유한형 하위교대

수학에서 유한형의 하위변형은 역동적인 시스템을 모형화하는 데 사용되며, 특히 상징적 역학 및 에고다이얼 이론에서 연구의 대상이다.그들은 또한 유한 상태 기계에 의해 실행된 모든 가능한 시퀀스의 집합을 설명한다.가장 널리 연구되고 있는 교대공간은 유한형의 하위교대공간이다.

정의

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 기호$$(알파벳)로 한정된 집합으로$$ 두십시오.X는 시프트 연산자 T와 함께 V 원소의 모든 바이 무한 시퀀스 중 설정된$$ $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbb{}}^{}}$ ${\$을 나타내도록 한다.우리는 V에 이산 토폴로지를 부여하고 X에 제품 토폴로지를 부여한다.기호 흐름 또는 하위 시프트는 X의 닫힌 T-invariant 하위 집합 Y이며 관련 언어 L은_Y Y의 유한 부분 집합이다.^[2]

이제 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) {0,1}에 항목이 있는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ 인접$$ 행렬로 설정하십시오$$.Using these elements we construct a directed graph G=(V,E) with V the set of vertices and E the set of edges containing the directed edge ${\displaystyle x\rightarrow y}$ in E if and only if ${\displaystyle A_{x,y}=1}$. Let Y be the set of all infinite admissible sequences of edges, where by admissible it is mea순서가 그래프의 한 걸음이며, 순서는 단측 또는 양측 무한일 수 있다.그러한 시퀀스에 대해 T를 좌회전 연산자로 두어라; 그것은 동적 시스템의 시간 진화 연산자의 역할을 한다.유한형식의 하위변형은 이러한 방식으로 얻은 쌍(Y, T)으로 정의된다.순서가 한 방향으로만 무한대로 확장되면 유한형의 단측 서브시프트라고 하고, 양방향이라면 유한형의 양측 서브시프트라고 한다.

공식적으로, 가장자리의 순서를 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \Sigma \{A}^{+}=\left\{(x_{0},x_{1},\ldots }):x_{j}\in V,A_{j_{j_{j}x_{j+1}=1,j\in \mathb {N}\right\}.}$

이것은 매트릭스 A의 (p,q)^th 항목이 1일 경우에만 기호 p가 기호 q 뒤에 올 수 있는 기호 시퀀스의 모든 공간이다.모든 바이-무한 시퀀스의 공간은 다음과 같이 유사하게 정의된다.

${\displaystyle \Sigma _{A}=\lift\{{{-1},x_{0},x_{1},\ldots }:x_{j_{j}x_{j+1}=1,j\in \mathb {Z}\right\}.}$

시프트 연산자 T는 모든 기호를 왼쪽으로 이동시킴으로써 단측 또는 양측 변속의 시퀀스를 다른 쪽으로 매핑한다.

${\displaystyle \displaystyle(T(x))_{j}=x_{j+1}.$

분명히 이 지도는 양면 교대조의 경우만 되돌릴 수 없다.

G가 강하게 연결된 경우 유한형의 하위교대(subshift)를 transitive라고 부른다: 어떤 꼭지점에서 다른 꼭지점까지의 가장자리 순서가 있다.그것은 밀도가 높은 궤도를 가진 역동적인 시스템에 해당하는 유한 유형의 정밀 전이적 하위 변형이다.

중요한 특별한 경우는 완전 n-shift이다: 모든 꼭지점을 다른 모든 꼭지점에 연결하는 가장자리가 있는 그래프를 가지고 있다; 즉 인접 행렬의 모든 항목은 1이다.완전한 n교대제는 조치 없이 베르누이 제도에 해당한다.

용어.

관례상 교대라는 용어는 완전한 n교대(n-shift)를 가리키는 것으로 이해된다.그런 다음 서브 시프트는 시프트-인바리넌트(즉, 시프트 운영자의 작용에 따라 불변하는 서브 스페이스), 비어 있지 않고 아래에 정의된 제품 토폴로지에 대해 닫힌 전체 시프트의 서브 스페이스가 된다.일부 하위 편차는 위와 같이 전환 행렬로 특징지어질 수 있다. 그러한 하위 편차를 유한 유형의 하위 편향이라고 한다.흔히 유한형의 하위변형을 단순히 유한형의 이동이라고 부른다.유한형의 하위교대형을 위상학 마르코프 교대라고도 한다.

