및 대체 형태

우리는 대응 기능에 크라머스-크로니그 형식주의를 적용할 수 있다.특정 선형 물리적 시스템이나 신호 처리와 같은 공학 분야에서는 응답 함수 $\chi {\displaystyle }$(${\displaystyle t}$- ${\displaystyle {}^{}}$ $){\$$}$ describes how some time-dependent property ${\displaystyle P(t)\!}$ of a physical system responds to an impulse force ${\displaystyle F(t')\!}$ at time ${\displaystyle t'.}$ For example, ${\displaystyle P(t)\!}$ could be the angle of a pendulum and ${\displaystyle F(t)$$}$ 진자 운동을 구동하는 모터의 힘$$.시스템이 적용되기 전에 힘에 응답할 수 없으므로 $response{\displaystyle (t}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle \chi(t-t')$는 t< < t $displaystyle t<t>\!}$에 대해 0이어야 한다$$.이 인과관계 조건은 ${\displaystyle \chi }$($){\$의 rier (t$){\$가 상부 반면에서 분석적임을$$ 함축한다는 것을 (예를 들어, Titchmarsh의 정리를 호출함으로써) 알 수 있다.^[5]또한, 만일 우리가 시스템을 그것의 가장 높은 공명 주파수보다 훨씬 높은 주파수를 가진 진동력으로 지배한다면, 강제력이 방향을 전환하기 전에 시스템이 반응할 시간이 거의 없을 것이고, 따라서 주파수 응답 $\chi {\displaystyle }$ $){\$$display$ style $\chi (\omega )\}}$는 $0$으로 수렴될 것이다$.$$스타일 \omega }$은(는) 매우 커진다$$.이러한 물리적 고려를 통해 우리는 $\chi {\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$) ${\$이(가) 크레이머-크로니그 관계가 적용되는 데 필요한 조건을 일반적으로 충족시킬 것임을$$ 알 수 있다.

반응 함수의 가상 부분은 시스템이 구동력과^{[citation needed]} 위상에 있기 때문에 에너지를 어떻게 발산하는지 설명한다.크레이머스-크로니그 관계는 시스템의 소멸적 대응을 관찰하는 것이 그것의 상이탈(재활성) 반응을 결정하기에 충분하며, 그 반대의 경우도 마찬가지라는 것을 암시한다.

통합은 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle -\infit }$에서 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$까지 실행되는데$,$ 이는 우리가 음의 주파수에서 반응을 알고 있음을 의미한다.다행히 대부분의 물리적 시스템에서는 ${\displaystyle \mathrm{frequency}}$ (Ω ) {\$displaystyle \chi (\omega)}$이(가${\displaystyle )}$ 실제 값 응답 $\chi {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \chi (t)}$의 푸리에 변환이기$$ 때문에 양의 주파수 응답은 음의 주파수 응답을 결정한다$.$ 우리는 이 추정을 나중에 하겠다.

그 결과 $\chi {\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \Omega }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\Omega }$) ${\displaystyle \chi(-\omega)=\chi ^{*}(\omega$ $)\}.$즉 χ $1{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle \Omega {}_{}}$)${\displaystyle \chi _{1}(\omega$ )은$$주파수의 짝수 함수이고 and 2${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$은 홀수라는 뜻이다.

이러한 속성을 사용하여 통합 범위를${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle [0,\inflt )}($으)로 축소할 수 있다$.$ 실제 부품 consider 1(${\displaystyle \Omega }$)을 $주는{\displaystyle {}_{}}$ 첫 번째 관계를 고려한다.$$\$displaystyle \chi _{1}(\omega$ 통합의 분자와 분모를 곱하여 통합 범위를 확정 패리티의 하나로 변환한다.${\displaystyle {\Omega }^{}}$${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega '+\omega }$ 및 분리:

${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}\!\!\\int \limits _{-\mathcal{P}^{\infit }{\omega '\i_{2}-{2}(\omega') \over \omega '^{2}-\}\,d\\\\omega '+\operpi }{\mathcalcal{P}\\\!\!\!\!\int \institute _{-\institute _{}^{\chi _{2}(\omega') \over \omega '{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}}$

$\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\Omega }$) ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$이(가) 홀수인 만큼$$, 두 번째 적분인 \은 사라지게 되고, 우리는 with 2 (Ω )가 남게 된다.

${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={2 \over \pi }{\mathcal {P}\!\!\\int \int \i1}{0}^{0}{0}^{\infit }{\omega '\i_{2}(\omega') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}}$

상상의 부분에 대한 동일한 파생은

${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{2 \over \pi }{\mathcal {P}\!\!\\int \limits _{0}^{\infit }{\omega \chi _{1}(\omega') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '=-{2\omega \pi }{\mathcal {P}\\!\!\!\\int \int \{0}^{0}^{\infit }{\chi _{1}(\omega') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}}$

이들은 물리적으로 현실적인 대응 기능에 유용한 형태의 크레이머-크로니그 관계다.

시간 영역의 관련 증명

Hu와^[6] Hall 그리고 Heck는^[7] 등고선 통합을 피할 수 있는 관련되고 더 직관적인 증거를 제공한다.다음과 같은 사실에 근거한다.

