대칭 및 교대 그룹의 자동 형태

집단 이론에서 수학의 한 분야, 대칭 집단과 교번 집단의 자동화와 외형 자동화는 모두 이러한 자동화의 표준 사례로, 그 자체로 연구 대상들, 특히 6개 원소의 대칭 집단인 S의₆ 예외적인 외형 자동화가 그것이다.

요약

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \operatorname {Aut}(\mathrm {S} _{n})$	${\displaystyle \operatorname {Out}(\mathrm {S} _{n})$
$디스플레이 스타일 n\neq 2,6}$	${\displaystyle \mathrm{S} _{n}}$	${\displaystyle \mathrm{C} _{1}$
${\displaystyle n=2}$	${\displaystyle \mathrm{C} _{1}$	${\displaystyle \mathrm{C} _{1}$
${\displaystyle n=6}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}$[1]	${\displaystyle \mathrm{C} _{2}}$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \operatorname {Aut}(\mathrm {A} _{n})$	${\displaystyle \operatorname {Out}(\mathrm {A} _{n})$
$디스플레이 스타일 n\geq 4, n\n\neq 6}$	${\displaystyle \mathrm{S} _{n}}$	${\displaystyle \mathrm{C} _{2}}$
${\displaystyle n=1,2}$	${\displaystyle \mathrm{C} _{1}$	${\displaystyle \mathrm{C} _{1}$
${\displaystyle n=3}$	${\displaystyle \mathrm{C} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm{C} _{2}}$
${\displaystyle n=6}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}$	${\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}$

제네릭 케이스

• ${\displaystyle n\neq 2,6}$: ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}}$, and thus ${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {C} _{1}}$.

형식적으로 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이 완료되고$$ 자연지도 ${\displaystyle {}_{}}$ $n{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle \mathrm{Aut}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle ({}_{}}$) ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut}(\mathrmetS} _{n})$은 이형상형사상이다.

• ${\displaystyle n\neq 1,2,6}$: ${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})=\mathrm {S} _{n}/\mathrm {A} _{n}=\mathrm {C} _{2}}$, and the outer automorphism is conjugation by an odd permutation.
• ${\displaystyle n\neq 2,3,6}$: ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}}$

실제로 자연지도 ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle \mathrm{Aut}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{Aut}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}\operatorname {Aut}(\mathrm {S} _{n}) \operatorname {Aut}(\mathrm$ {$A} _{n})$은 등각형이다.

예외적인 경우

• ${\displaystyle n}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n=1,2$}$$: 사소한:

${\displaystyle \operatorname {A}(\mathrm {S} _{1}=\operatorname {Out}(\mathrm {S} _{1}}=\operatorname {Out})(\mathrm {A}={1}}}\mathrmaterrm {C}}}}{1}{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{1}$

${\displaystyle \operatorname {A}(\mathrm {S} _{2}=\operatorname {Out}(\mathrm {S} _{2}=\operatorname {Out})(\mathrm {A}={2}}}\mathrmeterrm {C}}}}{1}{1}{1}}}$

• ${\displaystyle n=3}$: ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{3})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{3})=\mathrm {S} _{3}/\mathrm {A} _{3}=\mathrm {C} _{2}}$
• ${\displaystyle n=6}$: ${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {C} _{2}}$, and ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}}$ is a semidirect product.
• ${\displaystyle n=6}$: ${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {A} _{6})=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$, and ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{6})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{$$6}=\matrm {S} _{6}\rtimes \matrm {C} _{2}.$$}$

S의₆ 예외적인 외형적 자동성

대칭군 중에서 S만이₆ 비종교적인 외형적 자동형을 가지고 있어 예외적(예외적 리알헤브라와 유사하게) 또는 이국적이라고 할 수 있다. 사실 Out(S₆) = C₂.^[2]

이것은 1895년 오토 홀더에 의해 발견되었다.^[2][3]

외부 자동형성의 특성은 다음과 같다.

• 유일한 신원 순열 지도
• (1)(2)(3)(4)(56)와 같은 세 가지 2 사이클의 곱에 대한 지도와 같은 2 사이클은 각각 15개의 순열이 있다.
• (1 4 5)(2 6 3)와 같은 두 개의 3 사이클의 곱에 대한 지도와 같은 3 사이클은 각 방식으로 40개의 순열을 고려한다.
• (1 2 3 4)와 같은 4 사이클은 (1 6 2 4)와 같은 다른 4 사이클로 90 순열을 차지한다.
• (3 5)(4 6)와 같은 두 개의 2 사이클의 다른 제품에 대한 지도(1 2)(3 4)와 같은 2 사이클의 제품으로서 45개의 순열을 차지한다.
• (1 2 3 4 5)와 같은 5주기 및 기타 5주기 지도(1 3 6 5 2)와 같은 144개의 순열
• (1 2 3)(4 5)와 같은 6 사이클에 대한 지도와 같은 2 사이클 및 3 사이클의 제품이며, 그 반대의 경우, 각 방식으로 120회 순열을 고려한다.
• (1 2 3 4)(5 6)와 같은 2 사이클과 4 사이클의 곱은 나머지 90개의 순열을 설명하는 (1 4 2 6)(3 5)와 같은 순열과 같은 다른 순열과 같다.

