기하학적 좌절

Geometrical frustration

응축물리학에서 기하학적 좌절(또는 간단히 말해서 좌절[1])이라는 용어는 원자가 비종교적 위치에[citation needed] 붙는 경향이 있거나 규칙적인 결정 격자 위에서 원자간 힘(각각 서로 다소 단순하지만 다른 구조를 선호하는 것)이 충돌하여 상당히 복잡한 구조로 이어지는 현상을 말한다. 기하학이나 힘의 좌절의 결과로, 뚜렷한 지반 상태가 영온에서 발생할 수 있으며, 통상적인 열 순서는 더 높은 온도에서 억제될 수 있다. 많은 연구된 예로는 비정형 물질, 안경, 희석 자석 등이 있다.

자기계통의 맥락에서 좌절이라는 용어는 제라드 툴루즈(1977년)에 의해 도입되었다.[2][3] 실제로 좌절된 자기계통은 이전에도 연구되어 왔다. 초기 작품에는 1950년에 출판된 G. H. Wannier에 의해 가장 가까운 이웃의 스핀들이 반자석으로 결합된 삼각형 격자 위의 Ising 모델에 대한 연구가 포함되어 있다.[4] 관련된 특징들은 경쟁적인 상호작용과 자석 안에서 발생하는데, 자석 쌍이나 자석 모멘트 사이의 쌍들 사이의 반자성 커플링뿐만 아니라 두 개의 강자성 커플링도 존재하며, 자석의 분리 거리에 따라 상호작용의 유형도 존재한다. 이 경우 특히 A가 처음에 논의한 바와 같이 나선형 스핀 배열과 같은 비례성이 발생할 수 있다. 요시모리,[5] T. A. 카플란,[6] R. J. 엘리엇 [7]등이 1959년부터 희토류 금속의 실험 결과를 기술한다. 그러한 스핀 시스템에 대한 새로운 관심은 좌절되거나 경쟁적인 상호작용과 함께 약 20년 후, 1970년대부터 스핀 안경과 공간적으로 변형된 자기 구조물의 맥락에서 생겨났다. 스핀글라스에서 좌절감은 비스토리히메트릭 합금에서 실험적으로 발생할 수 있는 것과 같이 상호작용에서 확률적 장애에 의해 증대된다. 좌절감을 안고 세심하게 분석된 스핀 모델에는 [8]스핀 글라스를 설명하는 셔링턴-키크패트릭 모델과 그에 상응하는 자기 구조물을 설명하는 [9]ANNI 모델이 포함된다.

자기순서

그림 1: 삼각형 배열로 반소립자성 상호작용 스핀
그림 2: 4면 배열에서 반소립자성 상호작용
그림 3: 4면체의 쉬운 축을 따라 회전
그림 4: 4면체에서 쉽게 회전할 수 있는 좌절감
고형분에서의 좌절된 자기

기하학적 좌절감은 자력에서 중요한 특징인데, 여기서 그것은 스핀들의 상대적인 배열에서 비롯된다. 간단한 2D 예는 그림 1에 나와 있다. 세 개의 자기 이온은 서로 간에 반자성 상호작용을 하는 삼각형의 모서리에 위치한다; 각각의 회전은 이웃과 반대 방향으로 정렬될 때 에너지가 최소화된다. 처음 두 바퀴가 대척점에 정렬되면, 세 번째 바퀴는 위아래로 두 개의 가능한 방향이 같은 에너지를 주기 때문에 좌절한다. 세 번째 스핀은 다른 두 스핀과의 상호작용을 동시에 최소화할 수 없다. 이 효과는 각 회전마다 발생하기 때문에 지반 상태는 6배 퇴화한다. 모든 회전수가 위아래로 도는 두 상태만이 더 많은 에너지를 가지고 있다.

마찬가지로 3차원에서도 4면체(그림 2)에 배열된 4개의 회전은 기하학적 좌절을 경험할 수 있다. 스핀들 사이에 반자성 교호작용이 있는 경우 스핀들 간의 모든 교호작용이 반자극이 되도록 스핀들을 배열할 수 없다. 가장 근접한 상호작용은 6가지가 있는데, 그 중 4개는 반경락적이어서 유리하지만, 그 중 2개는 (1과 2 사이, 3과 4 사이) 불리하다. 모든 상호작용을 유리하게 하는 것은 불가능하며, 시스템은 좌절된다.

