다르부스의 정리(분석)

수학에서 다르부스의 정리는 실제 분석에서 정리된 것으로, 장 가스통 다르부스의 이름을 딴 것이다.그것은 다른 함수의 분화로 인해 발생하는 모든 함수는 중간 값 속성을 가지고 있다고 기술한다. 즉, 간격의 이미지 또한 간격이다.

ƒ이 지속적으로 다를 때(C¹([a,b]에 표시) 이는 중간값 정리의 결과물이다.그러나 ƒ′이 연속적이지 않을 때에도 다르부스의 정리는 그것이 될 수 있는 것에 심각한 제한을 둔다.

다르부스의 정리

$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$을(를) 닫힌 간격($f{\displaystyle }$: ${\displaystyle I}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$로 두십시오.그리고′{\displaystyle f'}: 경우에는{\displaystyle}과 b{\displaystyle b}것들 나는<>b{\displaystyle a<, b}로, 모든 y{이\displaystyle}의 F, f. 사이에{\displaystyle 1세}중간 값 속성이 있′(를){\displaystyle f'(를)}과′(b){\display f다면.스타일$f'(b$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime (x}$)${\displaystyle }$= y ${\displaystyle f'(x)=y}$과 ${\displaystyle \mathrm{같은<img\; alt="[a,b]"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:4.555ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="43">}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystystyle x}$이 있다$.$^[1][2][3]

교정쇄

증명 1.첫 번째 증거는 극단적 가치 정리에 기초한다.

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이(${\displaystyle 가}$) $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle )}$ ${\$$displaystyle$ f$'(a)}$ 또는$$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle b})\}$인 경우, $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle x}$를 $각각{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ a} $또는$$b{\displaystyle }$$${\$displaystystyle b$과 동일하게$$ 설정하면 원하는 결과가 나온다.이제 그는 y{이\displaystyle}엄격히 f′(를){\displaystyle f'(를)}과 f′(b){\displaystyle f'(b)}, 특히 f′(를)> 베>이름′(b){\displaystyle f'(를)>, y>, f'(b)}사이에 있자. φ:나는 연구{\displaystyle \varphi \colon I\to \mathbb{R}→}가 φ(t.를 취하다)=f(t${\displaystyle \varphi (t)=f(t)-yt}$. If it is the case that ${\displaystyle f'(a)<y<f'(b)}$ we adjust our below proof, instead asserting that ${\displaystyle \varphi }$ has its minimum on ${\displaystyle [a,b]}$.

$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$$}$은(는) 닫힌 간격$[,$]에 연속되므로$$[,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a$$,b]$의 $value{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \$$varphi }$의 최대값은 극단값 정리에 따라${\displaystyle }$어느$$ ${\displaystyle \mathrm{지점}}$에서${\displaystyle \mathrm{달성}}$된다$.$

왜냐하면 φ−는 y>0{\displaystyle \varphi '(를)=f'(를)-y>0}(를)′(를))f′, 우리는 φ{\displaystyle \varphi}는{\displaystyle}의 최대 가치를 이룰 수 없다. 알고 있(만약 못했다면,(φ(t)−φ(를))/(일주일 −)≤ 0{\displaystyle(\varphi(t)-\varphi(를))(t-a)\leq 0}에 대한 모든 t∈(a, b]. {\disp$laystyle t\in (a,b]}$은$($는) $\phi {\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ( ) ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi '(a)\leq 0}$을(를) 의미한다.$$

마찬가지로 ( ) = f ( )- y< ${\displaystyle \varphi '(b)=f'(b)-y},$$}$ ${\displaystyle \varphi }$이($가{\displaystyle }$) b ${\displaysty b}$에서 최대값을 얻을 수 없다는$$ 것을 알고 있다$.$

Therefore, ${\displaystyle \varphi }$ must attain its maximum value at some point ${\displaystyle x\in (a,b)}$. Hence, by Fermat's theorem, ${\displaystyle \varphi '(x)=0}$, i.e. ${\displaystyle f'(x)=y}$.