따라서 6개 요소에 대한 720개의 순열이 모두 설명된다. 외부 자동형은 일반적으로 사이클 구조를 보존하지 않으며, 단일 사이클을 두 사이클의 생산물에 매핑하고 그 반대의 경우도 마찬가지다.

이것은 또한 A의₆ 또 다른 외부 자동화를 산출하는데, 이것은 유한단순집단의 유일한 예외적인 외부 자동화이다:^[4]단순집단의 무한가족에게는 외부 자동화의 수에 대한 공식들이 있고, A로₆ 생각되는 단순한 집단 360은 4개가 아니라 2개의 외부 자동화를 가질 것으로 예상된다. 그러나, A를₆ PSL(2, 9)으로 볼 때, 외부 자동형 집단은 예상 순서를 갖는다. (산발적인 집단, 즉 무한 가족에 속하지 않는 집단의 경우, 예외적인 외부 자동형 집단의 개념은 일반 공식이 없기 때문에 잘못 정의된다.)

건설

(Janusz & Rotman 1982년)에 열거된 수많은 건축물이 있다.

외적인 자동형성으로서, 그것은 내적인 자동형성까지만 잘 결정되는 자동형성의 한 종류라는 점에 유의하십시오. 따라서, 기록할 자연형성은 존재하지 않는다.

한 가지 방법은 다음과 같다.

• 이국적인 지도(임베딩) S → S₅₆; 아래 참조
• S는₆ 지도 S → S를_6X 산출하여 이 부분군의 6개 접합자에 대한 결합에 의해 작용한다. 여기서 X는 결합체의 집합이다. 숫자 1, ..., 6으로 X를 식별하면(접합체의 번호 매기기 선택에 따라 달라짐, 즉 S의₆ 요소까지(내부 자동형) 외부 자동형₆ S → S가₆ 발생한다.
• 이 지도는 외부 자동모형인데, 전위치는 전위치에 매핑되지 않지만, 내부 자동모형은 순환 구조를 보존하기 때문이다.

다음 과정 동안, 코세트의 곱셈 작용이나 결합체의 결합 작용으로 작업할 수 있다.

S6은 외부 자기 동형:내부 자기 동형다, 기억은 그룹 G에서 대칭 군 Sn에 homomorphisms은 본질적으로 G의 n요소의 집합에 나오는 행동들로 지수의 G.Conversely에 대부분의 n에 서브 그룹의 포인트를 고친 다음 하위 그룹 우리가 G장조 지수 n의 하위 그룹과 있는지 확인하려면, cosets에서 액션의 전이적 조치를 준다. 의 N 점에 G, 따라서 S에_n 대한 동형성.

그래프 파티션에서 구성

더 수학적으로 엄격한 건축 이전에, 그것은 간단한 건축물을 이해하는 데 도움이 된다.

6개의 꼭지점 K가₆ 있는 전체 그래프를 취한다. 그것은 15개의 가장자리를 가지고 있는데, 15개의 다른 방법으로 완벽한 매치들로 분할될 수 있으며, 각각의 완벽한 매칭은 두 개의 가장자리가 없는 세 개의 가장자리로 이루어진 세트로서 정점을 공유하지 않는다. 두 개의 일치 항목이 하나의 엣지를 공유하지 않고, 그 사이에 5 × 3 = 15개의 모든 그래프의 엣지를 포함하도록 15의 집합에서 5개의 완벽한 일치 집합을 찾을 수 있다. 이 그래프 인자화는 6가지 다른 방법으로 수행될 수 있다.

6개의 꼭지점 순열을 고려하고 그것이 6개의 다른 요인화에 미치는 영향을 살펴보자. 우리는 720 입력 순열에서 720 출력 순열까지 지도를 받는다. 그 지도는 정확히 S의₆ 외적인 오토모프리즘이다.

