프레임(선형 대수)

선형대수학에서 내부 제품 공간의 프레임은 벡터 공간의 기초를 일반화하여 선형적으로 의존할 수 있는 것을 설정한다.신호 처리의 용어에서, 프레임은 신호를 나타내는 중복되고 안정적인 방법을 제공한다.^[1]프레임은 오류 감지 및 수정, 필터 뱅크의 설계 및 분석에 사용되며, 더 일반적으로 응용 수학, 컴퓨터 과학, 공학에 사용된다.^[2]

정의와 동기 부여

동기 부여 예제: 선형 종속 집합에서 기준 계산

Suppose we have a set of vectors ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ in the vector space V and we want to express an arbitrary element ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ as a linear combination of the vectors ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$, that is, we want to find coefficients ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle c_{}}$ k ${\$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}}$

If the set ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ does not span ${\displaystyle V}$, then such coefficients do not exist for every such ${\displaystyle \mathbf {v} }$. If ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ spans ${\displaystyle V}$ and also is linearly independent, this set forms a basis of ${\displaystyle V}$, and the coefficients ${\displaystyle c_{k}}$ are uniquely determined by ${\displaystyle \mathbf {v} }$. If, however, ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ spans ${\displaystyle V}$ but is not linearly independent, the question of how to determine the coe특히 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 무한 차원일 경우 fficients는 덜 뚜렷해진다.

$\{{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$}$${\$displaystyle$\{\$mathbf {e} _{k}\}\}$이(가) V ${\\displaystyle V}$에 걸쳐 있고$$ 선형적으로 종속되어 있으므로, 한 가지 전략은 벡터를 세트에서 제거하는 것이다.이 계획에는 몇 가지 문제가 있다.

1. 세트에서 임의 벡터를 제거하면 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 선형 독립적으로 되기 전에$$ 분리할 수 없을 수 있다.
2. 기준이 될 때까지 세트에서 벡터를 제거하는 구체적인 방법을 고안하는 것이 가능하더라도 세트가 크거나 무한하면 실제로 이 접근법이 실현 불가능해질 수 있다.
3. 일부 애플리케이션에서는 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$을(를) 나타내는 데 필요한 것보다 많은 벡터를 사용하는 것이 유리할 수 있다$.$ 이는 {$ek}$ {\$displaystyle$ $c_{k$$\}\}\}$의 요소를 제거하지$$ 않고 $계수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}${\$displaystystyle$ c_${k}}}}}$을 찾으려는 것을 의미한다.${\displaystyle {계수}_{}}$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 $더{\displaystyle \mathbf{}}$ 이상 v ${\$$}}$에 의해 고유하게 결정되지 않으므로$$ 벡터 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$${\displaystyle {}_{}}$${e$$}{\mathbf {$e$} _{k}}}}}}}$의 선형 조합으로 나타낼$$ 수 있다$$$.$

형식 정의

V는 내부 제품 공간이고${\displaystyle }${${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {k\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$은(는) V ${\displaystyle$ V$}$의 벡터 집합입니다$.$ 벡터는 0< B> {\$displaystyle 0<A\leq$ B$<\infit }$과 같은 양의 실수 A와 B가 있고 V의 각 $v$에 대해 ${\$인 경우 프레임 조건을 만족한다.

${\displaystyle A\왼쪽\\\mathbf {v} \right\^{2}\leq \sum _{k\in \mathbb {N}\langle \mathbf {v}, _{k}\regle \{2}, \mathbf {v}}$

프레임 조건을 만족시키는 벡터 세트는 벡터 공간을 위한 프레임이다.^[3]

숫자 A와 B는 각각 하한과 상한 프레임 경계라고 불린다.^[3]A보다 작고 B보다 큰 숫자도 유효한 프레임 한계이기 때문에 프레임 경계는 고유하지 않다.최적 하한은 모든 하한에 대한 우월성, 최적 상한이 모든 상한에 대한 최소값이다.

프레임은 벡터 공간의 기초가 아닌 경우 과완성(또는 중복성)이라고 불린다.

분석 연산자

$v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle c_{}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$을(를) 일련의 계수 c k ${\$에 매핑하는 연산자를 프레임의 분석 연산자라고 한다.이 값은 다음과 같이 정의된다.^[4]

${\displaystyle \mathbf {T} :V\mapsto \ell ^{2},\quad \mathbf {v} \mapsto \{c_{k}\}_{k\in \mathb {N}},\quad c_{k}=\langle \mathbf {e_{k}}$

이 정의를 사용하여 프레임 조건을 다음과 같이 다시 작성할 수 있다.

