카쿠타니의 정리(측정 이론)

수학의 한 분야인 측정 이론에서 카쿠타니의 정리는 계수 가능한 제품 측정의 동등성 또는 상호 특이성에 대한 근본적인 결과물이다.두 가지 척도가 같은 경우 "만약에 한해서만" 특성을 나타내며, 따라서 기능공간에 대한 측정에 대한 측정변경 공식을 설정하려고 할 때 매우 유용하다.그 결과는 일본의 수학자 가쿠타니 시즈오 덕분이다.예를 들어 가우스 측정 $[\displaystyle \mu }}$의 번역이$$ $[\$$displaystyle \mu$ $}$의 카메론-마틴 공간에 있는 경우에만 $$μ$[\$$displaystyle \mu }]$와 동일한지 또는$\mu$의 확장이 동일한지$$ 여부를 결정하는 데 카쿠타니의 정리를 사용할 수 있다.$$$[\displaystyle \mu }$에 삽입한다(확장 인자의 절대값이 1인 경우에만,$$ Feldman–의 일부임).하제크 정리).

정리명세서

For each ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, let ${\displaystyle \mu _{n}}$ and ${\displaystyle \nu _{n}}$ be measures on the real line ${\displaystyle \mathbb {R} }$, and let ${\displaystyle \mu =\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }\mu _{n}}$ and ${\displaystyle \nu =\underset{n\in \mathbb{N}}{⨂}}$${\displaystyle \nu =\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }\nu _{n}}$ be the corresponding product measures on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$. Suppose also that, for each ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mu _{n}}$ and ${\displaystyle \nu _{n}}$ are equivalent(즉, 동일한 null 집합이 있음)그러면 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$과 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$이(가) 동등하거나$$, 아니면 상호 단수일 수 있다.게다가, 등가성은 무한대의 생산물이 있을 때 정확하게 유지된다.

${\displaystyle \prod_{n\in \mathb {N}\int_{\mathb {R}{\sqrt {\\frac {\mathrm {d}\mathrm{no_{n}}}}\matrmatrm {d} \n}{n}}}{n}}}}}}}}}}}}{n}}}}{n}}}}}}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}$

0이 아닌 한계 또는 무한 시리즈가 있는 경우 동등하게

${\displaystyle \sum _{n\in \mathb {N}\log \int_{\\mathb {R}{\sqrt {\\frac {\mathrm {d}\mathrm {nu}{n}}}\mathrm {d}}}{nnu \n}}}}}}}}}}}}}}{n}}}}{n}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}{n}}}}}}}}$

수렴하다

참조

• Bogachev, Vladimir (1998). Gaussian Measures. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 62. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/062. ISBN 0-8218-1054-5. (정리 2.12.7 참조)
• Kakutani, Shizuo (1948). "On equivalence of infinite product measures". Ann. Math. 49: 214–224. doi:10.2307/1969123.