자동형성이기 때문에 지도는 원소의 질서를 보존해야 하지만 사이클 구조를 보존하지는 못한다. 예를 들어, 2 사이클은 3개의 2 사이클의 제품에 매핑된다. 2 사이클은 어떤 식으로든 6개의 그래프 요인화에 모두 영향을 미치고, 따라서 인자화 순열로 볼 때 고정된 포인트가 없다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이러한 자동형태를 구성하는 것이 전혀 가능하다는 사실은 n = 6에만 적용되는 많은 수의 수학적 우연에 의존한다.

이국지도₅₆ S → S

S의₆ 부분군(사실, 6개의 결합 부분군)이 있는데, 이는 추상적으로 S에₅ 이형성이지만, 6개의 원소 집합에서 S의₆ 부분군으로 전이적으로 작용한다. (명확한 지도 S_n → S의_n+1 이미지는 요소를 고정하므로 타동성이 없다.)

시로우 5 하위 그룹

Janusz와 Rotman은 다음과 같이 그것을 구성한다.

• S는₅ 그것의 6개의 Sylow 5 하위 그룹의 집합에서 순서가 120인 전이적 하위그룹으로서 내장₅ S → S를₆ 산출하면서 변형적으로 작용한다.

이는 5주기 검사에서 다음과 같다: 각 5주기마다 순서 5 그룹(즉, 시로우 서브그룹), 5!/5 = 120/5 = 24 5주기, 6개 하위그룹(각 하위그룹도 정체성을 포함하므로), S는_n 특정 등급의 사이클 집합에 따라 변이적으로 작용하여 이들 하위그룹에 대한 결합에 의해 변이적으로 작용한다.

또는, 일반적으로 모든 Sylow p-subgroup이 결합체라고 기술하는 Sylow 이론들을 사용할 수 있다.

PGL(2,5)

5개 원소인 PGL(2, 5)을 가진 유한장 위에 2차원의 투영 선형 그룹은 6개 원소를 가진 5개 원소인¹ P(F₅)를 가진 필드 위에 투영 선에 작용한다. 또한, 이 작용은 투사선에 투사 선형 그룹의 작용에 대해 항상 그렇듯이 충실하고 3투사적이다. 이것은 지도 PGL(2, 5) → S를₆ 전이 서브그룹으로 산출한다. S로₅ PGL(2, 5), A로₅ 투영 특수 선형 그룹 PSL(2, 5)을 식별하면 원하는 외래 지도 S₅ → S 및 A₆ → A가₅₆ 산출된다.^[5]

같은 철학에 따라 여섯 가지 요소를 가진 집합에서 S의₆ 다음과 같은 두 가지 불평등한 행동과 같은 외적인 오토모르프리즘을 실현할 수 있다.^[6]

• 순열 그룹으로서의 통상적인 행동
• 투사선 P(F¹₅)로 설정된 추상적 6-요소의 6개의 불평등 구조 - 선은 6개의 점을 가지며, 투사 선형 그룹은 3개의 점을 수정하여 3! = 6개의 다른 방법으로 나머지 3개의 점을 배열하여 원하는 대체 작용을 산출한다.

프로베니우스 군

다른 방법: S의₆ 외부 자동화를 구성하기 위해서는 S에₆ 지수 6의 "비정상적인" 부분군을 구성해야 하는데, 다시 말해서 점을 고정하는 6개의 명백한 S₅ 부분군 중 하나가 아니다(S의₆ 내부 자동화에 해당).

The Frobenius group of affine transformations of F₅ (maps x ${\displaystyle \mapsto }$ ax + b where a ≠ 0) has order 20 = (5 − 1) · 5 and acts on the field with 5 elements, hence is a subgroup of S₅. (Indeed, it is the normalizer of a Sylow 5-group mentioned above, thought of as the order-5 group of translations of F₅.)

S는₅ 120/20 = 6개의 원소(또는 위의 작용을 산출하는 결합에 의해)의 집합인 코제트 공간에서 전이적으로 작용한다.

기타 구성

에른스트 위트는 마티외 그룹 M₁₂(S에₆ 대한 부분군 T 이소모르픽과 외부 오토모픽에 의해 작용하는 요소 σ)에서 오토(S₆)의 사본을 발견했다. S가₆ 2가지 다른 방법으로 6개 원소의 집합에 작용하는 것과 유사하게(외부 자동화를 가지고 있음), M은₁₂ 2가지 다른 방식으로 12개 원소의 집합에 작용한다(외부 자동화를 가지고 있음). M 그₁₂ 자체는 예외적이기 때문에, 이 외부 자동화를 예외적인 그 자체로 여기지 않는다.