${\displaystyle A\left\ \mathbf {v} \right\ ^{2}\leq {T} \mathbf {v} \right\{2}\leq B\leq B\\\ \mathbf {v} \right\{2}}:$

여기서 좌우 규범은 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 규범을 나타내고$$ 중간 규범은 norm$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$2}} $규범이$다.

합성 연산자

분석 연산자의$$ 보조 연산자 $∗{\displaystyle$ \$mathbf{$T}$$^{*}}를 프레임의 합성 연산자라고 한다.^[5]

${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}:\ell ^{2}\mapsto V,\quad \{c_{k}\}}\mathb {N}}\mapsto \mathbf {v},\quad \mathbf {v} =\sum {k_{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

하한 프레임 바운드에 대한 동기

모든 $벡터{\displaystyle }$ v ${\displaystyle v}$V$${\$displaystyle$ v$\in$ V$}$을(를) 계수 {${\displaystyle }${ v${\displaystyle ,{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{k\mathbb{}}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$ {$v},\$mathb {$e} _{k}\rangele \{k\in \mathb$ {$N$에서 재구성할 수 있도록 하십시오.이는 $상수{\displaystyle }$A >${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$A>$0}$이$($가) 존재하여 모든 x , a {\$displaystyle$ x$,y\in V}$에 대해 다음과$$ 같은 경우에 충족된다.

${\displaystyle A\ x-y\ ^{2}\leq \Tx-Ty\ ^{2}$

$v{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle v=x-y}$을(를$$) 설정하고 분석 연산자의 선형성을 적용함으로써 이 조건은 다음과 같다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle A\ v\ ^{2}\leq \ Tv\ ^{2}}:$

정확히 $프레임{\displaystyle }$ 조건인$$ 모든 $style$ V ${\displaystyle$v\in V}에 대해.

역사

프레임을 둘러싼 다양한 수학적 요소 때문에 프레임 이론은 조화 및 기능 분석, 연산자 이론, 선형 대수, 행렬 이론에 뿌리를 두고 있다.^[6]

푸리에 변환은 신호를 분해하고 확장하는 방법으로 1세기 이상 사용되어 왔다.그러나 푸리에 변환은 방출 순간과 신호 지속시간에 관한 주요 정보를 가린다.1946년 데니스 가보르는 중요한 신호 특성을 캡슐화하면서 동시에 노이즈를 줄이고 탄력성을 제공하며 정량화를 창출하는 기술을 사용하여 이 문제를 해결할 수 있었다.^[1]이 발견은 프레임 이론을 향한 최초의 일치된 노력이었다.

프레임 조건은 리차드 더핀과 앨버트 찰스 셰퍼에 의해 1952년 논하모니 푸리에 시리즈에 관한 기사에서 선형 종속 스패닝 세트의 벡터의 선형 결합에서 계수를 계산하는 한 방법으로 처음 설명되었다(그들의 용어로는 "힐버트 공간 프레임").^[7]1980년대 스테판 말랏, 잉그리드 다우베치, 이브 마이어 등이 프레임을 이용해 웨이블렛을 분석했다.오늘날 프레임은 웨이블렛, 신호 및 이미지 처리, 데이터 압축과 연관되어 있다.

베이스와의 관계

프레임은 신호와 계수의 순서 사이에 표준 등가성을 유지하면서 파르세발의 정체성, 즉 프레임 조건의 일반화를 만족한다.

$\{{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}$ 집합이 V 프레임인 경우$$ V에 걸쳐 있다.그렇지 않으면 모든 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $\mathbf {v} \in V}$에 직교하는 하나$$ 이상의 비제로 ${\displaystyle v}$ {\displaystyle $\mathbf {e} _{k}$이(가) 존재하게$$될 $것$이다.$$v {\$displaystyle \mathbf$ {v$}}$을 프레임$$ 조건에 삽입하면

${\displaystyle A\left\ \mathbf {v} \right\^{2}\leq 0\leq B\left\\mathbf {v} \right\ ^{2};}$

$따라서{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A\leq 0}$은$($는) 하부 프레임 경계에서 초기 가정을 위반하는 것이다.

벡터 세트가 V에 걸쳐 있는 경우, 이 조건은 세트 프레임을 호출하기에 충분하지 않다.예를 들어, $V{\displaystyle }$ =${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}} 도트 제품과 함께$$,${\displaystyle }${e $}$ {\$displaystyle$\{\$mathbf {e} _{k}\}}}}$이(가) 제공하는$$ 무한 세트 {${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ k}을(를) 예로 들어보자.

