폰트랴긴의 최대 원리

폰트랴긴의 최대 원리는 한 상태에서 다른 상태로, 특히 상태나 입력 제어에 대한 제약조건이 있는 상태에서 역동적인 시스템을 취할 수 있는 최선의 제어장치를 찾기 위해 최적 제어 이론에 사용된다.^[1]2점 경계값 문제인 이른바 해밀턴 계통에 최대 제어조건인 해밀턴 계통을 해결하기 위해서는 최적의 상태 궤적과 함께 어떤 최적의 제어가 필요하다는 내용을 담고 있다.^[a]이러한 필요한 조건은 목적 및 제약 기능에 대한 특정 볼록한 조건 하에서 충분하게 된다.^[2][3]

최대 원리는 1956년 러시아 수학자 레프 폰트랴긴과 그의 제자들에 의해 공식화되었으며,^[4][5] 초기 적용은 로켓의 말단 속도를 최대화하는 것이었다.^[6]그 결과는 고전적인 변화 미적분학에서 아이디어를 얻어 도출되었다.^[7]최적 제어의 약간의 동요 후에, 사람들은 동요에 관하여 테일러 팽창의 1차 기간을 고려한다; 동요를 0으로 보내는 것은 최대 원리가 따르는 변동 불평등으로 이어진다.^[8]

최적 제어 이론의 이정표로 널리 간주되고 있는 ^[1]최대 원리의 중요성은 해밀턴을 최대화하는 것이 원래의 무한 차원 제어 문제보다 훨씬 쉽다는 사실에 있다. 함수 공간에 걸쳐 최대화하는 것이 아니라, 문제를 점적 최적화로 전환한다.^[9]이와 유사한 논리는 Bellman의 최적성 원리로 이어지고, 최적 궤적이 중간 지점에서 최적 상태를 유지한다는 최적 제어 문제에 대한 관련 접근법이다.^[10]결과 해밀턴-자코비-벨만 방정식은 최적화를 위한 필요하고도 충분한 조건을 제공하며, 확률적 최적 제어 문제를 위한 직접적인 확장을 허용하지만, 최대 원리는 그렇지 않다.^[8]그러나 유효하기 위해 전체 주 공간을 보유해야 하는 해밀턴-자코비-벨만 방정식과 대조적으로 폰트랴긴의 최대 원리는 특정 궤적만 보유하면 된다는 점에서 잠재적으로 계산적으로 더 효율적이다.^[1]

표기법

For set ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ and functions ${\displaystyle \Psi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle L:{\mathbb{R}}^n\times \mathcal{U}}$${\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} ^{n},}$ we use the following notation:

${\displaystyle \PSI _{T}(x(T)=\왼쪽.{\frac {\partial \PSI (x)}{\partial T}\오른쪽 _{x=x(T)}\,}$

${\displaystyle \PSI _{x}(x(T)={\begin{bmatrix}\왼쪽.{\frac {\partial \PSI (x)}{\partial x_{1}}}\right _{x=x(T)}&\cdots &\\\왼쪽.{\frac {\partial \PSI (x)}{\partial x_{n}}}\오른쪽 _{x=x(T)}\end{bmatrix}}}}}$

${\displaystyle H_{x}(x^{*},u^{*},\lambda^{*},t)={\begin{bmatrix}\왼쪽.{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}\right _{x=x^{*}u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}}\cdots &\\왼쪽.{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}\right _{x=x^{*}u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}\end{bmatrix}}}}}}$

${\displaystyle L_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\왼쪽.{\frac {\partial l}{\partial x_{1}}\오른쪽 _{x=x^{*}u=u^{*}}}}\cdots &\\\왼쪽.{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}\오른쪽 _{x=x^{*}u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f_{x}(x^{*},u^{*})={\matrix}\왼쪽.{\frac{\frac{\properties x_{1}:{1}}\오른쪽 _{x=x^{*}u=u^{*}}}\cdots &\\왼쪽.{\frac{\frac {\f_{n1}}\오른쪽 _{x=x^{*},u=u^{*}}\u=u^{*}\vdots &\vdots \\\\\vdots\\\\\\\\vdots\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\{\frac{\frac {\f_{n}}{\n1}}\오른쪽 _{x=x^{*}u=u^{*}}}}\왼쪽.{\frac{\frac{\f_{n}}{\n}}\right _{x=x^{*}u=u^{*}}\end{bmatrix}}}}}$

