코파이널(수학)

수학에서preordered 집합(A, ≤){\displaystyle(A,\leq)}의{\displaystyle B\subseteq A}⊆, 하위 집합 B매주 ∈ A,{\displaystyle a\in,}그것 B요소가 b{\displaystyle b}을 찾을 수 있을{B\displaystyle} 있는지 또는 frequent[1]{A\displaystyle}에서cofinal할 것으로 알려졌다.는$"[\displaystyle a}$보다$$작음,$$"[\$displaystyle$ a$}$보다 작음$"$은 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq$ b$}$을 의미한다.$$

공동최종 하위 집합은 지시된 집합과 그물 이론에서 매우 중요한데, 여기서 "최종 서브넷"은 "하위"의 적절한 일반화다.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 공동 최종 부분 집합의 가능한 최소 카디널리티를 $A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$A}의 공동 마무리라고 하는 추기경 숫자$$ 이론을 비롯한 순서 이론에서도 중요하다$.$$}$

정의들

다음 조건을 만족하는$$ 경우,$【\$$leq$ $\}$을(를) $A{\displaystyle }$ 집합에 대해 동일한 이진 관계가 되도록 하십시오$$${\displaystyle .}$ $【\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm{부분<img\; alt="A."\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/8a71bf21ad35b8fe05555041d54d1e17eeb0f490"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.39ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="50">}}$ 집합 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle 】}$ ${\displaystyle B\subseteq$ $\}$이$($가)가 $【\$ 자주^[1] 동일하다고 한다$$.

$모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a\in$ $A$$,}$에 $대해$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$. ${\displaystyle a.$ {\$leq b.}$인 $b$가${\displaystyle }$있다.

빈도가 높지 않은 부분집합을 빈도라고 한다.^[1]이 정의는${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (A,\leq )}$이(가) 지시된 집합일 때 가장 일반적으로 적용되며, 이는 추가 속성과 함께 사전 정렬된 집합이다.

최종 함수

두 $방향{\displaystyle }$세트 ${\displaystyle \mathrm{사이}}$의${\displaystyle }$지도$$ : X → A {\$displaystyle{\displaystyle }$ $f:X\to A}$은$($는) $f{\displaystyle }$ {\$displaystyle f}$의 이미지 f ${\displaystyle (X}$) ${\$$displaystyle f(X)}$가 $A{\displaystyle }$ . $displaystysty$ A의 공동 최종 $부분$ 집합인 경우 최종이라고^[2] 한다$.$$}$

화폐성 하위 집합

부분집합 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$이(가) 다음과 같은 조건을 만족하면 동전(또는 강제력 면에서 밀도)이라고 한다$$.

$모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a\in$ A$,}$에 대해 b${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b\leq a.}$이($가)$ ${\displaystyle \mathrm{존재}}$한다.

이것은 공동최종 부분집합 개념에 대한 주문-이론적 이중성이다.코파이널 서브셋은 정확히 오른쪽(존재하는 왼쪽) 순서 위상에 대한 밀도 집합이다.

특성.

부분적으로 정렬된 집합("포셋")에 대한 공동최종 관계는 반사적이며, 모든 집합은 그 자체로 공동최종이다.It is also transitive: if ${\displaystyle B}$ is a cofinal subset of a poset ${\displaystyle A,}$ and ${\displaystyle C}$ is a cofinal subset of ${\displaystyle B}$ (with the partial ordering of ${\displaystyle A}$ applied to ${\displaystyle B}$), then ${\displaystyle C}$ is also a cofinal$A{\displaystyle }$. ${\displaystyle A$의 부분 집합$.$$}$

최대 요소와 함께 부분적으로 정렬된 집합의 경우, 모든 공동 최종 하위 집합은 모든 최대 요소를 포함해야 하며, 그렇지 않으면 하위 집합에 없는 최대 요소는 공동 결승의 정의를 위반하여 하위 집합의 어떤 요소보다 작거나 같을 수 없다.가장 큰 요소가 있는 부분 순서의 집합의 경우, 하위 집합이 가장 큰 요소를 포함하는 경우에만(이것은 가장 큰 요소가 반드시 최대 요소임) 공동 최종화된다.최대 요소 또는 최대 요소가 없는 부분 정렬된 세트는 공동 최종 하위 세트를 허용한다.예를 들어, 짝수와 홀수 자연수는 모든 자연수 집합의 공동 최종 하위 집합을 형성한다.