${\displaystyle \좌측\{(1,0),\,\,\,\좌측(0,{\tfrac {1}{\sqrt{2}}}\우측),\,\좌측(0, {\tfrac {1}{\sqrt{3}}\우측),\dotsc \right\}.}$

This set spans V but since ${\displaystyle \sum _{k}\left \langle \mathbf {e} _{k},(0,1)\rangle \right ^{2}=0+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb =\infty }$, we cannot choose a finite upper frame bound B.따라서${\displaystyle }${${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}$ 집합은 프레임이 아니다$$.

적용들

신호 처리에서 각 벡터는 신호로 해석된다.이 해석에서 프레임 벡터의 선형 결합으로 표현되는 벡터는 중복 신호다.프레임을 사용하면 기본 신호 패밀리와 비교하여 신호의 더 단순하고 희박한 표현을 만들 수 있다(즉, 선형 독립 벡터 집합으로 신호를 엄격하게 나타내는 것이 항상 가장 컴팩트한 형태는 아닐 수 있다).^[8]따라서 프레임은 견고함을 제공한다.그것들은 공간 안에서 같은 벡터를 생산하는 방법을 제공하기 때문에, 신호는 다양한 방법으로 암호화될 수 있다.이는 내결함성과 신호 손실에 대한 복원력을 용이하게 한다.마지막으로, 신호의 복원, 향상 및 재구성과 관련된 노이즈를 완화하기 위해 중복성을 사용할 수 있다.

신호 처리에서 벡터 공간이 힐버트 공간이라고 가정하는 것이 일반적이다.

특례

타이트 프레임

틀은 A = B이면 꽉 끼는 틀이다. 즉, 프레임이 파르세발의 정체성의 일반화된 버전을 만족시키는 것이다.예를 들어, 벡터 공간의 k 이음직교구 기초의 결합은 A = B = k = k를 가진 타이트한 프레임이다. 타이트한 프레임은 A = B = 1이면 파르세발 프레임(평준화된 프레임이라고도 한다). 각 정형근거가 파르세발 프레임이지만, 그 역이 항상 진실인 것은 아니다.

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$용 ${\displaystyle {프레임\mathbb{}}_{}}$ {e$}$ {$e}_{k\in{n}}}}}}$은(는) 프레임 바인딩 A에 단단히 고정되어 있으며$$, 이는 다음과 같은 경우에만 해당된다.

${\displaystyle v={\frac {1}{A}}\sum _{k}\langle \mathbf {v},\mathbf {e} _{k}\rangele \mathbf {e} _{k}}}}$

$모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$에 대해$$.

등규격 프레임

프레임은 각 i에 ${\displaystyle {}_{}}$ $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle$\$e_{i}\ =c}$와 같은 c가 상수인 경우 동등한 규범 프레임(일정한 프레임 또는 정규화된 프레임이라고도 함)이다.동일한 규범 프레임은 c = 1. 파르세발(또는 꽉 조이는) 단위 규범 프레임이 정형 기준이며, 그러한 프레임은 파르세발의 정체성을 만족시킨다.

등각형 프레임

프레임은 각각의 고유한 i와 j에 대해${\displaystyle \mathrm{for}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle e_{}}$j ${\displaystyle =}$ = c ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\angle$=c$}$와 같은 상수 c가 있는 경우 등각형 프레임이다.

정확한 프레임

프레임은 프레임의 적절한 부분집합이 내부 제품 공간을 차지하지 않을 경우 정확한 프레임이다.내부 제품 공간의 각 기본은 공간에 대한 정확한 프레임이다(따라서 기본은 프레임의 특별한 경우).

일반화

베셀 시퀀스는 프레임 조건의 상한만 만족시키는 벡터 집합이다.

연속 프레임

H가 힐베르트 공간이고 X가 국소적으로 콤팩트한 공간이며, $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$이(가) X에 대한 국소적으로 유한한 보렐 측정값이라고 가정하자.측정 μ{\displaystyle \mu}와 함께 벡터의 H으로,{f)})∈ X{\displaystyle\와 같이{f_{)}\}_{Xx\in}}가 되는 지속적인 골조가 상수, 0<>A≤ B{\displaystyle 0< 존재하는 즉.Bf≤ A\leq B} 같은 Af2≤ ∫ X⟨ f, f)⟩ 2dμ())${\displaystyle {}^{}}$$2{\displaystyle }$ ${\$ A f$^{2}\leq \int _{X} \langle f,f_{x}\angle ^{2}d\mu(x)\leq$ B $^{2}}:$ 모든$$ f ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystystyle f\in H$

예

X{\displaystyle \Lambda \subset X}⊂는 이산 집합 Λ는 μ을 감안할 때)δ Λ{\displaystyle\mu =\delta_{\Lambda}}이δ Λ{\displaystyle \delta_{\Lambda}}은 디랙 조치는 지속적인 프레임 속성입니다.