A의₆ 완전 자동형성 그룹은 자연스럽게 2가지 방법으로 마티외 그룹 M의₁₂ 최대 하위 그룹으로 나타나는데, 12개의 점의 분할을 6개 요소 집합으로 고정하는 하위 그룹 또는 2개의 부분 집합으로 고정하는 하위 그룹으로 나타난다.

S가₆ 비종교적 외부 자동형성을 가지고 있음을 알 수 있는 또 다른 방법은 A가₆ PSL₂(9)에 이형성이라는 사실을 사용하는 것인데, PSL₂(9)이 지수 4인 투영 반선형 그룹인₂ PSL(9)에 대해 PSL(9)이 지수 4로 되어 있어 순서 4의 외부 자동형성 그룹을 산출한다. 이러한 자동형태를 가장 시각적으로 볼 수 있는 방법은 다음과 같이 유한한 분야에 대한 대수적 기하학을 통해 해석을 하는 것이다. 3개의 원소가 있는 필드 k에 부착된 6-공간에서 S의₆ 작용을 고려한다. 이 작용은 좌표가 합이 0인 하이퍼플레인 H, 모든 좌표가 일치하는 H의 선 L, 6개 좌표의 제곱합에 의해 주어진 2차 형태 q 등 여러 가지를 보존한다. q to H의 제한은 결함선 L을 가지므로 4차원 H/L에 유도 2차 형태 Q가 있어 한 번 점검하면 퇴화되지 않고 쪼개지지 않는다. H/L에서 Q의 영점 구조는 k에 걸쳐 연관된 3-공간에서 매끄러운 4중 표면 X를 정의한다. k의 대수학적 폐쇄를 넘어 X는 두 개의 투영 라인의 산물이므로, 강하 인수에 의해 X는 2차 엣테일 대수 K에 대한 투영 라인의 k에 대한 Weil 제한이다. Q는 k에 대해 분할되지 않기 때문에 k에 대해 특별한 직교 그룹이 있는 보조 인수는 K를 필드(k의 두 복사본이 아닌 제품)로 강제한다. 눈에₆ 보이는 모든 것에 대한 자연적인₆ S-action은 X의 k-자오토피즘 그룹까지의 지도를 정의하는데, 이것은₂ PGL(K)의 반직접 제품 G = PGL₂(9)이 갈루아의 비자발성에 대항하는 것이다. 이 지도는 단순 그룹 A를₆ 세미 다이렉트 제품 G의 지수 4의 서브그룹₂ PSL(9)에 비독점적으로 포함시키므로 S는₆ 이에 따라 G의 인덱스-2 서브그룹(명칭₂ PSL(9)과 갈루아 비자발적으로 생성되는 G의 서브그룹)으로 식별된다. S를₆ 제외한 G의 어떤 요소에 의한 결합은 S의₆ 비경쟁적 외부 자동화를 정의한다.

외부 자동형성 구조

주기마다 (12)(34)(56)와 (2급¹³)의 유형(12)과 (125)(2급)의 순열, (123)(2급)과² (123)의 유형(123¹)의 순열을 교환한다. 또한 외부 자동형은 (12)(3455)와 (12345)의 유형 순열 (12345)을 (123456)과 교환한다 (6급과¹ 23급¹¹). S의₆ 다른 사이클 유형 각각에 대해, 외부 자동형은 사이클 유형의 순열 등급을 수정한다.

A에서는₆ 3주기(예: (123)와 클래스 3의 요소²(예: (123) (456))를 상호 교환한다.

다른 외부 자동화 없음

다른 대칭 그룹에 외부 자동화가 없음을 확인하려면 다음 두 단계로 진행하는 것이 가장 쉽다.

1. 첫째, 전이의 결합계급을 보존하는 모든 자동형성이 내적 자동형성이라는 것을 보여준다. (이것은 또한 S의₆ 외부 자동형성이 독특하다는 것을 보여준다; 아래를 참조) 자동형성은 각 결합 클래스(원소가 공유하는 순환 구조로 특징지어짐)를 (아마도 다른) 결합 클래스로 보내야 한다는 점에 유의한다.
2. 둘째, 모든 자동형성(S에₆ 대해서는 위의 것 이외의 것)이 전이 계급을 안정화시킨다는 것을 보여준다.

후자는 두 가지 방법으로 나타낼 수 있다.

• S를₆ 제외한 모든 대칭 그룹에 대해, 전이 등급과 동일한 수의 원소를 갖는 순서 2의 원소로 구성된 다른 결합 등급은 없다.
• 또는 다음과 같다.

순서 2의 각 순열(불수라고 함)은 k > 0 이음 전이의 산물이므로 순환 구조 21을^kn−2k 가진다. 전이의 등급(k = 1)이 특별한 것은?

