비틀림(알지브라)

수학에서, 특히 링 이론에서, 비틀림 원소는 링의 0이 아닌 분열을 곱할 때 0이 되는 모듈의 원소다.모듈의 비틀림 하위절은 비틀림 요소에 의해 형성된 하위절이다.비틀림 모듈은 비틀림 하위 모듈과 동일한 모듈이다.모듈은 비틀림 하위 모듈이 0 요소만 구성하는 경우 비틀림이 없다.

이 용어는 영역 위의 모듈, 즉 링의 정규 요소가 모두 0이 아닌 요소일 때 더 일반적으로 사용된다.

이 용어는 아벨 그룹("모듈"과 "하위 모듈"이 "그룹"과 "하위 그룹"으로 대체된 경우)에 적용된다.이것은 아벨리아 집단이 정수의 링 위에 있는 모듈이라는 사실에 의해 허용된다(사실 이것은 모듈에 일반화되기 전에 아벨리아 집단을 위해 도입된 용어의 기원이다).

비확정적인 그룹의 경우, 비틀림 요소는 유한한 질서의 요소다.상쇄적인 경우와 반대로, 비틀림 요소는 일반적으로 하위 그룹을 형성하지 않는다.

정의

링 R 위에 있는 모듈 M의 요소 m은 m, 즉 rm = 0을 소멸시키는 링의 정규 요소 r(왼쪽도 오른쪽도 제로가 아닌 요소)이 존재하는 경우 모듈의 비틀림 요소라고 불린다.적분영역(영점 0이 없는 정류 링)에서는 모든 비영점 요소가 정규적이므로 적분영역 위에 있는 모듈의 비틀림 요소는 적분영역의 비영점 요소에 의해 한 번 소멸된다.일부 저자들은 이것을 비틀림 요소의 정의로 사용하지만, 이 정의는 더 일반적인 고리에서는 잘 작동하지 않는다.

링 R 위에 있는 모듈 M은 모든 요소가 비틀림 요소인 경우 비틀림 모듈이라고 하며, 0이 유일한 비틀림 요소인 경우 비틀림이 없는 모듈이라고 한다.링 R이 통합된 도메인인 경우, 모든 비틀림 요소 세트가 M의 비틀림 하위 모듈이라 불리는 M의 하위 모듈을 형성하고, 때로는 T(M)를 가리킨다. 만약 R이 상호 작용하지 않는다면, T(M)는 하위 모듈이 될 수도 있고 아닐 수도 있다.(Lam 2007)에 T(M)가 모든 R 모듈에 대한 M의 하위 모듈인 경우에만 R이 오른쪽 Ore 링이라고 나와 있다.오른쪽 노메테리아 도메인은 오레(Ore)이기 때문에, 이것은 R이 오른쪽 노메테리아 도메인(상호화되지 않을 수도 있음)인 경우에 해당한다.

보다 일반적으로, M을 링 R 위에 있는 모듈로 하고 S를 R의 배수로 닫힌 서브셋으로 한다.M의 원소 m은 s가 m, 즉 s = 0을 소멸시키는 원소가 S에 존재한다면 S-torsion 원소라고 불린다.특히 링 R의 규칙적인 요소 세트를 S에 맡기고 위의 정의를 회복할 수 있다.

만약 그것이 한정된 질서가 있다면 G그 그룹의 비틀림 요소, 즉,이라고 불리는 그룹의 한 요소 g는 정수 m과 같이 gm)e, e을 나타내는 정체성 요소의 단체이고, gm을 나타내는 제품의 6부 g. 그룹이라고 불린 비틀림(이나 정기적인)그룹 모든 요소들이 있어 비틀림 요소, .mw-parser.-output .vanchor&gt은 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}torsion-free 그것의 유일한 비틀림 요소가 아이덴티티 요소인 경우 그룹화한다.어떤 아벨 그룹도 정수의 링 Z에 걸쳐 하나의 모듈로 볼 수 있으며, 이 경우 두 개의 비틀림 개념이 일치한다.

예

모든 링 R 위에 M을 자유 모듈로 두십시오.그 다음, M이 비틀림 없는 것이라는 정의에서 즉시 따라온다(링 R이 도메인이 아닌 경우, R의 0이 아닌 디비저의 세트 S에 대해 비틀림을 고려한다).특히 자유 아벨리아 그룹은 비틀림 없이, 필드 K에 대한 벡터 공간은 K에 대한 모듈로 볼 때 비틀림 없이 나타난다.
사례 1과 대조적으로, 모든 유한 그룹(아벨라니아어 또는 그렇지 않음)은 주기적이고 정밀하게 생성된다.반대로 번사이드의 문제는 정확히 생성된 주기적인 그룹이 유한해야 하는지를 묻는다.기간은 정해져 있어도 대체로 '아니오'라는 답이 돌아왔다.
한 분야의 승수집단의 비틀림 요소는 그 결속의 뿌리다.
모듈형 그룹에서 center은 중심을 인수하여 단위 결정 인자를 가진 2 X 2 정수 행렬의 그룹 SL(2, Z)에서 얻은 γ은 순서 2를 가지며 요소 S에 결합되거나 요소 3을 가지며 요소 ST에 결합된다.이 경우 비틀림 원소는 예를 들어 S · ST = T와 같이 무한한 순서가 있는 부분군을 형성하지 않는다.
이성적 숫자(모드 1)로 구성된 아벨 그룹 Q/Z는 주기적이다. 즉, 모든 원소는 질서가 유한하다.유사하게, 한 변수에서 다항식의 R = K[t] 링 위의 모듈 K(t)/K[t]는 순수한 비틀림이다.이 두 가지 예는 모두 다음과 같이 일반화할 수 있다: R이 교감 영역이고 Q가 분율 영역이라면 Q/R은 비틀림 R-모듈이다.
(R/Z, +)의 비틀림 부분군은 (Q/Z, +)이고, 그룹 (R, +)과 (Z, +)은 비틀림이 없다.하위그룹에 의한 비틀림 없는 아벨리아 집단의 몫은 하위그룹이 순수한 하위그룹일 때 정확히 비틀림 없는 것이다.
유한 차원 벡터 공간 V에 작용하는 선형 연산자 L을 고려한다.만약 우리가 V를 자연적인 방식으로 F[L]-모듈로 본다면 (단순히 유한-차원성에 의해 또는 케이리-해밀턴 정리의 결과로) V는 비틀림 F[L]-모듈이다.

