콜모고로프 오토모르프

수학에서 콜모고로프 오토모르프, K-오토모르프, K-shift 또는 K-system은 콜모고로프의 제로원 법칙을 준수하는 표준 확률 공간에 정의된 변환불능, 측정보존형 오토모르프다.^[1]베르누이 자동화는 모두 K-자성(K-property)이지만 그 반대의 경우도 아니다.더 최근의 연구에 따르면 이들 중 상당수가 사실 베르누이 자동형인 것으로 나타났지만, 많은 에고다이내믹 시스템은 K-속성이 있는 것으로 나타났다.

K-property의 정의는 합리적으로 일반적인 것처럼 보이지만, 베르누이 오토모프리즘과는 뚜렷한 구분이 있다.특히, Ornstein 이형성 정리는 K-systems에는 적용되지 않으며, 따라서 엔트로피는 그러한 시스템을 분류하기에 충분하지 않다 – 같은 엔트로피를 가진 비 이형성 K-systems는 헤아릴 수 없이 많다.본질적으로 K-systems의 집합은 크고 지저분하며 범주화되지 않은 반면, B-automptis는 Ornstein 이론에 의해 '완전하게' 기술되어 있다.

형식 정의

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle (X,{\mathcal {B},\mu )}$을(를) 표준 확률 공간으로 하고$$, $T{\displaystyle }$ ${\displaystytle$ T$}$을(를) 변환할 수 없는 측정 보존형 변환으로 한다.그 다음 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을(를) K-자형성, K-transform 또는 K-shift라고 하며$$, 다음과 같은$$ 세 가지 속성이 유지되도록 하위 시그마 ${\displaystyle 대수\mathcal{}}$ $cal$ B ${\displaystyle {K}\mathcal {B}$이(가) 있는 경우:

${\displaystyle {\mbox{(1) }{{\mathcal {K}\subset T{\mathcal{K}}}$

${\displaystyle {\mbox{(2)}}}{n=0}^{\n^{n}{\mathcal{K}={\mathcal{B}}}}}}$

${\displaystyle {\mbox{(3)}}\빅캡 _{n=0}^{\n}{\mathcal{K}=\X,\varnothing \}}}$

여기서 기호 $\vee {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ve }$은 시그마 알헤브라의 결합이고, $\cap {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$은 교차점을 설정한다.평등은 거의 모든 곳에서, 즉 기껏해야 0의 척도에 따라 달라지는 것으로 이해되어야 한다.

특성.

Assuming that the sigma algebra is not trivial, that is, if ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \{X,\varnothing \}}$, then ${\displaystyle {\mathcal {K}}\neq T{\mathcal {K}}.}$ It follows that K-automorphisms are strong mixing.

베르누이 자동화는 모두 K-자동화지만 그 반대는 아니다.

참조

추가 읽기

• 크리스토퍼 호프만, "A K counterrexample machine," Trans. 아머. 수학. Soc. 351 (1999), 페이지 4263–4280.