만일₁ 하나가 distinct과 τ의₂ 두 가지 뚜렷한 전이의 산물을 형성한다면, 사람은 항상 타입 21의²ⁿ⁻⁴ 3주기 또는 순열화를 얻으므로, 생산된 원소의 순서는 2나 3이다. 한편, 한 가지가 두 개의 뚜렷한 비자발성의 산물인 >, k > 1의 σ₁₂, 그 다음에 n ≥ 7을 제공한다면, 언제나 다음과 같이 6, 7 또는 4의 원소를 생산할 수 있다. 우리는 그 제품에 다음 중 하나가 포함되도록 할 수 있다.

• 2주기 및 3주기(k = 2 및 n ≥ 7의 경우)
• 7 사이클(k = 3 및 n ≥ 7의 경우)
• 2개의 4주기(k = 4 및 n ≥ 8의 경우)

k ≥ 5의 경우, 순열 σ₁, 마지막 예시₂ 중복 2-cycle을 서로 취소하고, 우리는 여전히 두 개의 4-cycle을 얻는다.

이제 우리는 모순에 도달하는데, 왜냐하면 자동형성 f를 통해 k > 1이 있는 비자발성 부류에 보내진다면, f(τ₁) f(τ₂)가 6, 7 또는 4를 주문하는 것과 같은 2개의₁₂ 전이 exist이 존재하지만, 우리는₁₂ τ이 2, 3을 가지고 있다는 것을 알고 있기 때문이다.

S의₆ 다른 외부 자동화 없음

S는₆ 정확히 하나의 외부 자동모형을 가지고 있다: Out(S₆) = C₂.

이를 보려면 크기 15의₆ S에 두 개의 결합 등급, 즉 전이 클래스와 클래스³ 2 클래스만 있는지 관찰하십시오. Aut(S₆)의 각 요소는 이러한 결합 등급 각각을 보존하거나 교환한다. 위에 구성된 외부 자동모형의 대표성은 결합 계급을 교환하는 반면, 지수 2 부분군은 전이를 안정화시킨다. 그러나 전이를 안정시키는 자동형성은 내적인 것이므로 내적인 자동형은 aut(S₆)의 지수 2 부분군을 형성하므로 Out(S₆) = C₂.

더욱 간결하게: 전이(transitions)를 안정화하는 오토모피즘은 내면적이며, 순서 15(transitions and triple transitions)의 결합 등급이 두 개뿐이므로 외부 오토모피즘 그룹은 최대 순서 2이다.

스몰 n

대칭

n = 2인 경우, S₂ = C = Z₂/2이고 자동형성 그룹은 사소하다(확실히, 그러나 더 공식적으로, Auto(Z/2) = GL(1, Z/2) = Z/2^* = C₁). 그러므로 내적 오토모르피즘 집단은 또한 사소한 것이다(S가₂ 아벨리안이기 때문이기도 하다).

교대로

n = 1과 2의 경우 A₁ = A₂ = C는₁ 사소한 것이므로 오토모피즘 그룹도 사소한 것이다. n = 3에 대해 A₃ = C = Z₃/3은 아벨리안(및 순환): 자동형 집단은 GL(1, Z/3^*) = C이고₂, 내적 자동형 집단은 (아벨형이기 때문에) 사소한 것이다.

메모들

참조

• https://web.archive.org/web/20071227060045/http:///polyomino.f2s.com/david/haskell/outers6.html
• John Baez의 숫자 6에 대한 몇 가지 생각: 외부 자동형과 일반 이코사면체를 연관시킨다.
• 콕시터(Coxeter)의 「기하학의 아름다움」의 「95040의 자기변환으로 PG(3, 5) 12점」: 외부 오토모프리즘을 2페이지에 걸쳐 논한다.
• Janusz, Gerald; Rotman, Joseph (June–July 1982). "Outer Automorphisms of S₆". The American Mathematical Monthly. 89 (6): 407–410. doi:10.2307/2321657. JSTOR 2321657.
• Fournelle, Thomas A. (1 January 1993). "Symmetries of the Cube and Outer Automorphisms of S6". The American Mathematical Monthly. 100 (4): 377–380. doi:10.2307/2324961. JSTOR 2324961.
• Lorimer, P. J. (1 January 1966). "The Outer Automorphisms of S6". The American Mathematical Monthly. 73 (6): 642–643. doi:10.2307/2314806. JSTOR 2314806.
• Miller, Donald W. (1 January 1958). "On a Theorem of Hölder". The American Mathematical Monthly. 65 (4): 252–254. doi:10.2307/2310241. JSTOR 2310241.