스핀들이 비협착 방식으로 배열되면 기하학적 좌절도 가능하다. 쉬운 축을 따라 각 꼭지점에 스핀이 있는 사면체(즉, 사면체 중앙을 직접 향하거나 멀리)를 고려한다면, 네 개의 스핀을 배열하여 그물 스핀이 없도록 하는 것이 가능하다(그림 3). 이는 각 스핀 쌍 사이에 반자성 교호작용을 갖는 것과 정확히 맞먹기 때문에 이 경우 기하학적 좌절은 없다. 이러한 축을 가지고, 평행 회전으로 에너지를 최소화하는 인접국들 사이에 강자성 교호작용이 있을 경우 기하학적 좌절감이 발생한다. 가능한 최선의 배치는 그림 4에 나타나 있으며, 두 개의 회전은 중앙을 향하고 두 개는 방향을 가리키고 있다. 순자성 모멘트는 위쪽을 가리키며 이 방향에서 강자성 상호작용을 최대화하지만, 좌우 벡터는 앞뒤에서와 마찬가지로 취소된다(즉, 반자성 정렬). 2개의 스핀이 나오고 2개가 들어가는 등가 배열이 서로 다르기 때문에 지상 상태는 3배 퇴화한다.

수학적 정의

수학적 정의는 간단하다(그리고 양자 색역학에서 소위 윌슨 루프와 유사하다). 예를 들어, 양식의 표현("총 에너지" 또는 "해밀턴인")을 고려한다.

여기서 G는 고려된 그래프인 반면, I의kν,kμ 양은 가장 가까운 이웃 간의 소위 "교환 에너지"인 데 반해, (고려된 에너지 단위에서) 이 값은 ±1(수리적, 이것은 서명된 그래프)로 가정하는 반면, Skν/S는kμ 스칼라, 벡터성 스핀 또는 사이비 스핀의 내부 산물이다. 그래프 G가 2차 또는 삼각형 면 P를 갖는 경우, 다음과 같은 종류의 "루프 제품"인W 소위 "플라켓 변수" P가 나타난다.

= ,2 , , ,

이 제품들은 또한 "신속한 제품"이라고도 불린다. 이 제품들에 대한 총액, 즉 모든 격자무늬에 대한 총액을 수행해야 한다. 단일 격자판의 결과는 +1 또는 -1이다. 마지막으로 언급된 경우 격자판은 "기하학적으로 좌절"된다.

국소적으로 교환 통합과 스핀을 동시에 수정하더라도 "총 에너지" 등 측정 가능한 다른 수량도 변경하지 않고 단순한 게이지 불변성이 있다는 것을 알 수 있다.

여기서 숫자 ε과i ε은k 임의 기호, 즉 +1 또는 -1이므로 수정된 구조가 완전히 무작위로 보일 수 있다.

워터 아이스

그림 5: 물 얼음 분자 구성

좌절에 대한 대부분의 이전과 현재의 연구는 스핀 시스템에 초점을 맞추고 있지만, 이 현상은 보통 얼음에서 처음 연구되었다. 1936년에 Giauque와 Stout은 물의 엔트로피와 열역학 제3 법칙을 출판했다. 얼음의 열 용량 15K ~ 273K, 고온 가스 위상까지의 동결 및 기화 전환을 통한 물의 열량계 측정을 보고한다. 엔트로피는 열 용량을 통합하고 잠열 기여도를 더하여 계산되었다. 저온 측정치는 데비예가 최근에 도출한 공식을 사용하여 0으로 외삽되었다.[10] 결과 엔트로피 S1 = 44.28 cal/(K·mol) = 185.3 J/(mol·K) = 185.3 J/(mol·K) = 1882.7 J/(mol·K)의 이상적인 기체의 통계역학에서 나온 이론적 결과와 비교하였다. 두 값은 S0 = 0.82 ± 0.05 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K)로 차이가 난다. 리너스 폴링이[11] 이 결과를 훌륭한 근사치로 설명했는데, 리너스 폴링은 얼음 속의 양성자에 내재된 구성 장애로 인해 0온도에서 얼음의 엔트로피(0.81 cal/(K/mol) 또는 3.4 J/(mol/K)로 추정)가 유한하다는 것을 보여주었다.