• 인과충동반응은 짝수함수와 홀수함수의 합으로 표현할 수 있는데, 여기서 홀수함수는 부호함수에 짝수함수를 곱한 것이다.
• 시간 영역 파형의 짝수 부분과 홀수 부분은 각각 푸리에 적분의 실제 부분과 가상 부분에 해당한다.
• 시간 영역의 기호 함수에 의한 곱셈은 주파수 영역에 있는 힐버트 변환(즉, 힐버트 커널 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 1/\pi \omega}$ $)$에 해당한다.

이 사실들에 의해 제공된 공식들을 결합하면 크레이머스와 크로닉의 관계가 산출된다.이 증명서는 주파수 영역의 상반부 평면에서의 분석 조건과는 다소 다른 접근방식을 제공하면서, 시간 영역에서 인과관계가 있는 모든 함수의 주파수 영역의 실제 부분과 가상 부분을 연관시킨다는 점에서 이전과는 약간 다른 근거를 다룬다.

이 증명서를 비공식적이고 그림으로 표현한 기사도 이용할 수 있다.^[8]

진도(게인)-위상 관계

위의 Kramers-Kronig의 전통적인 형태는 복잡한 반응 함수의 실제와 가상의 부분을 연관시킨다.관련 목표는 복잡한 대응 함수의 규모와 위상 사이의 관계를 찾는 것이다.

일반적으로 불행하게도 그 위상은 규모에서 독특하게 예측할 수 없다.^[9]이것의 간단한 예는 시간 T의 순수 시간 지연으로 T에 관계 없이 어떤 주파수에서도 진폭 1을 가지지만 T에 의존하는 위상(특정적으로 위상 = 2 2 × T × 주파수)을 갖는다.

그러나 최소 위상 시스템의 특수한 경우에는 고유한 진폭-vs-위상 관계가 있으며,^[9] 때로는 보드 게인 위상 관계라고도 한다.마르셀 바야드(1936년)와 헨드릭 웨이드 보데(1945)의 작품 뒤에 바야드-보드 관계와 바야드-보드 정리라는 용어도 크레이머-크로니그 관계나 특히 통신과 제어 이론 분야에서 진폭-위상 관계에 사용된다.^[10][11]

물리학의 응용

복합 굴절률

크레이머-크로니그 관계는 매질의$$ 복합 굴절률${\displaystyle \stackrel{}{}}n{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ =${\displaystyle n}$ + ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \kappa }${\$displaystyle$ {\$tilde{n}=n+i\kappa }}$에 대한 실제와 가상 부분을 연관시키는 데 사용되며, 여기서 $where{\displaystyle }$ ${\displaysty \kappa}$은 소멸 계수다.^[12]따라서, 사실상 이것은 복잡한 상대적 허용성과 전기 민감성에도 적용된다.^[13]

광학 활동

크레이머스-크로니그 관계는 광학 회전 분산과 순환 이분법 사이의 연관성을 확립한다.

자기광학

Kramers-Kronig 관계는 자기광학에서 응용 프로그램을 찾는 비종교적 산란 문제의 정확한 해결을 가능하게 한다.^[14]

전자 분광학

전자 에너지 손실 분광학에서 Kramers-Kronig 분석은 흡수 계수 및 반사율과 같은 다른 광학적 특성과 함께 시료의 광 광학 허용률의 실제 부분과 가상 부분의 에너지 의존도를 계산할 수 있다.^[15]

요컨대, 매우 얇은 시료(단일 산란 근사치)를 통과할 때 일정량의 에너지를 손실하는 고에너지(예: 200 keV) 전자의 수를 측정함으로써, 그 에너지에서 순수의 가상 부분을 계산할 수 있다.이 데이터를 Kramers-Kronig 분석과 함께 사용하면 (에너지 함수로써) 순수의 실제 부분도 계산할 수 있다.

이 측정은 빛이 아닌 전자로 이루어지며, 매우 높은 공간 분해능으로 할 수 있다.예를 들어, 가로 100nm 미만의 성간 먼지의 실험실 표본에서 자외선(UV) 흡수 밴드를 찾을 수 있다. 즉, UV 분광에 비해 너무 작다.전자 분광기는 빛 분광기보다 에너지 분해능이 떨어지지만 가시성, 자외선 및 연성 X선 스펙트럼 범위의 특성에 대한 데이터는 같은 실험에서 기록될 수 있다.

각도로 분해된 광분해 스펙트럼 분석에서 크레이머-크로니그 관계는 전자 자가 에너지의 실제 부분과 가상 부분을 연결하는 데 사용될 수 있다.이것은 물질에서 전자가 경험하는 많은 신체 상호작용의 특징이다.주목할 만한 예로는 고온 초전도체에서 자기 에너지의 실제 부분에 해당하는 꼬임이 밴드 분산에서 관찰되고 MDC 폭의 변화도 자기 에너지의 가상 부분에 해당하는 것으로 관찰된다.^[16]

해드론 산란

크레이머스-크로니그 관계도 하드로닉 산란을 언급하면서 "통합 분산 관계"라는 이름으로 사용된다.^[17]이 경우 기능은 산란 진폭이다.광학 정리의 사용을 통해 산란 진폭의 상상의 부분은 물리적으로 측정할 수 있는 수량인 총 단면과 관련된다.

지구물리학

지진파 전파의 경우 Kramer-Kronig 관계는 감쇠하는 매체에서 품질 인자에 적합한 형태를 찾는 데 도움이 된다.^[18]

참고 항목

• 분산(광학)
• 선형반응함수
• 수치해석연속

참조

인용구

원천