문제 최소화에 필요한 조건의 공식 성명

여기에는 기능 최소화에 필요한 조건이 제시되어 있다.$x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ x}을(를) 입력$$u {\$displaystyle u}$이(가) 있는 동적 시스템의 상태로 전환하십시오$.$

${\dot스타일 {\x}=f(x,u),\quad x(0)=x_{0},\quad u(t)\in {\mathcal {U},\quad t\in [0,T]}$

여기서 $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 허용 가능한 컨트롤 집합이고 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은(는) 시스템의 단자(즉, 최종) 시간이다.${\displaystyle u\mathcal{}}$ and U ${\$ 컨트롤을 모든 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle t\in [0,T]$에 대해 선택해야 애플리케이션에$$$$ 의해 정의되고 다음과 같이 추상화될 수 있는 $객관적$인 기능 J ${\displaystyle J}$을 최소화한다.

${\displaystyle J=\PSI(x(T))+\int_{0}^{0}L(x(t),u(t)\,dt}$

시스템 역학상의 제약조건은 시스템의 원가계수라 불리는 시간변동 라그랑지안 L ${\displaystyle \lambda}$을(를) 도입하여$$ 라그랑지안 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$}$과(와) 결합할 수 있다$.$이는 모든 t${\displaystyle }t{\displaystyle }$ [${\displaystyle 0,}$ T ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle t\in [0,T]$에 대해 정의된$$ 해밀턴 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을(를) 다음에 의해 구성하도록$$ 동기를 부여한다.

${\displaystyle H(x(t),u(t),\lambda(t),t)=\lambda ^{\rm {T}f(t),u(t)+L(x(t),u(t)\,}$

여기서 $\lambda {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$ ${\$은(는) $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$}의 전치물이다$.$

폰트랴긴의 최소 원리는 최적 상태 $궤적{\displaystyle {}^{}}$ x$∗{\$ x$^\{*\},$ 최적 제어 $∗{\$ 해당 라그랑주 곱셈 벡터${\$이 $H}$를 최소화해야 한다는$$ 것이다.

${\displaystyle (1)\qquad H(x^{*})(t), u^{*}(t),\lambda ^{*}(t),\lambda ^{*}(t), u,\lambda ^{*}(t),t)\,},},}$

전체 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle t\in [0,T]$ 및 모든$$ 허용 제어 입력 ${\displaystyle u\mathcal{}}$ ${\displaystyle \in }$ U ${\$에 대해$.$ 또한 비용 계산방정식과 그 단자 조건

${\displaystyle (2)\qquad -{\dot {\lambda }}^{\rm{T}(t)=H_{x}(x^{*}(t), u^{*}(t),\lambda(t)=\lambda ^{\rm {T}(t)f_{x^{*}(t),u^{*}(t)}(t)+L_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t)}$

${\displaystyle (3)\qquad \lambda ^{\rm {T}(T)=\PSI _{x}(x(T)\,},}$

반드시 만족해야 한다.최종 상태 $x{\displaystyle }$(${\displaystyle T}$) ${\displaystyle x(T)}$이(가) 고정되지 않은 경우(즉, 차등 변동이 0이 아닌 경우) 또한 다음과 같아야 한다.

${\displaystyle (4)\qquad \PSI _{T}(x(T)+H(T)=0\,}$

(1)-(4)의 이 네 가지 조건은 최적의 제어를 위해 필요한 조건이다.(4)는 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle x(T)}$이(가) 비어 있는$$ 경우에만 적용된다는 점에 유의하십시오.만약 그것이 고정된다면, 이 조건은 최적화를 위해 필요하지 않다.

참고 항목

• 바나흐 공간의 라그랑주 곱셈기법, 변화 미적분에서의 라그랑주법

메모들

참조

추가 읽기

• Geering, H. P. (2007). Optimal Control with Engineering Applications. Springer. ISBN 978-3-540-69437-3.
• Kirk, D. E. (1970). Optimal Control Theory: An Introduction. Prentice Hall. ISBN 0-486-43484-2.
• Lee, E. B.; Markus, L. (1967). Foundations of Optimal Control Theory. New York: Wiley.
• 로스, I. M. (2015) 폰트랴긴의 원리, 샌프란시스코 대학 출판사의 폰트랴긴의 최적 통제에 관한 원칙 2장.
• Seierstad, Atle; Sydsæter, Knut (1987). Optimal Control Theory with Economic Applications. Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-87923-4.

외부 링크

• "Pontryagin maximum principle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]