브로카드 포인트

기하학에서 브로카드 점은 삼각형 안에 있는 특별한 점이다. 그것들은 프랑스의 수학자인 앙리 브로카드(1845–1922)의 이름을 따서 지어졌다.

정의

정점이 시계 반대 순서로 A, B, C로 표시된 측면 a, b, c가 있는 삼각형 ABC에서는 선 세그먼트 AP, BP 및 CP가 각 측면 c, a, b와 동일한 각도 Ω을 형성하는 점 P가 정확히 하나 있다.

$[\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=\omega.\,}$

점 P는 삼각형 ABC의 첫 번째 브로카드 점이라고 하며, 각도 Ω은 삼각형의 브로카드 각도라고 한다. 이 각도에는 다음과 같은 속성이 있다.

$\displaystyle \mobe =\migration \migration +\migration \migration,\,}$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$, ${\displaystyle \beta }$ ,${\displaystyle \gamma }$\$displaystyle \alpha ,\\beta ,\\\$$gamma$ $}$은(는) 정점각 $∠$ ${\displaystyle \mathrm{CAB}}$ ,${\displaystyle \angle \mathrm{}}$ A$,\각도 ABCA}$이다$.$

선 세그먼트 AQ, BQ 및 CQ가 각각 면 b, c 및 a와 동일한 각도를 형성하는 두 번째 브로카드 포인트 Q도 삼각형 ABC에 있다. 즉, 방정식 $\angle {\displaystyle \mathrm{}}$ Q ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$= ${\displaystyle \mathrm{\angle }}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$= ${\displaystyle \mathrm{\angle }}$ Q ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$이(가) 적용된다$$. 놀랍게도 이 두 번째 브로카드 포인트는 첫 번째 브로카드 포인트와 같은 브로카드 각도를 가지고 있다. In other words, angle ${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$ is the same as ${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC.$$}$

두 브로카드 포인트는 서로 밀접하게 연관되어 있다. 사실 첫 번째와 두 번째의 차이는 삼각형 ABC의 각도를 취하는 순서에 따라 다르다. 예를 들어, 삼각형 ABC의 첫 번째 브록카드는 삼각형 ACB의 두 번째 브록카드와 같다.

ABC 삼각형의 두 브로카드 점은 서로 등각 접합점이다.

건설

브로카드 포인트의 가장 우아한 구성은 다음과 같다. 다음 예에서는 첫 번째 브로카드 포인트를 제시하지만 두 번째 브로카드 포인트의 구성은 매우 유사하다.

위의 도표에서와 같이, 삼각형의 가장자리 BC에 접하는 지점 A와 B를 통해 원을 형성한다(이 원의 중심은 AB의 수직 이등분자가 BC에 수직인 지점 B를 통과하는 선과 만나는 지점에 있다). 대칭적으로, 가장자리 AC에 접하는 점 B와 C를 통과하는 원을 그리고 가장자리 AB에 접하는 점 A와 C를 통과하는 원을 형성한다. 이 세 원에는 공통점이 있는데, 최초의 브로카드 점인 삼각형 ABC가 있다. 원의 접선도 참조하십시오.

방금 만들어진 세 개의 원은 또한 ABC 삼각형의 에피사이클로 지정되어 있다. 두 번째 브로카드 포인트는 비슷한 방식으로 구성된다.

처음 두 브로카드 포인트의 트리니얼과 이차중심

$첫{\displaystyle }$ 번째 및 두 번째 브로카드 포인트에 대한 균일한 트리린 좌표는 $각각{\displaystyle }$$$$$c${\displaystyle }$/ ${\displaystyle b}$: a${\displaystyle }$/ ${\displaystyle a}$ / $a$/ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle /}$ a / b : ${\displaystyle a}$ / b :${\displaystyle }$$a$ /$b$ :${\displaystyle }$c$:c/a:a/b}$이다${\displaystyle .}$ Thus their barycentric coordinates are respectively^[1] ${\displaystyle c^{2}a^{2}:a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}}$ and ${\displaystyle a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}:c^{2}a^{2}.$$}$

처음 두 브로카드 포인트 사이의 세그먼트

브로카드 포인트는 2중성 쌍의 점의 한 예지만, 어느 브로카드 포인트도 유사성 변환에서 불변하기 때문에 삼각형 중심이 아니다: 유사성의 특별한 경우인 스칼린 삼각형을 반영하면 한 브로카드 포인트가 다른 브로카드 포인트로 바뀐다. 그러나 두 점으로 이루어진 순서가 정하지 않은 쌍은 유사성하에서도 불변한다. 브로카드 중간점이라 불리는 두 브로카드 포인트의 중간점에는 3행 좌표가 있다.

${\displaystyle \sin(A+\omega ):\sin(B+\omega ):\sin(C+\omega )=a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2}),}}}$^[2]

그리고 삼각형의 중심이다. 세 번째 브로카드 포인트(Trilinar 좌표에서 다음과 같이 지정됨)

${\displaystyle \csc(A-\omega ):\csc(B-\omega ):\csc(C-\omega )=a^{-3:b^{-3:c^{-3}}}$^[3]

반투명 삼각형의 브로카드 중간점이며, 또한 시메디아 점의 동위원소 결합점이다.

처음 두 Brocard 지점 P와 Q 사이의 거리는 항상 삼각형 원곡선의 반지름 R의 절반보다 작거나 같다.^[1][4]

${\displaystyle PQ=2R\sin \omega {1-4\sin ^{2}\nomega }\leq {\frac {R}{2}.}$

처음 두 브로카드 포인트 사이의 세그먼트는 삼각형의 원곡선과 레모인 포인트를 연결하는 선으로 브로카드 중간점에서 수직으로 이등분된다. 더욱이, 환원점, 레모인점, 그리고 처음 두 브로카드점들은 모두 같은 원 위에 있으며, 이 중 환원점과 레모인점을 연결하는 부분은 직경이다.^[1]

원심으로부터의 거리

Brocard 지점 P와 Q는 삼각형의 원곡선 O:^[4]

${\displaystyle PO=QO=R{\sqrt {{\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+c^{4]}}{a^{a^{2}b^{2}+b^{2}}c^{2}+c^{2}a^{2}}-1}-1}=R{1-4\sin ^{2}\omega }}}.}$

유사점과 일치점

첫 번째와 두 번째 브로카드 포인트의 페달 삼각형은 서로 일치하며 원래 삼각형과 유사하다.^[4]

만약 AP, BP, CP 선들이 각각 삼각형의 정점과 그것의 첫 번째 브로카드 점을 통해 L, M, 그리고 N 지점에서 삼각형의 원곡선을 교차한다면, 삼각형 LMN은 원래의 삼각형 ABC와 일치한다. 첫 번째 브로카드 포인트 P를 두 번째 브로카드 포인트 Q로 대체해도 마찬가지다.^[4]

메모들

참조

외부 링크

• 제3의 브로카드 포인트(MathWorld)
• 점 쌍과 관련 삼각형 중심
• 이센티크 점
• 수학월드의 이센트릭 포인트