${\displaystyle f^{2}\leq \int _{X}\langle f,f_{)}\rangle ^{2}d\mu())\leq Bf^{2}}.$

로 줄어든다.

Af2≤ ∑, fλ ⟩ 2≤ Bf2{\displaystyle f^{2}\leq \sum _{\lambda \in \Lambda}\langle f,f_{\lambda}\rangle ^{2}\leq Bf^{2}}Λ ⟨ f∈ λ.

그리고 우리는 프레임 위에 언급된의 연속 골조 것들은 정말로 자연 일반화를 참조하십시오.

때 프레임을 다루는 그냥이 불연속 경우와 같은 우리가 분석, 종합,과 프레임 사업자 정의할 수 있다.

연속 분석 연산자

f, f⟨ 계수의 시퀀스에 연속적인 프레임{f)}x을 감안할 때 ∈ X{\displaystyle\와 같이{f_{)}\}_{Xx\in}}의 연속적 분석 교환은 연산자 매핑{f)})∈ X{\displaystyle\와 같이{f_{)}\}_{Xx\in}})⟩)∈ X{\displaystyle\langle f,f_{)}\rangle _{Xx\in}}.

다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle T:$$H\mapsto$ L$^{2}(X,\mu$ )$$by$$ $f{\displaystyle }$→${\displaystyle }$→ ${\displaystyle f,}$ f ${\displaystyle x_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$∈ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {\backslash }_{}}$ X ${\$ f$\to \langle f,f_{x}\rangele _{x\in$ X$}}}}}}$

연속 합성 연산자

연속 분석 연산자의 보조 연산자는 지도인 연속 합성 연산자다.

${\displaystyle$$L^{2}(X,\mu )\mapsto H}$ ${\displaystyle x_{}}$ → x ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}(x}$ )$${\$displaystyle a_{x}\int _{X}a_{x}f_{$x}$d\mu(x)}$

연속 프레임 연산자

연속 분석 연산자와 연속 합성 연산자의 구성은 연속 프레임 연산자로 알려져 있다.연속 프레임${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}{}_{}}$} ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ X ${\$의 경우 Continuous Frame Operator는 다음과 같이 정의된다$.$${\displaystyle$$H\mapsto H}$ by$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle x{}_{}}$d ${\displaystyle \mu }$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle Sf:=\int _{X}\langle f,f_{x}\rangele f_{x}d\mu$ ($x)}$

연속 듀얼 프레임

Given a continuous frame ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$, and another continuous frame ${\displaystyle \{g_{x}\}_{x\in X}}$, then ${\displaystyle \{g_{x}\}_{x\in X}}$ is said to be a Continuous Dual Frame of ${\displaystyle \{f_{x}\}}$ if it모든 $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f,h\in H}$에 대해 다음 조건을 만족한다$.$

${\displaystyle \langle f,h\rangele =\int _{X}\langle f,f_{x}\langle g_{x},h\rangele d\mu(x)}$

듀얼 프레임

프레임 조건에는 다음 속성과 함께$$ 이중 프레임 벡터${\displaystyle }${ ${\displaystyle {\stackrel{\mathbf{}}{\mathbf{}}}_{}}$~ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {\tilde {e} _{k}\}}$의 세트가 포함된다.

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}}$

${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$에 대해$.$ 이는 이중 프레임과 함께 프레임의 특성이 기본과 동일하며 스칼라 제품에서 벡터를 재구성한다는 측면에서 이중 기준을 가지고 있음을 의미한다.

이중 프레임을 구성하기 위해서는 먼저 다음과 같이 정의된 프레임 오퍼레이터라 불리는 선형 $매핑{\displaystyle \mathbf{}}$ S${\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {S} :V\rightarrow V}$이$($가) 필요하다.

${\displaystyle \mathbf {S} \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} \mathbf {v} }$.

이 $S{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 정의와$$ 내부 제품의 첫 번째 인수의 선형성으로부터,

${\displaystyle \langle \mathbf {S} \mathbf {v},\mathbf {v},\mathbf {v},\mathbf {e} _{k}\rangele \right{2}, \mathbf}$

프레임 조건 불평등에서 대체될 때

${\displaystyle A\left\\v} \right\^{2}\leq\langle \mathbf {S} \mathbf {v} \rangele \leq B\left\\\mathbf {v} \mathbf {v} \right\^{2},}$

${\displaystyle 각}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V$에 대해 .

