비선형 필터

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신호 처리에서 비선형(또는 비선형) 필터는 출력이 입력의 선형 함수가 아닌 필터다.즉, 필터가 두 입력 신호 r과 s에 대해 각각 R과 S 신호를 출력하지만, 입력이 선형 조합인 αr + βs일 때 항상 αR + βS를 출력하지 않는 경우.

연속 도메인 필터와 이산 도메인 필터는 모두 비선형일 수 있다.전자의 간단한 예는 어느 순간의 출력 전압 R(t)이 입력 전압 r(t)의 제곱이거나, 또는 R(t) = max(a, min(b, r(t))로 고정된 범위[a,b]에 잘린 입력인 전기 장치일 것이다.후자의 중요한 예는 모든 출력 샘플 R이_i 마지막 세 입력 샘플 r_i, r, r의_i−1i−2 중위수인 런닝 메디아 필터다. 선형 필터와 마찬가지로 비선형 필터는 이동 불변성 또는 비변동성 필터일 수 있다.

비선형 필터는 특히 첨가물이 아닌 특정 유형의 노이즈를 제거할 때 많은 응용 프로그램을 가지고 있다.예를 들어, 중앙분리대 필터는 스파이크 노이즈를 제거하는데 널리 사용되는데, 이는 표본의 극히 일부에 불과하며, 아마도 매우 많은 양에 의해 영향을 받는다.실제로 모든 라디오 수신기는 비선형 필터를 사용하여 킬로에서 기가헤르츠 신호를 오디오 주파수 범위로 변환하며, 모든 디지털 신호 처리는 아날로그 신호를 이진수로 변환하기 위해 비선형 필터(아날로그에서 디지털로 변환기)에 의존한다.

그러나 비선형 필터는 신호 분석의 가장 강력한 수학적 도구(충동 반응과 주파수 반응 등)를 사용할 수 없기 때문에 선형 필터보다 사용하고 설계하기가 상당히 어렵다.따라서 예를 들어, 적절한 비선형 필터를 설계하고 구성하기가 너무 힘들다는 이유만으로 선형 필터는 비선형 프로세스에 의해 생성된 노이즈와 왜곡을 제거하기 위해 종종 사용된다.

앞에서 말한 것으로부터 비선형 필터는 선형 필터와 비교하여 동작이 상당히 다르다는 것을 알 수 있다.가장 중요한 특성은 비선형 필터의 경우 필터 출력이나 반응이 앞에서 설명한 원리, 특히 스케일링과 변속 불변도를 따르지 않는다는 것이다.또한 비선형 필터는 비직관적인 방식으로 다양한 결과를 산출할 수 있다.

선형계

몇 가지 원칙이 선형 시스템을 정의한다.선형성의 기본적인 정의는 출력이 입력의 선형 함수여야 한다는 것이다.

${\displaystyle \property y_{1}(t)+\properties y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}}}}$

모든$$ 스칼라 값 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$ 및 $\beta {\displaystyle }$ ${\$ $\backslash ,\}.$ 이것은 선형 시스템 설계의 기본 속성으로, 중첩이라고 알려져 있다.그래서 이 방정식이 유효하지 않으면 시스템은 비선형이라고 한다.즉, 시스템이 선형일 때 중첩 원리를 적용할 수 있다.이 중요한 사실은 선형 시스템 분석의 기법이 그토록 잘 발달된 이유다.

적용들

노이즈 제거

신호는 전송이나 처리 중에 종종 손상된다. 필터 설계에서 빈번한 목표는 원래 신호를 복원하는 것이다. 이는 흔히 "소음 제거"라고 불리는 과정이다.가장 간단한 유형의 손상은 원하는 신호 S가 S와 알려진 연결이 없는 원치 않는 신호 N과 함께 추가될 때 가법 노이즈다.N 노이즈가 가우스 노이즈와 같은 단순한 통계적 설명을 가지고 있다면, 칼만 필터는 N을 줄이고 섀넌의 정리가 허용하는 범위까지 S를 복원한다.특히 S와 N이 주파수 영역에서 겹치지 않으면 선형 대역 통과 필터로 완전히 분리할 수 있다.

반면에 거의 모든 다른 형태의 노이즈의 경우, 최대 신호 회수를 위해 어떤 종류의 비선형 필터가 필요할 것이다.예를 들어 곱셈 노이즈(신호에 추가되는 대신 신호에 곱해지는)의 경우 입력을 로그 스케일로 변환하고 선형 필터를 적용한 다음 결과를 선형 스케일로 변환하는 것으로 충분할 수 있다.이 예에서 첫 번째와 세 번째 단계는 선형이 아니다.

