운동 상수

역학에서 운동 상수란 운동 전반에 걸쳐 보존되는 양으로, 사실상 운동에 제약을 가합니다.그러나, 이것은 (추가 구속력을 필요로 하는) 물리적 구속력보다는 운동 방정식의 자연스러운 결과인 수학적 구속력이다.일반적인 예로는 에너지, 선형 운동량, 각 운동량 및 라플라스-런지-렌즈 벡터(역제곱력 법칙의 경우)가 있다.

적용들

운동 상수는 운동 방정식을 풀지 않고도 운동의 특성을 도출할 수 있기 때문에 유용합니다.운 좋게도 움직임의 궤적조차도 움직임의 상수에 대응하는 등각면의 교점으로서 도출할 수 있다.예를 들어 Poinsot의 구조는 강체의 토크 프리 회전이 구(전체 각운동량 보존)와 타원체(에너지 보존)의 교차점이라는 것을 보여주며, 그렇지 않으면 도출하고 시각화하기 어려울 수 있는 궤적입니다.그러므로, 운동 상수의 확인은 역학에서 중요한 목표이다.

운동 상수를 식별하는 방법

운동 상수를 식별하는 방법은 여러 가지가 있습니다.

• 가장 단순하지만 가장 체계적이지 않은 접근법은 직관적인("심리") 유도이며, 여기서 양은 일정하다고 가정되고(아마도 실험 데이터 때문에), 나중에 수학적으로 운동 내내 보존된다는 것을 보여준다.
• 해밀턴-야코비 방정식은 특히 해밀턴이 직교 좌표에서 인식 가능한 함수 형태를 채택할 때 운동 상수를 식별하기 위해 일반적으로 사용되는 간단한 방법을 제공한다.
• 또 다른 접근법은 보존된 양이 라그랑지안의 대칭에 해당한다는 것을 인식하는 것이다.노에터의 정리는 대칭으로부터 그러한 양을 도출하는 체계적인 방법을 제공한다.예를 들어, 에너지의 보존은 시간의 근원에서의 라그랑지안의 불변성에서 비롯되고, 선형 운동량의 보존은 공간의 근원에서의 라그랑지안의 불변성에서 비롯되며(환산 대칭), 각 운동량의 보존은 로의 라그랑지안의 불변성에서 비롯된다.설정.그 반대도 사실입니다. 라그랑지안의 모든 대칭은 운동 상수에 해당하며, 종종 보존 전하 또는 전류라고 불립니다.
• $수량{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$는 총 시간 미분이 0인 경우 움직임의 상수입니다.

${\displaystyle 0=black {dA}{dt}}=black {\flac A}{\partial t}+{A},H\}$

$이$는 해밀턴이 포함된 A$(\displaystyle$ A$)$의 포아송 괄호가 시간에 대한^[1] 부분 도함수를 뺀 값일 때 $발생$합니다.

$(\displaystyle\frac\partial t}=-{A,H\}$

$또{\displaystyle }$ 다른 유용한 결과는 포아송의 정리입니다. 포아송의 두 수량 A${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ A$)$와 B$(\displaystyle$ B$)$가 운동 상수이면 포아송${\displaystyle }$괄호 {${\displaystyle A,}$ B$}(\displaystyle \{A,B$도 운동 상수입니다.

자유도가 n개이고 운동 상수가 n개인 시스템은 운동 상수 쌍의 포아송 괄호가 사라지도록 완전히 통합 가능한 시스템으로 알려져 있습니다.이러한 운동 상수의 집합은 서로 융합되어 있다고 한다.

양자역학에서

관측 가능한 양 Q는 해밀턴 H와 일치하고 그 자체가 시간에 명시적으로 의존하지 않는 경우 운동 상수이다.그 이유는

$\displaystyle \frac {d} {dt} \psi Q \psi \rangle = phfrac {-1} {i\hbar } \psi \left [H,Q\right] \psi \rangle + \psi \frac {dQ} \psi \rangle 、$

어디에

${\displaystyle [H,Q]=HQ-QH,}$

는 정류자 관계입니다.

파생

위치, 운동량, 시간에 따라 관측 가능한 수량 Q가 있다고 가정해 봅시다.

${\displaystyle Q=Q(x,p,t),}$

그리고 슈뢰딩거의 방정식에 따르는 파동함수가 있다.

