위상선(수학)

수학에서 위상선은 ${\displaystyle \frac{d}{}}$ y $d{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle {\tfrac$ {$dy}{dx}=f(y$의 단일 변수에서 자율적인 일반 미분 방정식의 질적 행동을 보여주는 도표다. 위상선은 일반 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 위상 공간의 1차원 형태로서 쉽게 분석할 수 있다.

도표

일반적으로 수직인 선은 파생상품 영역의 간격을 나타낸다. $임계{\displaystyle }$ 지점(${\displaystyle 즉}$, 파생 모델 $d{\displaystyle \frac{}{}}$ d ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ x$${\$displaystyle {\tfrac {dy}{dx$ f${\displaystyle (}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(y)=0$과 같은 y $지점{\displaystyle }${\$displaysty y},$ 임계 지점 사이의 간격은 화살표로 표시됨: 파생 모델이 포지티인 간격ve에는 선을 따라 양방향(위 또는 오른쪽)을 가리키는 화살표가 있고, 파생상품이 음수인 간격에는 선을 따라 음수방향(아래 또는 왼쪽)을 가리키는 화살표가 있다. 위상선은 수평이 아닌 수직으로 그리는 것을 제외하고는 1차 파생시험에서 사용된 선과 형태가 동일하며, 해석은 사실상 동일하며 임계점의 분류가 동일하다.

예

단계 라인의 단순한 예는 사소한 단계 선, 기능에 해당하는 f(y){\displaystyle f(y)}만약 f(y)=0{\displaystyle f(y)=0}, 모든 점은은 안정적인 균형 상태(y는 y{\displaystyle}을 바꾸지 않는다)만약 f(y)는:<>을 사용하여 표지판을 바꾸지 않고, 모두에게 0{\displaystyle f(y)>0}. y{$\displaystyle y$ 그 $다음{\displaystyle }$ y$${\$displaystyle$ y$}$은(는) 항상 증가하고$$ , f( < 0 ${\displaystyle f(y)<0}$이면 y ${\displaysty y}$은(는) 항상 감소하고 있다$$.

가장 단순한 비경쟁적인 예는 지수 성장 모델/데케이(한 가지 불안정한/안정적인 균형)와 로지스틱 성장 모델(두 가지 평형, 한 가지는 안정적이고 한 가지는 불안정함)이다.

임계점 분류

임계점은 인접 화살표를 검사하여 안정적, 불안정적 또는 반안정적(동일하게, 싱크, 소스 또는 노드)으로 분류할 수 있다.

두 화살표가 모두 임계점을 향하면 안정적이다(싱크). 인근 해법은 증상 없이 임계점에 수렴하며, 작은 동요 속에서도 안정적이다. 즉, 용액이 교란되면 용액으로 되돌아간다는 뜻이다.

두 화살표가 모두 임계점으로부터 멀어지면 불안정한 상태(출처): 인근 해법이 임계점으로부터 이탈하고, 작은 동요하에서도 해법이 불안정해 해법이 교란되면 해법으로 돌아가지 않는다는 것을 의미한다.

그렇지 않은 경우 – 화살표가 임계점을 가리키고 한 점을 가리키는 경우 – 반안정적(노드): 한 방향(화살이 점을 가리키는 경우)에서 안정적이고 다른 방향(화살이 점을 가리키는 경우)에서 불안정하다.

참고 항목

• 첫 번째 파생 테스트, 기초 미분학에서 아날로그
• 위상 평면, 2차원 형태
• 위상 공간, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 양식

참조