육각형 또는 입방 얼음 위상에서 산소 이온은 O-O 결합 길이 2.76 å (276 pm)의 사면 구조를 형성하며, O-H 결합 길이는 0.96 å (9 pm)에 불과하다. 모든 산소(흰색) 이온은 그림 5와 같이 4개의 수소 이온(검은색)으로 둘러싸여 있고 각 수소 이온은 2개의 산소 이온으로 둘러싸여 있다. 내부 HO2 분자 구조를 유지하면 양성자의 최소 에너지 위치가 인접한 두 산소 이온 사이에 절반의 거리를 두지 않는다. 수소가 O-O 결합선 상에 차지할 수 있는 등가의 두 가지 위치가 있는데, 이는 멀고 가까운 위치다. 따라서 규칙은 지상 상태 구성을 위한 양성자의 위치에 대한 좌절감을 초래한다. 각 산소에는 인접한 양성자의 두 개가 먼 위치에 있어야 하고, 그 중 두 개는 가까운 위치에 있어야 한다. 이른바 '얼음 규칙'이라고 한다. Pauling은 얼음의 개방된 사면체 구조가 얼음 규칙을 만족하는 많은 동등한 상태를 제공할 것을 제안했다.

Pauling은 다음 방법으로 구성 엔트로피를 계산했다: N O와2− 2N 양자로 구성된 얼음의 한 점을 고려하라. 각 O-O 결합은 양성자를 위한 두 개의 위치를 가지며, 두 개의2N 구성을 가능하게 한다. 그러나 각 산소와 관련된 16개의 가능한 구성 중 오직 6개만이 에너지적으로 유리하여 HO2 분자 제약을 유지한다. 그 후 지상 상태가 취할 수 있는 숫자의 상한을 Ω < 22N()로 추정한다.6/16).N 그에 상응하는 구성 엔트로피0 S = klnB(Ω) = NklnB(3/2) = 0.81 cal/(K/mol) = 3.4 J/(mol/K) = 3.4 J/(mol/K)는 Giauque와 Stout이 측정한 누락 엔트로피와 놀라운 일치한다.

폴링의 계산은 양성자 수에 대한 전지구적 제약과 우르츠이트 격자의 폐쇄 루프에서 발생하는 국부적 제약 모두를 무시했지만, 이후 추정치는 우수한 정확도로 나타났다.

스핀 아이스

그림 6: 스핀 얼음 분자 구조

빙하의 퇴행성과 수학적으로 유사한 상황이 스핀 아이스에서 발견된다. 일반적인 스핀 얼음 구조는 네 모서리에 각각 1개의 자기 원자 또는 이온이 존재하는 입방 피로클로르 구조에서 그림 6에 나타나 있다. 물질의 강한 결정장 때문에, 각각의 자기 이온은 큰 모멘트를 가진 Ising ground doubt로 표현될 수 있다. 이것은 각 사면 정점을 중심에 연결하는 선과 일치하는 국소 정량화 축인 <111> 입방 축을 따라 고정된 스핀이 있는 코너 공유 사면 격자 위에 있는 Ising spins의 그림을 암시한다. 모든 사면세포는 에너지를 최소화하기 위해 2개의 회전과 2개의 회전수가 있어야 한다. 현재 스핀 아이스 모델은 실제 재료로 대략 실현되었으며, 가장 두드러진 것은 희토류 화로클로레스 HoTiO227, DyTiO227, HoSnO이다227. 이 물질들은 모두 저온에서 0이 아닌 잔류 엔트로피를 나타낸다.