예

많은 혼란스러운 동적 시스템은 유한 유형의 하위 변형에 대해 이형적이다. 예를 들어 가로 동형성 연결부가 있는 시스템, 양성 메트릭 엔트로피가 있는 폐쇄 다지관의 차이점, Prouet–을 포함한다.Thue-Morse 시스템, Chacon 시스템 (이것은 약하게 섞이지만 강하게 섞이지 않는 것으로 보여지는 첫 번째 시스템), Sturmian 시스템과 Toeplitz 시스템이다.^[3]

일반화

소픽 시스템은 전환 그래프의 다른 가장자리가 동일한 기호에 매핑될 수 있는 유한 유형의 하위 변속의 이미지다.^{[when defined as?]}그것은 자동화를 통한 경로의 연구 집합으로 간주될 수 있다: 유한 유형의 하위 이동은 결정론적인 자동화에 해당한다.^[4]그러한 시스템은 정규 언어에 해당된다.

문맥이 없는 시스템은 유사하게 정의되며 구문 구조 그래머에 의해 생성된다.

갱신 시스템은 유한한 단어의 고정된 유한 집합의 모든 무한 결합의 집합으로 정의된다.

유한 유형의 하위 변속은 자유형(비 상호 작용) 1차원 포츠 모델(Ising 모델의 n글자 일반화)과 동일하며, 특정 가장 가까운 이웃 구성은 제외된다.인터랙티브 Ising 모델은 구성 공간의^{[when defined as?]} 연속적인 기능(제품 위상에 대해 연속적으로, 아래에 정의됨)과 함께 하위변형으로 정의된다. 파티션 함수와 해밀턴은 이 기능에 대해 분명히 표현할 수 있다.^{[clarification needed]}

하위변형은 일정한 방법으로 정량화하여 양자 유한 자동자(sub-imited automata)의 사상을 이끌어낼 수 있다.

위상

서브시프트는 V ${\displaystyle {Z\mathbb{}}^{}}$ ${\$ {$Z}}}}}$의 제품 토폴로지에서 파생된 자연 토폴로지를 가지고 있다$.$

${\displaystyle V^{\mathb {Z} }=\Pi _{n\in \mathb {Z} }V=\{x_{1},x_{0},\ldots }:x_{1}, V\;\에서 \in \mathb {Z}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

V에는 이산 토폴로지가 주어진다.서브시프트의 토폴로지를 유도하는 ${\displaystyle {V\mathbb{}}^{}}$ Z ${\$의 토폴로지에 대한 근거는 실린더 세트 제품군이다.

${\displaystyle C_{t}[a_{0},\ldots,a_{s}]=\{x\in V^{\\mathb {Z} }}:x_{t}=a_{0},\ldots,x_{t+s}=a_{s}}}}}}}}}}}}.$

실린더 세트는 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbb{}}^{}}$ ${\$ V$^{\mathb{Z}}}}}}$의 Clopen 집합이며$,$ V ${\displaystyle {Z\mathbb{}}^{}}$ ${\$ V$^{\mathb{Z}}}}}$의 모든 열린 집합은 계산 가능한 실린더 세트 조합이다$$.서브시프트의 모든 오픈 세트는 서브시프트와 V$$ ${\displaystyle {Z\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 오픈 세트의 교차점이다.이 위상에 관해서 시프트 T는 동형상이다. 즉, 이 위상에 관해서는 연속적인 역행으로 연속된다.

공간 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbb{}}^{}}$ ${\$은 칸토어 집합에 대해 동형이다.

미터법

교대 공간에서 다양한 측정 기준을 정의할 수 있다.많은 초기 기호가 공통으로 있을 경우 두 점을 "닫힘"으로 간주하여 이동 공간에 대한 메트릭을 정의할 수 있다. 이것이 p-adic 메트릭이다.사실, 일면 및 양면 시프트 공간은 모두 소형 미터 공간이다.