프레임 연산자 $S{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 자기성격이고 양정확정이며 상·하한 양수를 가지고 있다.$S{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle$$\mathbf${$S}$의 역 S${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$ $\mathbf$ {S} ^{-$1}$이 존재하며, 이 역시 자기성격이며, 양수정적이며, 상·하한을 가지고 있다.

이중 프레임은 프레임의 각 요소를 $S{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$:

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e}}}}}_{k}=\mathbf {S}^{-1}\mathbf {e} _{k}}}}$

이 방법이 타당함을 확인하려면 $v{\displaystyle }$ ${\$를) V ${\displaystyle V}$의 요소가 되게$$ 하고$$

${\displaystyle \mathbf{u}}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ e ~ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$}\langle ${\tille {\\\mathbf$

그러므로,

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k})=\mathbf {S} ^{-1}\left(\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \$$mathbf {e} _{k}\right)=\mathbf$ {$S} ^{-$1}\$mathbf${S} \$mathbf {$v} =\$mathbf {v$

는 것을 증명한다.

${\displaystyle \mathbf{v}}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{},}$ e ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ e${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$_{k$\}\}\}\}\}.$

대신, 우리는 할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf{u}}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}}$ $⟨$ ${\displaystyle v\mathbf{},}$ e${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ e ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$_{k}.$

$위$의${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$e ~ ${\displaystyle k_{}}${\$displaystyle${\$tilde {\mathbf{e}}}_{k}}$의 정의를 삽입하고$$ S ${\$의 속성과 그 반전을 적용하여

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\mathbf {S} (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} )=\mathbf {v} }$

는 것을 보여 준다.

${\displaystyle \mathbf{v}}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}}$ $⟨$ ${\displaystyle v\mathbf{},}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$~ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ e ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ {$e} _$$k}.$

숫자 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle v\mathbf{}}$, ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$~ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \langle$\langle \langle $\mathbf$ {$v},{\tilde {\mathbf$ {$e}}}}}}}을(를)$ 프레임 계수라고 한다$$.이 이중 프레임의 파생은 더핀과 셰퍼의 기사에서 제3절을 요약한 것이다.^[7]그들은 여기서 이중 프레임이라고 불리는 것을 위해 결합 프레임이라는 용어를 사용한다.

이중 프레임${\displaystyle }${ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$~ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\tilde {\mathbf{e}}}}{{k}\}}}}$은(는) 기준과 유사한 이중 기준으로 작용하기 때문에${\displaystyle }${ e ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystystyle$\{\$mathbf {e} _{k}\}\}}}}}}}}$의 정식 이중 프레임이라고 불린다$$.

프레임${\displaystyle }${${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaybstyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$이(가) 과완성이 되면$$ $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ v$${\$displaystyle$$$${\displaystyle {}_{}}$$mathbf {e$$}{\mathbf {e} _{k}\}}}}$의 선형 조합으로 기록할$$ 수 있다$$.즉, 계수${\displaystyle }${${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{c_{k}\}\}}$을(를) 여러 가지 선택할 수 있으며, $v$ = ${\displaystyle \underset{}{}}$ k ${\displaystyle c_{}}$ e ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$This allows us some freedom for the choice of coefficients ${\displaystyle \{c_{k}\}}$ other than ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle }$. It is necessary that the frame ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ is overcomplete for other such co유효 효과${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{c_{k}\}}$이(가) 존재해야$$ 한다.그렇다면 프레임${\displaystyle }${${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \ne }${ e${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {g} _{k}\neq \{\tilde{\mathbf {e}}}}{}_{k}\}\}}}}}$이(가) 있을 수 있으며, 이러한 프레임은$$ 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v},\mathbf {g} _{k}\angle \mathbf {e} _{k}}}}}$

모든 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V$에 대해 $\{{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ $\{\mathbf {g$$}$ $_{k$의 이중$$ 프레임이라고 부른다$.$

Canonical duality is a reciprocity relation, i.e. if the frame ${\displaystyle \{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}}$ is the canonical dual frame of ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$, then ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ is the canonical dual frame of ${$$\displaystyle \{\mathbf {\tilde{e}} _{k$

참고 항목

• k-프레임
• 바이오르토곤 웨이브
• 직교 파장
• 제한된 등거리 특성
• 슈어더 기준
• 조화해석
• 푸리에 분석
• 기능분석

메모들

참조

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• Duffin, Richard James; Schaeffer, Albert Charles (1952). "A class of nonharmonic Fourier series". Transactions of the American Mathematical Society. 72 (2): 341–366. doi:10.2307/1990760. JSTOR 1990760. MR 0047179.
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