Pauling 모델의 확장: 일반적인 좌절감

스핀 아이스 모델은 좌절된 시스템의 한 구획일 뿐이다. 좌절이라는 단어는 처음에 시스템 구성 요소들 사이의 경쟁 관계에너지를 동시에 최소화할 수 없는 시스템을 설명하기 위해 도입되었다. 일반적으로 좌절감은 사이트 장애로 인한 경쟁적[12] 상호작용(악당 모델 참조) 또는 삼각형, 얼굴 중심 입방체(fcc), 육각형 밀폐형, 사면체, 화로체 및 항초자성 상호작용이 있는 카고메 격자와 같은 격자 구조로 인해 발생한다. 그래서 좌절감은 두 가지로 나뉜다. 첫째는 스핀 글라스에 해당하는데, 이것은 구조상의 장애와 스핀의 좌절을 모두 가지고 있다. 둘째는 순서형 격자 구조로 된 기하학적 좌절과 스핀의 좌절을 모두 가지고 있다. 스핀 글라스의 좌절감은 강자성이나 반발광성 중 어느 한쪽의 상호작용 특성이 두 자성 이온의 거리에 의존하는 RKKY 모델의 틀 안에서 이해된다. 스핀 글라스의 격자 장애로 인해 관심의 한 스핀과 가장 가까운 이웃이 서로 다른 거리에 있을 수 있고 다른 상호 작용 특성을 가질 수 있으므로 스핀의 선호 정렬이 달라진다.

기하학적으로 좌절된 페로마네츠

석판 기법의 도움으로 자연적으로 발생하는 스핀 얼음 물질에서 발견되는 좌절감을 재현하는 기하학적 배열로 서브마이크로미터 크기의 자기섬을 제작할 수 있다. 최근 R. F. Wang 외 연구진은 석판학적으로 조작된 단일 영역 강자성 섬들로 구성된 인공 기하학적으로 좌절된 자석의 발견을[13] 보고했다. 이 섬들은 얼음을 회전하기 위한 2차원 아날로그를 만들기 위해 수동으로 배치된다. 주문된 'spin' 섬의 자기 모멘트는 자기력 현미경(MFM)으로 이미징한 다음 좌절의 국부적 수용을 철저히 연구했다. 좌절된 자석의 사각 격자에 대한 이전 연구에서는 저온의 스핀 얼음에서처럼 얼음과 같은 단거리 상관과 장거리 상관 관계가 없음을 모두 관찰했다. 이러한 결과는 좌절의 실제 물리학이 이러한 인공적인 기하학적으로 좌절된 자석에 의해 시각화되고 모델링될 수 있는 미지의 기반을 공고히 하며, 추가적인 연구 활동을 고무시킨다.

인공적으로 좌절된 이러한 페로마그네틱은 마그네토-광학 커 효과를 이용하여 외부장치에 대한 전지구적 반응을 연구할 때 독특한 자기성을 나타낼 수 있다.[14] 특히 사각 격자 강제성의 비단조 각의존성은 인공 스핀 아이스 시스템의 장애와 관련이 있는 것으로 밝혀졌다.

격자 없는 기하학적 좌절감

또 다른 형태의 기하학적 좌절은 지역 질서의 전파에서 발생한다. 응축된 물질 물리학자가 직면하는 주요 질문은 고체의 안정성을 설명하는 것이다.

때때로 낮은 에너지 구성으로 이어져 구조와 화학적 질서를 지배하는 화학적 성질의 일부 지역 규칙을 확립하는 것이 가능하다. 이것은 일반적으로 그렇지 않고 종종 국지적 상호작용에 의해 정의된 국지적 질서가 자유롭게 전파되지 못하여 기하학적 좌절감을 초래한다. 이러한 모든 시스템의 공통적인 특징은 단순한 지역 규칙에도 불구하고, 그것들은 종종 복잡하고 구조적인 실현의 많은 집합을 제공한다는 것이다. 기하학적 좌절감은 군집과 비정형 고형분에서부터 복잡한 유체에 이르기까지 응축된 물질의 분야에서 역할을 한다.

이러한 합병증을 해결하기 위한 일반적인 접근 방법은 두 가지 단계를 따른다. 첫째, 공간 곡률을 허용함으로써 완벽한 공간 충전의 제약이 완화된다. 이상적인, 신뢰할 수 없는 구조는 이 곡선 공간에서 정의된다. 그런 다음, 3차원 유클리드 공간에 삽입하기 위해 이 이상적인 템플릿에 특정한 왜곡이 적용된다. 최종 구조는 순서가 지정된 지역과 현지 순서가 템플릿의 순서와 유사하고, 임베딩에서 발생하는 결함을 혼합한 것이다. 가능한 결함 중 공개가 중요한 역할을 한다.