부분 주문된 $집합{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle$A}이$($가) 완전히 주문된 공동 최종 하위 집합을 승인하면$$, $A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$A}에서 정렬이 잘되고 공동 마무리된 하위$$ 집합 $B{\displaystyle }$ ${\displaysty B}$을(를) 찾을 수 있다.$}$

$({\displaystyle A}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (A,\$$leq$ $)}$이(가) 방향 집합이고, $B{\displaystyle a}$ A ${\displaystyle$B\$subseteq A$}이$($가) $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$ $A}$의 공동 최종 부분 집합인 경우$(B$,$$)도$$ 방향 집합이다$.$^[1]

예제 및 충분한 조건

공동최종 서브셋의 모든 상위 집합은 그 자체로 공동최종이다.^[1]

If ${\displaystyle (A,\leq )}$ is a directed set and if some union of (one or more) finitely many subsets ${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}}$ is cofinal then at least one of the set ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$ is cofinal.^[1]이 속성은${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \le }$ )${\displaystyle (A,\leq )}$이(가) 지시된다는$$ 가설이 없으면 일반적으로 사실이 아니다.

부분 집합 관계 및 근린 근거지

Let ${\displaystyle X}$ be a topological space and let ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ denote the neighborhood filter at a point ${\displaystyle x\in X.}$ The superset relation ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ is a partial order on ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$: explicitly, for any sets ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle T,}$ declare that ${\displaystyle S\leq T}$ if and only if ${\displaystyle S\supseteq T}$ (so in essence, ${\displaystyle \,\leq \,}$ is equal to ${\displaystyle \,\supseteq \,}$).A subset ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}_{x}}$ is called a neighborhood base at ${\displaystyle x}$ if (and only if) ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a cofinal subset of ${\displaystyle \left({\mathcal {N}}_{x},\supseteq \right);}$ that is, ifand only if for every ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}}$ there exists some ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ such that ${\displaystyle N\supseteq B.}$ (i.e. such that ${\displaystyle N\leq B}$).

실제 숫자의 공동 최종 하위 집합

어떤− ∞ ≤)<>로(R, ≤){\displaystyle(\mathbb{R},\leq)}, ∞, 간격(x, ∞){\displaystyle(x,\infty)}{\displaystyle-\infty \leq x<, \infty,}은cofinal 부분 집합지만(R, ≥)이 아닌cofinal 집합입니다.{\displaystyle(\mathbb{R},\geq).}그 첫발들 내딧었 N{\displaystyle \mathbb.{N}}$$ of natural numbers (consisting of positive integers) is a cofinal subset of ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ but this is not true of the set of negative integers ${\displaystyle -\mathbb {N} :=\{-1,-2,-3,\ldots \}.$$}$

마찬가지로, 어떤− ∞<>y≤ ∞에,(R, ≥){\displaystyle(\mathbb{R},\geq)}의 간격(− ∞, y){\displaystyle(,y-\infty)}은cofinal 부분 집합지만(R, ≤)이 아닌cofinal 집합입니다.{\displaystyle(\mathbb{R},\leq).}그 세트− N{\disp{\displaystyle-\infty<>y\leq \infty,}.laysty$le -\mathbb {N} }$ of negative integers is a cofinal subset of ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ but this is not true of the natural numbers ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ The set ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ of all integers is a cofinal subset of ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq$$)}$과$({\displaystyle }$와)의 공동 최종 하위 집합인 $($ ${\displaystyle \ge }$) {\$displaystyle(\mathb {R},\geq$)도 동일하다$.$ $집합{\displaystyle \mathbb{}}$ R${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathb {R}.}$도 동일하다.

하위 집합의 공동 최종 집합

A particular but important case is given if ${\displaystyle A}$ is a subset of the power set ${\displaystyle \wp (E)}$ of some set ${\displaystyle E,}$ ordered by reverse inclusion ${\displaystyle \,\supseteq .}$ Given this ordering of ${\displaystyle A,}$ a subset ${\displaystyle B\su$$bseteq A}$은(는) $\$ A {\$displaystyle a\$in $A}$에 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b.$ ${\displaystyle a.$ {\$supseteq$ b$.}$이(가) 있는 경우 $A$ ${\displaystystystyle A}$에서 동일하다.

예를 들어 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을(를) 그룹으로 하고 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 유한 지수의 정규 부분군 집합으로$$ 한다.$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 무한 완료는 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 유한한 인용 부위의 역계(세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$})$의 역 한계로 정의된다$$.$$$$이러한 상황에서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 모든 공동 최종 부분 집합은 $E{\displaystyle .}$ ${\displaystyle E.}$의 확실한 완료를 구성하고 설명하기에 충분하다$$.

참고 항목

• 코피나이트
• 공완성 – 순서 이론에서의 하위 집합 크기
• 상위 집합 – 더 큰 요소를 모두 포함하는 사전 주문의 부분 집합
  • ${\displaystyle \mathrm{부분}}$ 순서 집합$({\displaystyle P}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (P,\leq )$의 하위 집합 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$을(를) 포함하며$$, 이 경우$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x$$\in$ $U$$}$이(가) 있고$$ x ∈${\displaystyle }$∈$$∈ U {\$displaystyleq y}$이(으)가 있다.

참조

• Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.