비선형 필터는 신호의 특정 "비선형" 특성이 전체 정보 내용보다 더 중요한 경우에도 유용할 수 있다.예를 들어 디지털 이미지 처리에서 사진 속의 물체의 실루엣 가장자리의 선명성 또는 스캔한 도면에서 선의 연결성을 보존하고자 할 수 있다.선형 노이즈 제거 필터는 대개 그러한 특징을 흐리게 할 것이다. 비선형 필터는 더 만족스러운 결과를 제공할 수 있다(흐린 이미지가 정보-이론적 의미에서는 더 "정확한" 것일 수 있다).

많은 비선형 노이즈 제거 필터가 시간 영역에서 작동한다.그들은 전형적으로 각 샘플을 둘러싸고 있는 유한한 창 안에서 입력 디지털 신호를 검사하고, 그 지점에서 원래 신호에 대해 가장 가능성이 높은 값을 추정하기 위해 일부 통계적 추론 모델(적극적으로 또는 명시적으로)을 사용한다.그러한 필터의 설계는 추정 이론과 제어 이론에서 확률적 공정에 대한 필터링 문제로 알려져 있다.

비선형 필터의 예는 다음과 같다.

• 위상 조절 루프
• 탐지기
• 믹서기
• 중위수 필터
• 귀염둥이들

비선형 필터도 영상 처리 기능에서 결정적인 위치를 차지한다.실시간 영상 처리를 위한 일반적인 파이프라인에서는 영상 정보를 형성, 형상화, 검출, 조작하기 위해 많은 비선형 필터를 포함하는 것이 일반적이다.또한 이러한 각 필터 유형은 적응형 필터 규칙 생성을 사용하여 특정 상황에서 한 가지 방식과 다른 환경에서 다른 방식으로 작동하도록 매개 변수가 될 수 있다.목표는 소음 제거부터 특징 추상화까지 다양하다.이미지 데이터 필터링은 거의 모든 이미지 처리 시스템에서 사용되는 표준 프로세스다.비선형 필터는 필터 구조의 가장 많이 사용되는 형태다.예를 들어, 영상에 낮은 양의 노이즈를 포함하지만 크기가 상대적으로 높은 경우 중위수 필터가 더 적합할 수 있다.

쿠슈너-스트라토노비치 필터링

최적의 비선형 필터링 문제는 1950년대 후반과 1960년대 초반에 러슬란 L. 스트라토노비치^[1][2][3][4], 해롤드 J. 쿠슈너에 의해 해결되었다.^[5]

쿠슈너-스트라토노비치 솔루션은 확률적인 부분 미분 방정식이다.1969년 모셰 자카이는 자카이 방정식으로 알려진 필터의 비정형 조건부 법칙에 대한 단순화된 역학을 도입했다.^[6]미릴레 샬리야트-마우렐과 도미니크 미셸에^[7] 의해 솔루션이 일반적으로 무한 치수이며, 따라서 유한 치수 근사치가 필요하다는 것이 증명되었다.이러한 필터는 확장된 Kalman 필터 또는 Peter S가 설명한 가정된 밀도 필터와 같은 휴리스틱스 기반일 수 있다. Maybeck^[8] 또는 Damiano Brigo, Bernard Hanzon 및 Francois Le Gland에 의해 도입된 투영 필터.^[9] 이들 중 일부 하위 가족은 가정된 밀도 필터와 일치하는 것으로 나타난다.^[10]

에너지 전달 필터

에너지 전달 필터는 에너지를 설계한 방식으로 이동시키는 데 사용할 수 있는 비선형 동적 필터의 일종이다.^[11]에너지는 더 높은 주파수 대역 또는 더 낮은 주파수 대역으로 이동하거나, 지정된 범위에 걸쳐 확산되거나, 집중될 수 있다.많은 에너지 전달 필터 설계가 가능하며, 선형 설계로는 불가능한 필터 설계에서 자유도를 추가로 제공한다.

참고 항목

• 이동 지평선 추정
• 비선형 시스템
• 입자 필터
• Kalman 필터의 중심되지 않은 Kalman 필터 섹션

참조

추가 읽기

외부 링크

• 일리야 슐레비치 교수의 비선형 신호 처리 페이지