펜타곤에 의한 평면 타일링은 불가능하지만 퀘이시크리스탈에서 증명된 오각형 도데면체의 형태로 구체에서 실현될 수 있다.

간단한 2차원 예

큰 틀에서 지역 규칙과 기하학의 경쟁의 기원에 대해 어느 정도 이해하려면 2차원적인 예가 도움이 된다. 먼저 평면에 동일한 디스크(가설적인 2차원 금속을 위한 모델)의 배치를 고려하십시오. 우리는 디스크 사이의 상호 작용이 등방성이며 가능한 한 밀도가 높은 방식으로 디스크를 배열하는 경향이 있다고 가정한다. 세 개의 디스크에 대한 가장 좋은 배열은 삼각형 정점에 위치한 디스크 센터를 가진 사소한 정삼각형이다. 그러므로 장거리 구조에 대한 연구는 정삼각형을 가진 평면 기울기의 그것까지 감소시킬 수 있다. 국내 규칙과 글로벌 규칙 간의 완전한 호환성을 갖춘 삼각 타일링에 의해 잘 알려진 솔루션이 제공되는데, 이 시스템은 "신뢰할 수 없는" 시스템이라고 한다.

그러나 이제 상호작용 에너지는 원자가 정규 오각형의 정점에 앉을 때 최소한으로 되어야 한다. 이러한 펜타곤 공유 에지(원자 결합)와 정점(atoms)의 패킹을 장거리로 전파하려고 하는 것은 불가능하다. 이는 평면을 일반 펜타곤으로 타일링하는 것이 불가능하기 때문인데, 단지 오각 정점 각도가 2㎛를 나누지 않는다는 것이다. 그러한 5각형 세 개는 공통의 꼭지점에 쉽게 들어갈 수 있지만, 두 가장자리 사이의 간격은 남아 있다. 그것은 "기하학적 좌절"이라고 불리는 이런 종류의 불일치다. 이 난관을 극복할 수 있는 방법이 하나 있다. 타일을 칠할 표면에는 어떤 전제된 토폴로지가 없도록 하고, 국소 상호작용 규칙을 엄격하게 적용하여 타일을 만들도록 한다. 이 간단한 예에서, 우리는 표면이 구의 위상을 계승하여 곡률을 받는 것을 관찰한다. 여기 오각형 도데면체인 최종 구조는 오각형 질서의 완벽한 전파를 가능하게 한다. 고려된 구조에 대해 "이상적인"(결함 없는) 모델이라고 한다.

촘촘한 구조와 사면 패킹

사면 패킹: 4면체의 2면 각도는 2㎛로 감응할 수 없다. 따라서 공통 가장자리가 있는 5면 포장의 두 면 사이에 구멍이 남아 있다. 12개의 바깥쪽 꼭지점이 불규칙한 이코사면을 형성하도록 20개의 정점을 공통의 정점을 가진 포장을 말한다.

금속의 안정성은 고체물리학의 오랜 문제로서, 양전하 이온과 발란스 및 전도전자의 상호작용을 적절히 고려해야 양자역학 틀에서만 이해할 수 있다. 그럼에도 불구하고 금속 접합에 대한 매우 단순한 그림을 사용할 수 있고 등방성 유형의 상호작용만 유지하여 밀집된 구체로 표현될 수 있는 구조로 이어진다. 그리고 실제로 결정적으로 단순한 금속 구조는 종종 밀폐된 얼굴 중심 입방체(fcc) 또는 육각형 근접 패킹(hcp) 격자 중 하나이다. 어느 정도까지는 구를 촘촘히 포장하여 비정형 금속과 퀘이시크리스탈도 모델링할 수 있다. 국부 원자 질서는 4면체를 촘촘히 포장하여 잘 모형화하여 불완전한 이심질서로 이어진다.

