G세트δ

위상의 수학적 영역에서 G_δ 집합은 열린 집합의 계수 가능한 교차점인 위상 공간의 부분 집합이다.이 표기법은 Gebiet(독일어: 지역 또는 이웃)의 경우 G, Durchschnitt(독일어: 교차점)의 경우 Δ로 독일어에서 유래되었다.^[1]역사적으로 G_δ 세트는 내부 제한 세트라고도 불렸지만,^[2] 그 용어는 더 이상 사용되지 않는다.G_δ 세트와 그 이중 F_𝜎 세트는 보렐 계층 구조의 두 번째 레벨이다.

정의

위상학적 공간에서 G_δ 세트는 오픈 세트의 카운트 가능한 교차점이다.G_δ 세트는 정확히 보렐 계층 구조의 레벨 π⁰
₂ 세트다.

예

• 모든 오픈 세트는 하찮은 G 세트다_δ.
• 불합리한 숫자는 $실수$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle$ \mathb ${R}}$에 설정된 G로_δ$,$ 오픈 세트${\displaystyle }${$q{\displaystyle }$${\displaystyle {}^c}$ ${\$보완물을 나타내는 위첨자)의 카운트 가능한 교차로로 기록할 수 있다.
• 합리적인 숫자 Q{\displaystyle \mathbb{Q}의 집합}가 아니다 Gδ R{\displaystyle \mathbb{R}에 명시한}. 오픈 세트의 만약 Q{\displaystyle \mathbb{Q}}이 교차로 한 n{\displaystyle A_{n}}각 한 n{\displaystyle A_{n}} R{\displaystyle \mathbb{R}에}dense 것이다. bEcause $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) R$${\$displaystyle \mathb {R}}$에 밀도가 있지만, 위의 구조에서는 이 비합리적인 숫자를 개방 밀도 하위 집합의 계수 가능한 교차점으로서 주었다$.$이 두 세트의 교차점을 취하면 빈 세트가 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 열린 밀도 세트의 계수 가능한 교차점으로 나타나는데$,$ 이는 Baire 범주 정리의 위반이다.
• 실제 가치 함수의 연속성 집합은 도메인의 G_δ 하위 집합이다(더 일반적이고 완전한 문장은 섹션 속성 참조).
• $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 있는 모든 곳에 다른 실제 가치 함수의 파생 집합은 G_δ 집합으로$$, 폼페우 건설에서 보여지듯이 빈 내부를 가진 밀도가 높은 집합일 수 있다.

G_δ 세트의 보다 정교한 예는 다음과 같은 정리에 의해 제시된다.

정리:The set ${\displaystyle D=\left\{f\in C([0,1]):f{\text{ is not differentiable at any point of }}[0,1]\right\}}$ contains a dense G_δ subset of the metric space ${\displaystyle C([0,1])}$. (See Weierstrass function § Density of nowhere-상이한 기능).

특성.

미터법(및 위상학) 공간에서 G_δ 집합의 개념은 미터법 공간의 완전성 개념뿐만 아니라 바이어 범주 정리와도 관련이 있다.아래 속성 목록에서 완전히 측정 가능한 공간에 대한 결과를 참조하십시오.${\displaystyle {}_{}}$G ${\$ 집합과$$ 그 보완도 실제 분석, 특히 측정 이론에서 중요하다.