증명 2.두 번째 증거는 평균값 정리와 중간값 정리를 결합한 것이다.^[1][2]

$c{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 2}$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle c={\frac {1}{1}:{2}}(a$+b$)}$을(를) 정의하십시오$.$For ${\displaystyle a\leq t\leq c,}$ define ${\displaystyle \alpha (t)=a}$ and ${\displaystyle \beta (t)=2t-a}$. And for ${\displaystyle c\leq t\leq b,}$ define ${\displaystyle \alpha (t)=2t-b}$ and ${\displaystyle \beta (t)=b}$.

따라서, 터∈(a, b){\displaystyle t\in(a,b)}을. 이제,)(f∘ β)(t)−(f∘ α)(t)β(t)− α(t){\displaystyle g(t)={\frac{(f\circ \beta)(t)-(f\circ \alpha)(t)}{\beta(t)-\alpha(t)}}g(t)을 정의하}a로 한≤ α(t)<>β(t)≤ b{\displaystylea\leq \alpha(t)<,\beta(t)\leq b}다<>t<> $[\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $a<t>.$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \,g}$은$(,{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ )${\displaystyle(a,b)}$에 연속적으로 표시됨$.$

Furthermore, ${\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(a)}$ when ${\displaystyle t\rightarrow a}$ and ${\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(b)}$ when ${\displaystyle t\rightarrow b}$; therefore, from the Intermediate Value Theorem, if ${\displaystyle y\in (f^{\prime }(a),f^{\prime }(b}$${\displaystyle y\in({f}')(a),{f}'(b)}$ 그러면$$ $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$0 = ${\displaystyle y}${\$displaystyle$ g$(t_{0}=y})$와 $같은{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 0$a(,$b${\displaystyle }$)이 $존재$한다$.$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$y}을 수정하자$.$

From the Mean Value Theorem, there exists a point ${\displaystyle x\in (\alpha (t_{0}),\beta (t_{0}))}$ such that ${\displaystyle {f}'(x)=g(t_{0})}$. Hence, ${\displaystyle {f}'(x)=y}$.

다르부 함수

Darboux 함수는 "중간 값 속성"을 가진 실제 값 함수 ƒ이다. ƒ의 영역에서 a와 b의 어떤 두 값과 )(a)와 b(b) 사이의 y에 대해, ((c) = y로 a와 b 사이에 약간의 c가 있다.^[4] 중간 값 정리에 의해 실제 간격의 모든 연속 함수는 Darboux 함수가 된다.Darboux의 기여는 불연속 Darboux 기능이 있다는 것을 보여주는 것이었다.

Darboux 함수의 모든 불연속성은 필수적이다. 즉, 불연속성의 어떤 지점에서라도 적어도 왼손과 오른손 제한 중 하나가 존재하지 않는다.

한 점에서 불연속적인 Darboux 함수의 예로는 위상학자의 사인 곡선 함수를 들 수 있다.

${\displaystyle x\mapsto {\displaysty}\sin(1/x)&{{\text{{}x\neq 0,\0&{\text{}}}}}}}}}}}}}}}}}*=0.\end{case}}}$

다르부스의 정리로는 어떤 다른 기능의 파생상품은 다르부스함수다.특히 함수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (1}$/ x$){\displaystyle x\mapsto x^{2}\sin(1/x)}$의 파생어는 한 지점에서 연속되지 않더라도 Darboux 함수다$$.

어디에서도 연속되지 않는 Darboux 함수의 예로는 Conway base 13 함수가 있다.

Darboux 함수는 꽤 일반적인 함수의 등급이다.실제 라인에 있는 어떤 실제 값 함수 ƒ은 두 Darboux 함수의 합으로 쓸 수 있는 것으로 밝혀졌다.^[5]이는 특히 다르부 함수의 클래스가 추가적으로 닫히지 않음을 의미한다.

강한 Darboux 함수는 모든 (비어 있지 않은) 열린 간격의 이미지가 전체 실제 선인 것이다.콘웨이 베이스 13 함수는 또 하나의 예다.^[4]

메모들

외부 링크

• 이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이선스된 다부스의 플래닛매스 정리 자료가 통합되어 있다.
• "Darboux theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]