일반 사면체는 네 개의 동일한 구를 포장하기 위한 가장 밀도가 높은 구성이다. 따라서 단단한 구체 문제의 밀도 높은 무작위 패킹은 사면 패킹 문제에 매핑될 수 있다. 4면체 구성만을 형성하기 위해 탁구공을 포장해 보는 것이 실용적인 운동이다. 하나는 완벽한 사면체로서 네 개의 공을 배열하는 것으로 시작하고, 새로운 구를 추가하면서 새로운 사면체를 형성하도록 노력한다. 다음 해결책은 5개의 공으로 구성된 사소한 2개의 4면체 공유다. 이 솔루션에서는 이미 개별 4면체 구멍을 포함하는 FCC 구조가 그러한 구성(면이 아닌 4면체 공유 에지)을 나타내지 않는다는 점에 유의한다. 6개의 공으로 3개의 정규 4차 테트라(tetrahedra)가 만들어지며, 클러스터는 모든 콤팩트한 결정구조(fcc, hcp)와 양립할 수 없다. 일곱 번째 구를 추가하면 두 개의 "축" 볼이 서로 닿고 다섯 개가 나머지 두 개의 볼에 닿도록 구성된 새로운 군집이 생기는데, 바깥 모양은 거의 규칙적인 오각형 바이피라미드가 된다. 그러나, 우리는 위와 유사한 실제 포장 문제에 직면해 있는데, 이는 위와 같은 2차원의 오각형 타일링에 직면해 있다. 사면체의 이면각은 2㎛와 비례할 수 없다. 따라서 이웃한 사면각의 두 면 사이에 구멍이 남아 있다. 그 결과 유클리드 공간 R의3 완벽한 타일링은 일반 사면체로는 불가능하다. 좌절은 위상학적 성격을 가지고 있다: 우리가 일정한 수의 4차(여기 5개)가 공통의 가장자리를 갖는다고 강요한다면 유클리드 공간을 4차(Thetrahedra)로 채우는 것은 심지어 심하게 왜곡된 것이다.

다음 단계는 중요하다: 로컬 구성이 전체 공간에 결점 없이 동일하게 전파되도록 하기 위해 공간 곡면성을 허용함으로써 신뢰할 수 없는 구조를 찾는 것이다.

테트라헤드라의 정규 포장: 폴리토프 {3,3,5}

600 셀: 폴리토프 {3,3,5}

20개의 불규칙한 4면체 팩은 12개의 바깥 정점이 규칙적인 정점을 형성할 수 있는 방법으로 공통 정점을 가지고 있다. 실제로, 이코사헤드론 가장자리 길이 l는 원주 반지름 r (l ≈ 1.05r)보다 약간 더 길다. 공간이 유클리드인이 아니라 구면인 경우 정규 사면체(the tetrahedra)로 용액이 있다. 그것은 600세포라고도 알려진 슐래플리 표기법을 사용하는 폴리토프 {3,3,5}이다.

가장자리가 단위 길이일 경우 모두 황금 비율(φ = 1 + √5/2)과 동일한 반경의 하이퍼스피어 S에3 속하는 정점이 1백 20개 있다. 600개의 세포는 공통 가장자리 둘레에 5개씩, 공통 꼭지점 둘레에 20개씩 묶은 정규 4면체다. 이 구조를 폴리토프(Coxeter 참조)라고 하는데, 폴리곤과 폴리헤드라를 포함하는 계열에서 더 높은 차원의 일반적 명칭이다. 이 구조물이 4차원에 박혀 있어도 3차원(커브) 다지관으로 여겨져 왔다. 이 점은 다음과 같은 이유로 개념적으로 중요하다. 곡선 공간에 도입된 이상적인 모델은 3차원 곡선 템플릿이다. 그들은 지역적으로 3차원 유클리드 모델처럼 보인다. 그래서 원자가 정점에 위치한다면 사트라헤드라에 의한 타일링인 {3,3,5} 폴리토프는 매우 촘촘한 원자 구조를 제공한다. 따라서 그것은 자연스럽게 비정형 금속의 템플릿으로 사용되지만, 연속적인 이상화의 대가를 치르고 있다는 것을 잊어서는 안 된다.

문학

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참조

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