${\displaystyle i\hbar\frac\psi}{\display t}=H\psi .,}$

Q의 기대치에 대한 시간파생물을 취하려면 제품규칙을 사용해야 하며 결과적으로

$(\displaystyle\frac{dt}}\langle Q\rangle, )$	${\displaystyle = flac {d}{dt}}\si Q\psi \rangle,}$
	${\displaystyle =\frac {d\psi}{dt}Q \psi \rangle +\frac {dQ}{dt}\psi \rangle Q \frac {d\psi }{dt}\rangle }$
	${\displaystyle = phcfrac {-1}{i\hbar}}\si H\psi Q\rangle +\si \frac {dQ}\psi \rangle +{\frac {1}{i\hbar }\si Q\psi \rangle }$
	${\displaystyle = specfrac {-1}{i\hbar }}\spi \rangle +\spi \frac {dQ}{dt}\psi \rangle +{\frac {1}{i\hbar}}\spcsi QH \psi \pi \rangle,$
	${\displaystyle = specfrac {-1}{i\hbar }}\spi \left[H,Q\right] \psi \rangle +\spi \frac {dQ} {dt} \psi \rangle }$

그래서 마지막으로

$\displaystyle \frac {d} {dt} \psi Q \psi \rangle = phfrac {-1} {i\hbar } \psi \left [H,Q\right] \psi \rangle + \psi \frac {dQ} \psi \rangle 、$

댓글

양자 기계 시스템의 임의 상태의 경우, H와 Q가 이동하는 경우, 즉, 다음과 같은 경우.

$\displaystyle \left[H,Q\right]=0}$

Q는 시간에 따라 명시적으로 달라지지 않습니다.

$(\displaystyle\frac {d}{dt}}\rangle Q\rangle = 0)$

하지만 $(\displaystyle \psi)$가 해밀턴의 고유 함수라면

$\displaystyle \left[H,Q\right]\neq 0}$

지금도 그렇다

$(\displaystyle\frac {d}{dt}}\rangle Q\rangle = 0)$

Q가 정시에 독립되어 있는 경우.

파생

$(\displaystyle\frac{dt}}\langle Q\rangle, )$	${\displaystyle = specfrac {-1}{i\hbar }}\spcle \psi \left[H,Q\right] \psi \rangle \,}$
	$({displaystyle = specfrac {-1}{i\hbar }}\spi HQ-QH\psi \rangle,})$

부터

$(\displaystyle H \psi \rangle = E \psi \rangle , )$

그리고나서

$(\displaystyle\frac{dt}}\langle Q\rangle, )$	$({displaystyle = specfrac {-1}{i\hbar }}\left(E\langle Q \psi \rangle - E\langle \psi Q \psi \langle \right ),}$
	${\displaystyle =0}$

이것이 해밀턴의 고유 상태를 정지 상태라고도 부르는 이유입니다.

양자 카오스의 관련성

일반적으로, 통합 가능한 시스템은 에너지 이외의 운동 상수를 가지고 있습니다.반면 에너지는 비통합 시스템에서 유일한 운동 상수입니다. 이러한 시스템을 카오스라고 합니다.일반적으로 고전적인 기계 시스템은 통합 가능한 경우에만 정량화할 수 있습니다. 2006년 현재 카오스 동적 시스템을 정량화하는 일관된 방법은 알려져 있지 않습니다.

운동의 적분

움직임 상수는 위상공간 좌표(위치와 속도 또는 위치와 운동량)와 궤적 전체에 걸쳐 일정한 시간의 함수로 정의될 수 있다.움직임 상수의 하위 집합은 움직임의 적분 또는 첫 번째 적분이며, 궤도를 따라 일정한 위상 공간 좌표만의 함수로 정의됩니다.운동의 모든 적분은 운동의 상수이지만, 그 반대는 사실이 아니다. 왜냐하면 운동의 상수는 시간에 ^[2]의존할 수 있기 때문이다.운동의 적분의 예로는 각운동량 벡터, $L{\displaystyle \mathbf{}}$ $=$ ×$$ \$displaystyle$ $\mathbf {L}$ =\$mathbf {x}$ \$times$\$mathbf$ ${$$v$ $\}$ 또는${\displaystyle }$시간 의존성이 없는 해밀턴(${\displaystyle x\mathbf{}),}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$ ${\displaystyle {v2\mathrm{}}^{}}$ $(x)$ 등이 $있습니다{\displaystyle }$.움직임의 정수가 아닌 함수의 le은 1차원에서 일정한 속도로 움직이는 물체에 대한 함수 $(x$ v${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t)}$ $=$ - ${\displaystyle v}$t {$display$C(x$, v,$ t)=$x-vt}$가 될 것이다.

디랙 관측 가능량

게이지 이론에서 물리적 정보를 추출하기 위해 게이지 불변 관측 가능품을 구성하거나 게이지를 고정합니다.표준 언어에서 이는 일반적으로 1등급 구속조건을 생성하는 게이지와 함께 구속 표면에서 포아송-정합하는 함수를 구성하거나 각 게이지 궤도 내에서 점을 선택하여 후자의 흐름을 고정하는 것을 의미한다.따라서 이러한 게이지 불변 관측 가능은 게이지 발생기의 '운동 상수'이며 디락 관측 가능이라고 한다.

레퍼런스

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.