치수

유한 유형의 하위 변속은 여러 가지 다른 조치 중 하나를 부여할 수 있으며, 따라서 측정 보존 역동적 시스템이 될 수 있다.공통적인 연구 대상은 마르코프 척도로, 이것은 마르코프 체인을 시프트의 위상까지 확장한 것이다.

마르코프 체인은 전환 매트릭스, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle$ n$\times$ n$}$ 매트릭스$$ $P{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( p ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle$ P$=(p_{ij})$로 구성된 쌍(P,610)이며, 여기서$$ $모든{\displaystyle {}_{}}$ p ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\displaystyle p_{ij}\gq$ 0} $및$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}p_{ij}=1}$

나로서는고정 확률 벡터 $\pi {\displaystyle }$= (${\displaystyle {\pi }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \pi =(\pi _{i}})$는 모두 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \pi \{i}\geq$ 0$,\sum \pi }=1$}을$$ 가지고 있으며$$$,$

${\displaystyle \sum _{}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ i ${\displaystyle i_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\pi }_{}}$ j ${\$

위에서 정의한 마르코프 체인은 ${\displaystyle {Ai}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= 0 ${\$$displaystyle p_{ij}=0}$일 때마다$$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle A_{ij}=0}$이면 유한형식의 이동과 호환된다고 한다$.$실린더 세트의 마르코프 측정은 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle \mu(C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{s}])=\pi _{a_{0}p_{a_{0},a_{1}\cdots p_{a_{s-1},a_{s}}}}$

마르코프 조치와 관련된 콜모고로프-시나이 엔트로피는

${\displaystyle s_{\mu }=-\sum _{i=1}^{n}\pi_{i}\i}\pi_{j=1}^{n}p_{ij}\log p_{ij}}}}}}}}$

제타 함수

아르틴-마주르 제타 함수는 공식 파워 시리즈로 정의된다.

${\displaystyle \zeta(z)=\exp(\sum _{n=1}^{\inflt }\왼쪽 {\textrm {Fix}(T^{n})\오른쪽 {\frac {z^{n}}}}),}$

여기서 Fix(Tⁿ)는 n-폴드 시프트의 고정점 집합이다.^[5]그것은 제품 공식을 가지고 있다.

${\displaystyle \zeta(z)=\prod _{\\prod }(1-z^{ \ft \}^{-1}\}$

여기서 γ은 닫힌 궤도를 달린다.^[5]유한형식의 하위변형의 경우, 제타함수는 z:^[6]의 합리적인 함수다.

${\displaystyle \zeta(z)=(\det(I-zA))^{-1}\ .}$

참고 항목

• 전송 연산자
• 드 브뤼옌 그래프
• 양자 유한 자동자
• Axiom A

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메모들

참조

• Brin, Michael; Stuck, Garrett (2002). Introduction to Dynamical Systems (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-80841-3.
• David Damanik, 엄밀히 말하면 Eghodic Subshifts and Associated Operators, (2005)
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. (eds.). Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1794. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015.
• 나타샤 조노스카, 유한형, 소픽 시스템 및 그래프, (2000년)
• 마이클 S. 킨, 에르고딕 이론과 유한형의 하위 변형, (1991) 에고딕 이론, 상징 역학 및 쌍곡 공간, 팀 베드포드, 마이클 킨과 캐롤라인 시리즈, 에드스의 2장으로 등장한다.옥스퍼드 대학 출판부, 옥스퍼드 대학 출판부 (1991년).ISBN 0-19-853390-X(단기적인 소개, 연습 및 광범위한 참조 자료 제공)
• Lind, Douglas; Marcus, Brian (1995). An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55124-2. Zbl 1106.37301.
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Xie, Huimin (1996). Grammatical Complexity and One-Dimensional Dynamical Systems. Directions in Chaos. Vol. 6. World Scientific. ISBN 9810223986.

추가 읽기

• Williams, Susan G., ed. (2004). Symbolic Dynamics and Its Applications: American Mathematical Society, Short Course, January 4-5, 2002, San Diego, California. Proceedings of symposia in applied mathematics: AMS short course lecture notes. Vol. 60. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3157-7. Zbl 1052.37003.