마르코프 파티션

이 글은 주제를 잘 모르는 사람들에게 불충분한 맥락을 제공한다. 독자에게 더 많은 컨텍스트를 제공하여 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2010년 12월) (이 템플리트 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

마르코프 칸막이는 동적 시스템 이론에 사용되는 도구로, 상징적 역학의 방법이 쌍곡선 역학 연구에 적용될 수 있다. 마르코프 파티션을 사용함으로써 시스템의 장기적 역동적 특성이 마르코프 시프트로 표현되는 이산 시간 마르코프 프로세스를 닮도록 시스템을 만들 수 있다. 시스템의 결과적 역학관계가 마르코프 속성에 따르기 때문에 '마코프'라는 호칭이 적절하다. 따라서 마르코프 파티션은 기대값, 상관관계, 위상학적 엔트로피, 위상학적 제타 함수, 프레드홀름 결정인자 등을 계산하는 것을 포함하여 상징적 역학의 표준 기법을 적용할 수 있다.

동기

Let${\displaystyle }$( M${\displaystyle }$,${\displaystyle \phi }$ )$${\$displaystyle$(M,\$varphi )}$은(는) 별개의 동적 시스템이다$$. 그것의 역학을 연구하는 기본적인 방법은 상징적인 표현을 찾는 것이다: 지도 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 시프트 맵이 되도록$$ 일련의 기호로 $M$ ${\displaystyle M}$의 점을 충실하게 인코딩하는 것이다.

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) E ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{E\mathrm{}}_{}}$ 2, ${\displaystyle \dots ,}$E ${\displaystyle r_{}}$ ${\$로 구분했다고$$ 가정해 보십시오$$. ${\displaystyle \varphi$ $}$의 반복 아래$$ $지점{\displaystyle }$ x ${\$$displaystyle x$$}$의 동작은 ${\displaystyle {\phi n}^{}}$ $){\displaystyle \varphi ^{n(x)}$을 포함하는 $각$$n{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 기록하여 추적할$$ 수 있다$.$ 이는 알파벳에 무한 시퀀스로 나타난다.${\displaystyle }$포인트를$$ 인코딩하는${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,r\}.$ 일반적으로 이 인코딩은 부정확할 수 있으며(동일한 시퀀스가 많은 다른 점을 나타낼 수 있음) 이러한 방식으로 발생하는 시퀀스 집합은 설명하기 어려울 수 있다. 마르코프 파티션의 엄격한 정의에 명시되어 있는 특정 조건 하에서, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 지점에 시퀀스를 할당하는 것은 거의 일대일 지도가 되며$$, 그 이미지는 유한형의 이동이라고 불리는 특수한 종류의 상징적인 역동 시스템이다. 이 경우 기호 표현은 동적 시스템$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle (M,\varphi )}$의 속성을 조사하는 강력한 도구다$.$

형식 정의

$마르코프$ 파티션은^[1] 다음과 ${\displaystyle {같은\mathrm{}}_{}}$$곡선$ ${\displaystyle {직사각형\mathrm{}}_{}}{\displaystyle {}_{}}$에 의해 ${\displaystyle {다지관}_{}}$의 불변성 $직사각형$ 집합에 ${\displaystyle {}_{}}$ 다지관의 $유한 커버다.$

• 임의의 $지점{\displaystyle 쌍}$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y_{}}$ ${$E i {\$displaystyle$x,y$\in$E_$\{$$i}}$에 대해 $W{\displaystyle {}_{}}$( x )${\displaystyle \cap }$ W ${\displaystyle U_{}}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\$
• ${\displaystyle \mathrm{Int}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {Ei}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{Int}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle E_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\displaystyle \operatorname {Int}E_{i}\cap \operatorname {Int}E_{j}=\emptysset }}}($$i$ ≠ ${\displaystyle j}$ ${\displaysty i\neq j})$
• $x$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{Int}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle E_{}}$ i ${\$ 및 $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{Int}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle E_{}}$ j ${\$,.

$\displaystyle \varphi \왼쪽[왼쪽]W_{u}(x)\cap E_{i}\right]\supset W_{{u}(\varphi x)\cap E_{j}}$

$\displaystyle \varphi \왼쪽[왼쪽]W_{s}(x)\cap E_{i}\right]\subset W_{s}(\varphi x)\cap E_{j}}$

Here, ${\displaystyle W_{u}(x)}$ and ${\displaystyle W_{s}(x)}$ are the unstable and stable manifolds of x, respectively, and ${\displaystyle \operatorname {Int} E_{i}}$ simply denotes the interior of ${\displaystyle E_{i}}$.

이 마지막 두 가지 조건은 상징적 역학을 위한 마르코프 속성의 진술로 이해할 수 있다. 즉, 한 개방된 커버에서 다음 커버로의 궤적의 이동은 시스템의 역사가 아닌 가장 최근의 커버에 의해서만 결정된다. '마코프'라는 호칭에 가치가 있는 것은 커버의 이 속성이다. 결과적으로 나타나는 역학관계는 마르코프 시프트의 그것이다; 실제로 이것은 야코프 시나이(1968년)^[2]와 루푸스 보웬(1975년)의 이론에 기인하며,^[3] 따라서 상징적인 역학을 확고한 토대 위에 올려놓는다.

조각 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 기하학적 조건에 해당하는 정의의 변형들이 발견된다$.$^[4]

예

마르코프 파티션은 여러 상황에서 구성되었다.

• 아노소프의 토러스 차이점.^{[citation needed]}
• 역동적인 당구, 이 경우 커버를 셀 수 있다.^{[citation needed]}

마르코프 칸막이는 동음이의어와 이성애자의 궤도를 특히 쉽게 묘사한다.^{[citation needed]}

The system ${\displaystyle ([0,1),x\mapsto 2x\ mod\ 1)}$ has the Markov partition ${\displaystyle E_{0}=(0,1/2),E_{1}=(1/2,1)}$, and in this case the symbolic representation of a real number in ${\displaystyle [0,1)}$ is its binary 팽창 예: $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle T}$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$, T ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ E ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ , T ${\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}_{}0}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$=${\displaystyle }$( 0.${\displaystyle \mathrm{01110...}}$${\$$T^{2}x\in E_{1},$$T^{3}x\in E_{1},T^{4}x\in E_{0}\Rightarrow x=(0.01110)...$$)_{2}}$. The assignment of points of ${\displaystyle [0,1)}$ to their sequences in the Markov partition is well defined except on the dyadic rationals - morally speaking, this is because ${\displaystyle (0.01111\dots )_{2}=(0.10000\dots )_{2}}$, in the same way as ${\displayst$$yle 1=0.999\nump }$의 소수 확장.

참조

• Lind, Douglas; Marcus, Brian (1995). An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55124-3. Zbl 1106.37301.
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, Anne (eds.). Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Lecture Notes in Mathematics. 1794. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44141-0. Zbl 1014.11015.