기본 속성

• G_δ 세트의 보어는 F_σ 세트, 그 반대의 경우다.
• G_δ 집합의 교차점은 G 집합이다_δ.
• 정확히 많은_δ G 세트의 조합은_δ G 세트다.
• G_δ 세트의 계수 가능한 결합(G_δσ 세트라고 할 수 있음)은 일반적으로_δ G 세트가 아니다.예를 들어, 합리적인 $숫자{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$}은(는) R ${\$에 있는_δ G 집합을 형성하지 않는다$$$.$
• 위상적인 우주에서는, 모든 관측한 연속 함수 f{\displaystyle f}의 0세트는(폐쇄)Gδ. 바로 오픈 세트({\displaystyle\와 같이{x\in X:-1/n<, f())<, 1/n\}}때문에 f− 1(0){\displaystyle f^{)}(0)}의 교차점,(nx1,2.){.\displaystyle$($$n=1,2,\ldots )}$
• 메트리징 가능한 공간에서 모든 닫힌 세트는_δ G 세트, 그리고 모든 열린 세트는 F 세트다_σ.^[3]실제로 닫힌 집합 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\subseteq X}$은 연속 함수 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle f(x)=d(x,F)}$의 0 집합이며$,$ 여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyd}$은 점에서 세트까지의 거리를 나타낸다$$.가성측정 가능한 공간에서도 마찬가지다.
• 첫 번째 셀 수 있는₁ T 공간에서는 모든 싱글톤이 G 세트다_δ.^[4]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 G가_δ 설정된 경우에만 완전히 미터링 가능한 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 공간도 완전히 미터링할 수 있다$$$.$^[5][6]
• 폴란드어 공간 $X{\displaystyle }${\$displaystyle$ $X$$}$의 하위 공간은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$에 설정된_δ G인 경우에만 폴란드어$$ 그 자체다$.$ 이는 완전히 미터법을 측정할 수 있는 하위 공간에 대한 이전의 결과와 분리 가능한 메트릭 공간의 모든 하위 공간을 분리할 수 있다는 사실에 따른 것이다.
• 위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 소형 메트릭 공간의 G 하위_δ 집합에 대해 동형인 경우에만 폴란드어다$$.^[7][8]

실제 가치 있는 함수의 연속성 집합

위상학적 공간에서 메트릭$$ 공간까지의 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 연속적인 점 집합은 $G{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ ${\$ {$G_{\delta }}}$ 집합이다$$.지점 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에서의 연속성은 $continuity{\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 공식으로$$ 정의할 수 있기$$ 때문이다.모든 양의 정수와 들어,{\displaystyle,} 개집합 U{U\displaystyle}가 d(f()), f(y)=<>모든 x을 위해 1/n{\displaystyle d(f()),f(y))<>1/n}, U{U\displaystyle}에 y{\displaystyle x,y}. 만약 n의 값을{n\displaystyle}{p\displaystyle}p다. 는$고정$된 p ${\$$displaystyle U}$이(가) 있는 $p{\displaystyle }$ {\$displaystyle p}$ 집합은 그 자체로 개방형 집합이며$$(개방형 $집합$의 조합임) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$의 범용 정량자는 이러한 집합의 (카운트 가능한) 교차로에$$ 해당한다.그 결과 비합리성은 함수의 연속성 지점 집합(팝콘 기능 참조)이 될 수 있지만, 합리적인 숫자로만 연속성이 있는 함수를 구성하는 것은 불가능하다.

실제 라인에서 컨버전스도 유지되며, ${\displaystyle 실제\mathbb{}}$ 라인의$$ G_δ ${\displaystyle 하위\mathbb{}}$ 집합 $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $A}$에 $대해{\displaystyle }$A${\displaystyle }$${\displaystyle$ $f:\mathb {R} \to \mathb {R}$\to \mathb {R}$$} 함수가 $A$의 $지점$에서 정확히 연속된다$.$^[9]

G_δ 스페이스

G_δ 공간은^[10] 모든 닫힌 세트가 G 세트인_δ 위상적 공간이다(Johnson 1970).G공간이기도_δ 한 정상공간을 완벽하게 정상공간이라고 한다.예를 들어, 모든 측정 가능한 공간은 완벽하게 정상이다.

참고 항목

• 이중 개념인 F_σ 집합; "G"는 독일어(게비엣), "F"는 프랑스어(페르메)라는 점에 유의한다.
• P-공간, 모든 G_δ 세트가 열려 있는 속성을 가진 공간

메모들

참조

• Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
• Kelley, John L. (1955). General topology. van Nostrand. p. 134.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.
• Fremlin, D.H. (2003) [2003]. "4, General Topology". Measure Theory, Volume 4. Petersburg, England: Digital Books Logostics. ISBN 0-9538129-4-4. Archived from the original on 1 November 2010. Retrieved 1 April 2011.
• Willard, Stephen (2004) [1970], General Topology (Dover reprint of 1970 ed.), Addison-Wesley
• Johnson, Roy A. (1970). "A Compact Non-Metrizable Space Such That Every Closed Subset is a G-Delta". The American Mathematical Monthly. 77 (2): 172–176. doi:10.2307/2317335. JSTOR 2317335.