주 이상영역의 경우

R이 (주요) 이상적인 영역이고 M이 정밀하게 생성된 R-모듈이라고 가정하자.그런 다음, 주요 이상영역 위에 정밀하게 생성된 모듈에 대한 구조정리는 이소모르퍼리즘까지 모듈 M에 대한 상세한 설명을 제공한다.특히 라고 주장한다.

M\simeq F\oplus T(M),

여기서 F는 유한 등급의 자유 R-모듈이며(M에 따라 달라짐), T(M)는 M의 비틀림 하위모듈이다.코롤러리로서, 미세하게 생성되는 모든 비 비틀림 없는 R 모듈은 무료다.두 변수에서 다항식의 링인 R = K[x,y]에도 불구하고, 이 코롤리지는 더 일반적인 정류 도메인에는 포함되지 않는다.완전하게 생성되지 않은 모듈의 경우 위의 직접 분해는 사실이 아니다.아벨 그룹의 비틀림 부분군은 그것의 직접적인 합계가 아닐 수 있다.

비틀림 및 국산화

R은 상호 작용 도메인이고 M은 R-모듈이라고 가정해 보자.Q를 링 R의 몫의 필드가 되게 하라.그러면 Q-모듈을 고려해 볼 수 있다.

M_{Q}=M\otimes _{R}Q,

스칼라를 연장하여 M으로부터 획득한다.Q는 장이기 때문에 Q를 넘는 모듈은 벡터 공간이며, 아마도 무한 차원일 것이다.M에서 M까지_Q 아벨 그룹들의 규범적 동형성이 있고, 이 동형성의 커널은 정확하게 비틀림 하위 모듈 T(M)이다. 보다 일반적으로 S가 R의 승법적으로 닫힌 부분 집합체라면, R-모듈 M의 국산화도 고려할 수 있다.

M_{S}=M\otimes _{R}R_{S}}

국산화 R에_S 대한 모듈이지M에서 M까지의_S 표준지도가 있는데, 그 커널은 정확히 M의 S-torsion 하위모듈이다.따라서 M의 토션 하위절은 '국소화에 반닉'하는 요소들의 집합으로 해석할 수 있다.Ore 조건을 만족하는 링의 경우 비확정적 설정에서 동일한 해석이 계속 유지되거나, 보다 일반적으로 우측 분모 세트 S와 우측 R-모듈 M에 대해 동일 해석이 유지된다.

동질대수의 비틀림

토션의 개념은 동질적 대수학에서 중요한 역할을 한다.M과 N이 교호환 R 위에 있는 두 개의 모듈인 경우(예를 들어, 두 개의 아벨리아 그룹, R = Z일 때), Tor functors는 R-modules_i Tor(M,N) 계열을 산출한다.R-모듈 M의 S-torion은 Tor^R₁^R_*(M, R_S/R)의 긴 정확한 순서에 의해 표준적으로 Tor(M, R/R)에 이형화된다.The short exact sequence $0\to R\to R_{S}\to R_{S}/R\to 0$ of R-modules yields an exact sequence $0\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)\to M\to M_{S}$ , hence ${\di$ $splaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)$ 은 $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)$ M의 로컬라이제이션 맵의 커널이다.Functors를 나타내는 Tor 기호는 대수 비틀림과의 관계를 반영한다.세트 S가 우측 분모 세트인 한, 이 같은 결과는 비전속 링에 적용된다.

아벨 품종

복잡한 숫자 위에 있는 타원 곡선의 4-토션 부분군.

아벨라 품종의 비틀림 요소는 비틀림 지점 또는 오래된 용어로는 분할 지점이다.타원형 곡선에서는 분할 다항식 단위로 계산할 수 있다.

참고 항목

참조

Ernst Kunz, Birkhauser 1985년 "통사 대수학 및 대수 기하학 입문" ISBN 0-8176-3065-1
어빙 카플란스키, 1954년 미시간 대학교 "무한 아벨리안 그룹"
Michiel Hazewinkel (2001) [1994], "Torsion submodule", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Lam, Tsit Yuen (2007), Exercises in modules and rings, Problem Books in Mathematics, New York: Springer, pp. xviii+412, doi:10.1007/978-0-387-48899-8, ISBN 978-0-387-98850-4, MR 2278849

Search